几何概型复习课件(总结)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.,几何概型,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的,_,_(_,或,_),成比例,则称这样的概率模型为几何,概率模型,简称为,_.,2.,几何概型中,事件,A,的概率计算公式,P,(,A,)=.,高三复习几何概型,长,度,面积,体积,几何概型,基础知识 自主学习,襄阳三中 苏春艳,3.,要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点,:,(1),无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限,多个；,(2),等可能性：每个结果的发生具有等可能性,.,4.,几何概型的试验中,事件,A,的概率,P,(,A,),只与子区域,A,的几何度量,(,长度、面积或体积,),成正比,而与,A,的位,置和形状无关,.,5.,求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区,域和整个区域 的几何度量,然后代入公式即可求,解,.,题型一 与长度有关的几何概型,【,例,1,】,有一段长为,10,米的木棍,现要截成两段,每段,不小于,3,米的概率有多大？,从每一个位置剪断都是一个基本事件,基,本事件有无限多个,.,但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,记,“,剪得两段都不小于,3,米,”,为事件,A,从木棍的,两端各度量出,3,米,这样中间就有,10-3-3=4(,米,).,在中,间的,4,米长的木棍处剪都能满足条件,所以,从该题可以看出,我们将每个事件理解为,从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每,一点被取到的机会都一样,.,而一个随机事件的发生则,理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解,.,探究提高,知能迁移,1,平面上有一组平行线,且相邻平行线间,的距离为,3 cm,把一枚半径为,1 cm,的硬币任意平抛在,这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率,是,(),A.B.C.D.,解析,如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币,中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相,碰,故所求概率为,B,题型二 与面积,(,或体积,),有关的几何概型,在边长为,2,的正,ABC,内任取一点,P,则使点,P,到三个顶点的距离至少有一个小于,1,的概率,是,_.,解析,以,A,、,B,、,C,为圆心,以,1,为半,径作圆,与,ABC,交出三个扇形,当,P,落在其内时符合要求,.,题型三 与角度有关的几何概型,【,例,3,】,在,Rt,ABC,中,A,=30,过直角顶点,C,作射,线,CM,交线段,AB,于,M,求使,|,AM,|,AC,|,的概率,.,如图所示,因为过一,点作射线是均匀的,因而应把在,ACB,内作射线,CM,看做是等可能,的,基本事件是射线,CM,落在,ACB,内任一处,使,|,AM,|,AC,|,的概率只与,BCC,的大小有关,这符合,几何概型的条件,.,思维启迪,解,设事件,D,为,“,作射线,CM,使,|,AM,|,AC,|,”,.,在,AB,上取点,C,使,|,AC,|=|,AC,|,因为,ACC,是等,腰三角形,所以,几何概型的关键是选择,“,测度,”,如本例,以角度为,“,测度,”,.,因为射线,CM,落在,ACB,内的任意,位置是等可能的,.,若以长度为,“,测度,”,就是错误的,因为,M,在,AB,上的落点不是等可能的,.,探究提高,知能迁移,3,在圆心角为,90,的扇形,AOB,中,以圆心,O,为起点作射线,OC,求使得,AOC,和,BOC,都不小于,30,的概率,.,解,如图所示,把圆弧,AB,三等分,则,AOF,=,BOE,=30,记,A,为,“,在扇,形,AOB,内作一射线,OC,使,AOC,和,BOC,都不小于,30,”,要使,AOC,和,BOC,都不小,于,30,则,OC,就落在,EOF,内,题型四 可化为几何概型的概率问题,【,例,4,】,甲、乙两人约定在,6,时到,7,时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去,.,求两人能会面的概率,.,在平面直角坐标系内用,x,轴表示甲到达,约会地点的时间,y,轴表示乙到达约会地点的时间,用,0,分到,60,分表示,6,时到,7,时的时间段,则横轴,0,到,60,与纵,轴,0,到,60,的正方形中任一点的坐标,(,x,y,),就表示甲、,乙两人分别在,6,时到,7,时时间段内到达的时间,.,而能会,面的时间由,|,x,-,y,|15,所对应的图中阴影部分表示,.,思维启迪,解,以,x,轴和,y,轴分别表示甲、乙,两人到达约定地点的时间,则两人,能够会面的充要条件是,|,x,-,y,|15.,在如图所示平面直角坐标系下,(,x,y,),的所有可能结果是边长为,60,的正方形区域,而事,件,A,“,两人能够会面,”,的可能结果由图中的阴影部分,表示,.,由几何概型的概率公式得：,所以,两人能会面的概率是,探究提高,(1),甲、乙两人都是在,6,7,时内的任意时,刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用,x,y,轴上的数表示,则每一个结果,(,x,y,),就对应于图中,正方形内的任一点,.,(2),找出事件,A,发生的条件,并把它在图中的区域找出,来,分别计算面积即可,.,(3),本题的难点是把两个时间分别用,x,y,两个坐标表,示,构成平面内的点,(,x,y,),从而把时间是一段长度问,题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积,型几何概型的问题,.,1.,几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别,是试验的可能结果不是有限个,.,它的特点是试验结果,在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与,随机事件所在区域的形状位置无关,只与该区域的大,小有关,.,2.,几何概型的,“,约会问题,”,已经是程序化的方法与技,巧,必须熟练掌握,.