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第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积,【,考情快报,】,高考对本节知识的考查主要有以下两个考向：,(1),三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属中低档题,.,(2),空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载体进行交汇考查，或蕴含在两几何体的,“,接,”,或,“,切,”,形态中，以小题形式出现，但有时也在解答题中与证明问题交汇在一起，属中低档题,.,【,核心自查,】,一、主干构建,二、概念理解,(1),四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系,.,(2),三视图,三视图的正,(,主,),视图、侧,(,左,),视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线,.,画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高,.,三视图排列规则：俯视图放在正,(,主,),视图的下面，长度与正,(,主,),视图一样；侧,(,左,),视图放在正,(,主,),视图的右面，高度和正,(,主,),视图一样，宽度与俯视图一样,.,提醒：,一般地，若俯视图中出现圆，则该几何体可能是球或其他旋转体，若是多边形，则该几何体一般为多面体；若正,(,主,),视图和侧,(,左,),视图中出现三角形，则该几何体可能为锥体,.,三、重要公式,1.,表面积公式,表面积,=,侧面积,+,底面积，其中,(1),多面体的表面积为各个面的,_.,(2),圆柱的表面积公式：,S=_=_(,其中，,r,为,底面半径，,l,为圆柱的高,);,(3),圆锥的表面积公式：,S=_=_(,其中圆锥的底,面半径为,r,，母线长为,l,);,2r,2,+2r,l,2r(r+,l,),r,2,+r,l,r(r+,l,),面积的和,(4),圆台的表面积公式：,S=_(,其中圆台的,上、下底面半径分别为,r,和,r,，母线长为,l,);,(5),球的表面积：,S=_.,(r,2,+r,2,+r,l,+r,l,),4R,2,2.,体积公式,(1)V,柱,=_.,(2)V,锥,=_.,(3)V,球,=_.,热点考向 一,三视图的确认与应用,【,典例,】1.(2012,湖南高考,),某几何体的正,(,主,),视图和侧,(,左,),视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是,(),2.(2012,陕西高考,),将正方体,(,如图,1,所示,),截去两个三棱锥，得到图,2,所示的几何体，则该几何体的侧,(,左,),视图为,(),【,解题指导,】,1.,根据三视图的概念，找出正,(,主,),视图和侧,(,左,),视图不可能的俯视图,.,2.,结合图,1,正方体，确定两个关键点,B,1,D,1,和两条重要线段,AD,1,和,B,1,C,的投影,进行选择,.,【,解析,】,1.,选,D.,由三视图的定义及,“,正,(,主,),视图俯视图等长，侧,(,左,),视图俯视图等宽,”,，且本题正,(,主,),视图与侧,(,左,),视图相同，可知选,D.,2.,选,B.,图,2,所示的几何体的侧,(,左,),视图由点,A,，,D,，,B,1,D,1,确定外形为正方形，而两条对角线,AD,1,和,B,1,C,是一实一虚,.,故选,B.,【,拓展提升,】,求解空间几何体三视图的关键,解决空间几何体的三视图问题的关键是抓住已知视图的特征，并相互结合分析几何体的结构特征，从而求解其他视图，在结合已知视图进行分析时容易漏掉一些情况，这时需要全面思考，因为单纯的一个视图或两个视图一般不可能确定几何体的形状，这是正确解决此类问题的关键点,.,提醒：,识与画三视图时，要注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线,.,热点考向 二,计算几何体的表面积与体积,【,典例,】1.(2012,辽宁高考,),一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为,_.,2.(2012,湖北高考,),某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是两底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台,A,1,B,1,C,1,D,1,-ABCD,，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱,ABCD-A,2,B,2,C,2,D,2,.,(1),证明：直线,B,1,D,1,平面,ACC,2,A,2,；,(2),现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知,AB=10,，,A,1,B,1,=20,，,AA,2,=30,，,AA,1,=13(,单位：厘米,),，每平方厘米的加工处理费为,0.20,元，需加工处理费多少元？,【,解题指导,】,1.,读懂三视图，搞清其组成，分别求体积即可,.,2.(1),利用空间几何体的结构特征，结合空间想象能力，利用线线垂直得到线面垂直,.,(2),搞清该零件的构成，分别求出各表面积,.,【,解析,】,1.,将三视图还原为实物图后求解，该几何体的上部是一个圆柱，下部是一个长方体，所以体积,V,圆柱,=,Sh,=,1,2,1,=,V,长方体,=4,3,1=12,V=12+.,答案：,12+,2.