工程力学12-2-课件

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,工程力学（,A,）,北京理工大学理学院力学系 韩斌,(12-2),36/III,一点的变形有正应变,(,线应变,),和切应变,(,剪应变,),10.6,应变分析,1.,某点处（单元体的）变形的描述,应变,x,y,z,1),正应变,某方向的线段单位长度的改变量：,2),切,应变,沿,2,个正交方向的线段构成的直角的角度改变量：,在,直角坐标下，可有沿,3,个坐标轴方向的正应变：,故在直角坐标下，两两正交方向的切应变有,3,个：,单位：弧度,（无量纲）,2,某点处（某点的单元体上）全体应变（正应变和切应变）,构成该点单元体上的一个,二,阶,对称应变张量,x,y,z,可写为：,3,在 ，坐标下,2.,平面内的应变状态,(,与平面应力状态所对应,),单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量,x,y,x,y,x,y,，,4,在 ，坐标下，方向到 方向夹角 ：,某点各个方位上应变的描述称为该点的应变状态,x,y,y,x,即 ，分别为该点沿 方向的,正应变和切应变，,与平面应力状态的分析类,似，若作变量代换，令：,5,二向应力状态的,斜面应力公式,：,(10.30),(10.31),书上,二向应力对应的,应变分析公式,：,(10.63),(10.64),书上,6,类似，也可求出,该点的主应变,，,主应变方向,7,实验装置,应变花：,3,个应变片,沿一定角度组合起来,可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变 的方向是重合的。,可用于实验测定一点处的应变状态,45,45,直角应变花,120,120,等角应变花,应变分析公式的应用实例：,8,单向胡克定律,比例系数 称为材料的,弹性模量,比例系数 称为,泊松比,11.7,应力应变关系,1.,单向应力状态,横向应变,纵向应变,1,在线弹性、小变形范围内：,9,剪切胡克定律,切变模量,可证明,2.,纯剪应力状态,在线弹性、小变形范围内：,10,只有 作用时,3.,广义胡克定律（适用于任意的三向应力状态）,只有 作用时,只有 作用时,只有 作用时,:,11,故,某点为任意应力状态时应满足：,x,y,z,书上,P274(10.71)(10.76),12,x,y,特别对于平面应力状态：仅有 三个应力分量，其余应力分量为零，故由广义胡克定律：,且有：,即,平面应力状态会产生,z,方向的正应变,使板的厚度发生变化,13,对主单元体，广义胡克定律为：,主轴,3,主轴,2,主轴,1,书上,P274(10.77)(10.79),14,已知一构件表面一点的应变：,求该点的主应力和最大切应力。,例 题,5,10,应力应变分析与应力应变关系,例题,15,解：,则,例 题,5,10,应力应变分析与应力应变关系,例题,设,x,y,16,整理后,例 题,5,10,应力应变分析与应力应变关系,例题,平面应力状态下的广义胡克定律,17,解：,例 题,6,10,应力应变分析与应力应变关系,例题,由该点主方向上的广义胡克定律：,y,x,某点的应力状态为纯剪切，在该点测得与,x,轴夹角为 方向上的正应变是 ，已知 ，求 。,由于纯剪切的主方向为与,x,轴夹角,45,方向，主应力为,x,y,18,取一体积为 的单元体,受应力作用变形。,4.,体积变形,变形后的体积：,各,边长的改变量为：,单位体积的改变量,代入广义胡克定律,体积应变,19,令,称为该点应力的,平均应力,设,称为,体变模量,对非主单元体由于切应变不改变单元体的体积，上式仍成立。,则,或,体积应变定律,此时,20,证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系,证明：取一纯剪单元体,(,正方形,),例 题,7,10,应力应变分析与应力应变关系,例题,非零主应力分别为：,，,-,，主方向为,45,方向,A,B,C,D,D,*,21,关于第,10,章基本概念的几点注意：,1.,关于一点处的单元体及单元体三对表面上的应力,x,y,单元体每对表面的物理意义是该点沿某个方位截面切开后的左右两个内部截面,这两个内部截面上的内力是作用力与反作用力。,2.,关于某点的应力状态及主应力和主方向,1,）一点处的,主应力表示了该点处应力状态的本质特征,用一点处的应力状态,(6,个应力分量,),表示时与坐标系的选择有关，但该点的内力分布本质上应与坐标系的选择无关，即该,点的,3,个主应力及,3,个主方向是坐标不变量。,22,2,）某一点处的应力状态的叠加,变形体因受外力作用产生内力及应力，则在变形体内部某一点，几组外力共同引起的应力可视为每组外力引起的应力的叠加：叠加时应在相同方位的单元体上将相同的应力分量代数叠加,=,+,x,y,23,3.,关于广义胡克定律：,而,单向胡克定律只适用于单向应力状态,广义胡克定律适用于任意应力状态,单向胡克定律,24,11,轴向拉压,11.1,轴向拉压的应力和变形,1.,轴向拉压时的应力,F,F,轴向拉压,外力：沿杆件轴线作用的外力,内力：横截面上只有轴力,F,N,分布内力系的等效,横截面上内力的分布如何？,25,观察实验：杆件拉伸时的变形,F,N,=,A,26,轴向拉压时的平截面假设：,（,1,）变形前的横截面变形后仍为平面，仍垂直于杆的轴线。,（,2,）纵向纤维互不挤压。,P,F,N,=,A,由此得出轴向拉压横截面正应力公式：,(11.1),若轴力或横截面积沿轴线变化,F,N,=F,N,(,x,),A,=,A,(,x,),-,单向受力假定。,(11.2),阶梯杆,锥形杆,27,除集中力作用点附近以外的大部分区域,P,P,拉压正应力公式的适用范围：,圣维南原理,轴向拉压单元体的应力分析：,面上的应力：,由,10,斜面应力公式,当,=0,时，,当,=45,时，,重要结论,轴向拉压时,28,2.,轴向拉压时的变形,由广义胡克定律：,x,y,z,P,P,l,l,变形仅为,沿杆轴的尺寸变化,及,横向尺寸变化,杆件的,纵向伸长量,(11.3),(11.4),29,若,沿整个杆件，,F,N,=,常数，,EA,=,常数，则,(11.5),l,的符号与,F,N,相同,EA,杆件的拉压刚度,若,沿整个杆件,F,N,或,E,，,A,为分段常数,(11.6),l,l,F,N,F,N,l,1,l,2,l,3,E,1,A,1,E,2,A,2,E,3,A,3,F,N,F,N,30,已知：,求,解：画轴力图,AB,段轴力,:,例 题,1,11,轴向拉压,例题,AB,段,变形：,31,BC,段轴力,:,由于,例 题,1,11,轴向拉压,例题,BC,段,变形：,32,长,l,重量为,W,的直杆,AB,，,上端固定，杆的,EA,已知，求自重作用下杆中的最大应力及,B,点的位移 。,例 题,2,11,轴向拉压,例题,解：,1.,轴力方程，轴力图,2.,杆中应力,33,例 题,2,11,轴向拉压,例题,若,杆长,1m,，,横截面积,A=100mm,2,，,比重,长,l,重量为,W,的直杆,AB,，,上端固定，杆的,EA,已知，求自重作用下杆中的最大应力及,B,点的位移 。,34,例 题,2,11,轴向拉压,例题,比较：若,在杆的,B,端加一集中力,F=1kN,，,则杆中应力为：,故,相比之下，一般杆,的,自重产生的应力可以忽略不计。,F,35,例 题,2,11,轴向拉压,例题,3.,求,B,点位移,杆的总伸长量：,36,