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,几何概型具有无限性和等可能性两个特点,.,无限性是,指在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的；等,可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的,.,因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路,是相同的,同属于,“,比例解法,”,即随机事件,A,的概率,可以用,“,事件,A,包含的基本事件所占的图形长度,(,面积,或体积,),”,与,“,试验的基本事件所占总长度,(,面积或体,积,),”,之比来表示,.,失误与防范,一、选择题,1.,在长为,12 cm,的线段,AB,上任取一点,M,并以线段,AM,为边作正方形,则这个正方形的面积介于,36 cm,2,与,81 cm,2,之间的概率为,(),A.B.C.D.,解析,面积为,36 cm,2,时,边长,AM,=6,面积为,81 cm,2,时,边长,AM,=9,A,定时检测,2.,在区域 内任取一点,P,则点,P,落在单,位圆,x,2,+,y,2,=1,内的概率为,(),A.B.C.D.,解析,区域为,ABC,内部,(,含边界,),则概率为,D,3.,在面积为,S,的,ABC,的边,AB,上任取一点,P,则,PBC,的面积大于 的概率是,(),A.B.C.D.,解析,由,ABC,PBC,有公共底边,BC,所以只需,P,位,于线段,BA,靠近,B,的四分之一分点,E,与,A,之间,这是一个,几何概型,C,4.,已知正三棱锥,S,ABC,的底面边长为,4,高为,3,在正,三棱锥内任取一点,P,使得,V,P,ABC,V,S,ABC,的概率,是,(),A.B.C.D.,解析,当,P,在三棱锥的中截面及下底面构成的正三,棱台内时符合要求,由几何概型知,A,5.,ABCD,为长方形,AB,=2,BC,=1,O,为,AB,的中点,在长方形,ABCD,内随机取一点,取到的点到,O,的距离大于,1,的概率为,(),A.B.C.D.,解析,如图,要使图中点到,O,的,距离大于,1,则该点需取在图中阴,影部分,故概率为,B,6.,在区间 上随机取一个,数,x,cos,x,的值介于,0,到 之间的概率为,(),A.B.C.D.,解析,A,二、填空题,7.,在平面直角坐标系,xOy,中,设,D,是横,坐标与纵坐标的绝对值均不大于,2,的点构成的区域,E,是到原点的距离不大于,1,的点构成的区域,向,D,中随,机投一点,则落入,E,中的概率为,_.,解析,如图所示,区域,D,表示边长,为,4,的正方形的内部,(,含边界,),区,域,E,表示单位圆及其内部,8.,已知函数,f,(,x,)=,若,a,是从区间,0,，,2,上任取,的一个数,b,是从区间,0,2,上任取的一个数,则此函,数在,1,+),递增的概率为,_.,解析,令,t,=,ax,2,-,bx,+1,函数,f,(,x,),在,1,+),上递增,根,据复合函数单调性的判断方法,则,t,=,ax,2,-,bx,+1,须在,1,+),上递增,由题意得 画出图示得,阴影部分面积,.,概率为,答案,9.,点,A,为周长等于,3,的圆周上的一个定,点,.,若在该圆周上随机取一点,B,则劣弧,的长度小,于,1,的概率为,_.,解析,圆周上使弧 的长度为,1,的点,M,有两个,设,为,M,1,M,2,则过,A,的圆弧 的长度为,2,B,点落在,优弧 上就能使劣弧 的长度小于,1,所以劣弧,的长度小于,1,的概率为,三、解答题,10.,如图所示,在单位圆,O,的某一直径上随机的取一点,Q,，求过点,Q,且与该直径垂直的弦长长度不超过,1,的,概率,.,解,弦长不超过,1,即,|,OQ,|,而,Q,点在直径,AB,上是随机的,事件,A,=,弦长超过,1.,由几何概型的概率公式得,弦长不超过,1,的概率为,答,所求弦长不超过,1,的概率为,11.,投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的,正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是,0,两个面标的数字是,2,两个面标的数字是,4,将此玩具,连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点,P,的横坐标和纵坐标,.,(1),求点,P,落在区域,C,：,x,2,+,y,2,10,内的概率；,(2),若以落在区域,C,上的所有点为顶点作面积最大的,多边形区域,M,在区域,C,上随机撒一粒豆子,求豆子落,在区域,M,上的概率,.,解,(1),以,0,、,2,、,4,为横、纵坐标,的点,P,共有,(0,0),、,(0,2),、,(0,4),、,(2,0),、,(2,2),、,(2,4),、,(4,0),、,(4,2),、,(4,4),共,9,个,而这些点中,落在区域,C,内的点有：,(0,0),、,(0,2),、,(2,0),、,(2,2),共,4,个,所求概率为,(2),区域,M,的面积为,4,而区域,C,的面积为,所求概率为,12.,甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船,的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的,.,(1),如果甲船和乙船的停泊时间都是,4,小时,求它们中,的任何一条船不需要等待码头空出的概率；,(2),如果甲船的停泊时间为,4,小时,乙船的停泊时间为,2,小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出,的概率,.,解,(1),设甲、乙两船到达时间分别为,x,、,y,则,0,x,24,0,y,24,且,y,-,x,4,或,y,-,x,-4.,作出区域,设,“,两船无需等待码头空出,”,为事件,A,(2),当甲船的停泊时间为,4,小时，,乙船的停泊时间为,2,小时,两船不,需等待码头空出,则满足,x,-,y,2,或,y,-,x,4,设在上述条件时,“,两船不需等待码头空出,”,为事件,B,画出区域,返回,