(1),四棱柱,ABCD-A,2,B,2,C,2,D,2,侧面是全等的矩形,AA,2,AB,AA,2,AD.,又,ABAD=A.,AA,2,平面,ABCD.,连接,BD,BD,平面,ABCD,AA,2,BD.,根据棱台的定义知,BD,与,B,1,D,1,共面,.,又已知平面,ABCD,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,且平面,ABCD,平面,BB,1,D,1,D=BD,平面,BB,1,D,1,D,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,=B,1,D,1,.,所以,BDB,1,D,1,于是由,AA,2,BD,ACBD,BDB,1,D,1,可得,AA,2,B,1,D,1,ACB,1,D,1,.,又,AA,2,AC=A,所以直线,B,1,D,1,平面,ACC,2,A,2,.,(2),由于四棱柱,ABCD-A,2,B,2,C,2,D,2,底面是正方形,侧面是全等的矩形,.,所以,又四棱台,A,1,B,1,C,1,D,1,-ABCD,上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以,所以,S=S,1,+S,2,=2 420(cm,2,).,故需加工处理费,2 420,0.20=484(,元,).,【,互动探究,】,题,1,的题设不变的情况下，求该几何体的表面积,.,【,解析,】,由三视图知，该几何体为长方体上部放置了一个底面直径为,2 cm,，高为,1 cm,的圆柱，而这个长方体的长、宽、高分别为,4,3,1,，表面积为,4,3,2+3,1,2+4,1,2=38;,圆柱的底面圆直径为,2,，母线长,1,，侧面积为,2,1,1=2,;,故该几何体的表面积为,38+2,.,【,拓展提升,】,1.,求解几何体的表面积及体积的技巧,(1),求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在,.,求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上,.,(2),求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解,.,2.,根据几何体的三视图求其表面积与体积的,“,三步曲,”,(1),根据给出的三视图判断该几何体的形状；,(2),由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量；,(3),套用相应的面积公式与体积公式计算求解,.,提醒：,对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差,.,热点考向 三,多面体与球的接、切问题,【,典例,】1.(2012,新课标全国卷,),已知三棱锥,S-ABC,的所有顶点都在球,O,的球面上，,ABC,是边长为,1,的正三角形，,SC,为球,O,的直径，且,SC=2,则此棱锥的体积为,(),(A)(B)(C)(D),2.(2012,太原模拟,),两球,O,1,和,O,2,在棱长为,1,的正方体,ABCD-,A,1,B,1,C,1,D,1,的内部，且互相外切，若球,O,1,与过点,A,的正方体的三个,面相切，球,O,2,与过点,C,1,的正方体的三个面相切，则球,O,1,和,O,2,的,表面积之和的最小值为,(),(A)(6-3 )(B)(8-4 ),(C)(6+3 )(D)(8+4 ),【,解题指导,】,1.,思路一：取,AB,的中点为,D,，将棱锥分割为两部,分，利用,V=V,B-CDS,+V,A-CDS,求体积；,思路二：设点,O,到面,ABC,的距离为,d,利用,求体积；,2.,依题意有,|O,1,A|+|O,1,O,2,|+|O,2,C,1,|=,据此建立两球的半径之间,满足的关系，然后结合两球表面积之和的表达式用基本不等式,求出最小值,.,【,解析,】,1.,选,A.,方法一：,SC,是球,O,的直径，,CAS=CBS=90,.,BA=BC=AC=1,SC=2,AS=BS=,取,AB,的中点为,D,，显然,ABCD,，,ABSD,，,AB,平面,CDS.,在,CDS,中，,CD=,，,DS=,，,SC=2,，利用余弦定理可得,cosCDS,=-,故,sinCDS,=,，,S,CDS,=,V=V,B-CDS,+V,A-CDS,=,S,CDS,BD+S,CDS,AD=S,CDS,BA=,1=.,方法二：,ABC,的外接圆的半径,r=,，点,O,到平面,ABC,的距离,d=,SC,为球,O,的直径,点,S,到平面,ABC,的距离为,2d=,此棱锥的体积为,V=S,ABC,2d=,2.,选,A.,设球,O,1,O,2,的半径分别为,r,1,r,2,，,由题意知,|O,1,A|+|O,1,O,2,|+|O,2,C,1,|=,而,|O,1,A|=,r,1,，,|O,1,O,2,|=r,1,+r,2,|O,2,C,1,|=,r,2,r,1,+r,1,+r,2,+,r,2,=.,r,1,+r,2,=,从而,S,1,+S,2,=4r,1,2,+4r,2,2,=4(r,1,2,+r,2,2,)4,=(6-,3 ).,【,拓展提升,】,多面体与球接、切问题求解策略,(1),涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点,(,一般为接、切点,),或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径,(,直径,),与该几何体已知量的关系，列方程,(,组,),求解,.,(2),若球面上四点,P,，,A,，,B,，,C,构成的三条线段,PA,，,PB,，,PC,两两互相垂直，且,PA=,a,PB,=,b,PC,=c,，一般把有关元素,“,补形,”,成为一个球内接长方体，则,4R,2,=a,2,+b,2,+c,2,求解,.,【,思想诠释,】,多面体与球接、切问题求解中的转化与化归思想,(1),题,1,中的转化与化归思想主要是将棱锥体积转化为两个小棱锥体积之和或转化为求点,O,到平面,ABC,的距离,.,题,2,中的转化与化归主要是：,把球与正方体的组合体的问题转化为球心与球和正方体的切点及相应的顶点构成的两个小正方体的对角线及其两球心与两球切点的连线组成大正方体的对角线的问题,.,(2),多面体与球接、切问题中应用转化与化归思想的常见类型：,多面体与球接、切问题，直接过球心及多面体的特殊点作截面，转化为多个多面体或平面图形的接、切问题求解,.,多面体与球接、切问题，可转化为特殊的多面体,(,如长方体、正方体等,),与球的接、切，再转化为平面图形的接、切问题求解,.,1.(,角度新,),将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧,(,左,),视图为,(),【,解析,】,选,D.,抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在,C,、,D,中，又结合直观图知，,D,正确,.,2.(,交汇新,),如图，某几何体的正,(,主,),视图与侧,(,左,),视图都是边,长为,1,的正方形，且体积为 ，则该几何
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