【高中数学选修二】3.1.4-空间向量的正交分解及其坐标表示-((公开课同课异构)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,再见,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.1.4,空间向量的正交,分解,及其坐标,表示,第三章 空间向量与立体几何,启动思维,1,平面向量基本定理的内容是：如果,，,是同一平面内的,两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量,，,有且只有一对实数,1,，,2,，使,.,不共面的向量,e,1,，,e,2,叫做这一平面内所有向量的一组,2,在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，,叫做把向量,.,1,2,基底,正交分解,启动思维,3,在各棱长均为,1,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,为面,A,1,B,1,C,1,D,1,的中心，,设,，,，,，,你能否用,，,，,表示出,？,表示出的结果还有没有其他表示方法？,D,D,1,A,B,C,B,1,A,1,C,1,O,走进教材,1,空间向量基本定理,定理：如果三个向量,，,，,，那么对于空间任一向量,，,存在有序实数组,x,，,y,，,z,，使得,.,其中,，,，,叫做空间的一个基底，,都叫做基向量,不共面,x,y,z,，,，,走进教材,单位正交基底,空间直角坐标系,两两垂直,公共点,走进教材,空间向量的坐标表示,平移,起点,x,y,z,(,x,，,y,，,z,),x,，,y,，,z,自主练习,1,已知,，,，,是不共面的三个向量，则能构成一个基底,的,一,组向量是,(,),A,2,，,，,2,B,2,，,，,2,C,2,，,D,，,，,C,自主练习,2,已知空间四边形,OABC,，,M,，,N,分别是,OA,，,BC,的中点,，,且,，,，,，,用,，,，,表示向量,为,(,),A,.,B.,C,.,D,C,自主练习,3,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中建立空间直角坐标系，,若正方体的棱长为,1,，则,的坐标为,，,的坐标为,(1,1,，,1),(,1,0,1),典例导航,题型一,：基底的有关问题,例,1,以下,四个命题中正确的是,(,),A,空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示,B,若,，,，,为空间的一个基底，,则,，,，,全,不是零向量,C,若,向量,，,则,，,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,D,任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底,B,典例导航,选项,判断,原因分析,A,由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由,不共面的三个向量才能表示,B,基向量不共面，因此不可能有零向量,C,基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个,基向量两两垂直,D,基底的构成必须是三个不共面的向量,变式训练,1.,如果向量,，,与任何向量都不能构成空间的一个基底，则,(,),A,与,共线,B,与,同向,C,与,反向,D,与,共面,【,解析,】,由,空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底,，,B,，,C,都是,A,的一种情况，空间中任两个向量都是共面的故,D,错,【,答案,】,A,典例导航,题型二：用基底表示向量,例,2,空间,四面体,OABC,中，,M,在,OA,上，,OM,3,MA,，,N,在,BC,上，且,BN,2,NC,，设,，,，,，用向量,，,，,表示,，,.,解：,=,=,=,=,，,=,=,=,.,变式训练,2.,四,棱锥,S,ABCD,的底面为一矩形，设,，,，,，,E,、,F,分别是,PC,和,PB,的中点，用,，,，,表示,.,【,答案,】,=,=,，,=,，,=,.,典例导航,题型三：空间向量的坐标表示,例,3,已知,PA,垂直于正方形,ABCD,所在的平面，,M,、,N,分别是,AB,、,PC,的中点,，,并且,PA,AD,1,，求向量,、,的坐标,D,A,B,C,M,N,P,1.,建立合适的坐标系,2.,将向量进行分解,3.,由坐标定义写出坐标,=,=,，,又,|,|=|,|=|,|=1,，,，,又,，,典例导航,如图，建立空间直角坐标系,Axyz,设,，,，,，,由,=,=,=,D,A,B,C,M,N,P,x,z,y,解：,变式训练,3.,已知向量,在基底,，,，,下的坐标是,(2,3,，,1),，,求,在基底,，,，,下的坐标,解：,由已知,=2,+3,-,，,设,=,x,=(,x,+,y,+,z,),+(,y,+,z,),+,z,，,，,，,不共面，,x,+,y,+,z=,2,，,y,+,z=,3,，,z,=-1,，,解得：,x,=-1,，,y,=4,，,z,=-1,，,所求坐标为,(-1,4,-1).,归纳小结,1,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,2,课本及我们研究所建坐标系均为右手系,3,空间中任意一点,P,的坐标的确定方法：过,P,分别作三个坐标平面的,平行平面分别交坐标轴于,A,、,B,、,C,三点，,x,OA,，,y,OB,，,z,OC,，,当,OA,与,i,方向相同时,x,0,，反之,x,0,，同理可确定,y,、,z,.,