211椭圆及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程,2.1,椭圆,2.1.1,椭圆及其标准方程,通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？,1.,了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,（重点）,2,掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程,.,（重点、难点）,实验操作,(1),取一条定长的细绳；,(2),把它的两端都固定在图板的同一点处；,(3),套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆,.,探究点,1,椭圆的定义,根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：,1.,在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的,还是运动的？,2.,在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明,了什么？,3.,在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小,有怎样的关系？,思考：,结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？,椭圆定义：,我们把平面内与两个定点,F,1,，,F,2,的距离的和等于常数,（大于,|F,1,F,2,|,）,的点的轨迹叫做,椭圆,.,两个定点,F,1,，,F,2,叫做椭圆的,焦点,.,两焦点间的距离叫做,椭圆的焦距,.,|MF,1,|+|MF,2,|,|F,1,F,2,|,椭圆,|MF,1,|+|MF,2,|=|F,1,F,2,|,线段,|MF,1,|+|MF,2,|,|F,1,F,2,|,不存在,思考：,在平面内动点,M,到两个定点,F,1,，,F,2,的距离之和等于定值,2a,的点的轨迹是否一定为椭圆？,【,提升总结,】,探究点,2,椭圆的标准方程,根据椭圆的定义如何求,椭圆的方程呢？,思考：,求曲线的方程的基本步骤是什么呢？,（,1,）建系设点,;,（,2,）写出点集；,（,3,）列出方程；,（,4,）化简方程；,（,5,）检验,.,第一步：如何建立适当的坐标系呢？,想一想：,圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？,O,x,y,M,F,1,F,2,方案一,F,1,F,2,方案二,O,x,y,M,设,M,(x,y),是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为,F,1,和,F,2,，椭圆的焦距为,2c(c0),，,M,与,F,1,和,F,2,的距离的和等于,2a(2a2c0).,请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程,.,解：,以焦点,F,1,F,2,的所在直线为,x,轴，线段,F,1,F,2,的,垂直平分线,为,y,轴，建立平面直角坐标系,xOy,(,如图,).,设,M(x,y),是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为,2c(c0),，,M,与,F,1,和,F,2,的距离的和等于正常数,2a,(2a2c),，则,F,1,，,F,2,的坐标分别是,(,c,0),、,(c,0),.,x,F,1,F,2,M,O,y,由椭圆的定义得,因为,移项，再平方,整理得,两边再平方，得,它表示焦点在,y,轴上的椭圆,.,它表示焦点在,x,轴上的椭圆,.,1,o,F,y,x,2,F,M,1,2,y,o,F,F,M,x,（,1,）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式,的平方和，右边是,1;,（,2,）椭圆的标准方程中，,x,2,与,y,2,的分母哪一个大，,则焦点在哪一个轴上,;,（,3,）椭圆的标准方程中,a,，,b,，,c,满足,a,2,=b,2,+c,2,.,椭圆的标准方程有哪些特征呢？,【,提升总结,】,例,1,已知椭圆的两个焦点坐标分别是,(-2,0,),(2,0),并且经过点,.,求它的标准方程,.,解,:,因为椭圆的焦点在,x,轴上,所以设,它的标准方程为,由椭圆的定义知,又因为,所以,因此,所求椭圆的标准方程为,所以,能用其他方法求它的方程吗？,另解,:,因为椭圆的焦点在,x,轴上,所以设它,的标准方程为,:,联立,因此,所求椭圆的标准方程为,:,又焦点的坐标为,【,变式练习,】,已知椭圆经过两点 和 ，求椭圆的,标准方程,.,解：,设椭圆的标准方程为,则有,解得,所以，所求椭圆的标准方程为,.,x,y,O,D,M,P,例,2,如图，在圆 上任取一点,P,，过点,P,作,x,轴的垂线段,PD,，,D,为垂足,.,当点,P,在圆上运动,时，线段,PD,的中点,M,的轨迹是什么？为什么？,解：,设点,M,的坐标为（,x,y,）,点,P,的坐标为（,x,0,y,0,）,则,因为点,P,（,x,0,y,0,）在圆,把点,0,=x,，,y,0,=2y,代入方程，得,即,所以点,M,的轨迹是一个椭圆,.,从例,2,你能发现椭圆与圆之间的关系吗？,例,3,如图，设点,A,，,B,的坐标分别是,(-5,，,0),和,(5,，,0),直线,AM,BM,相交于点,M,，且它们的斜率之积是,求,点,M,的轨迹方程,.,y,A,x,M,B,O,解：,设点,M,的坐标（,x,y,）,因为点,A,的坐标是（,-5,0,）,所以,直线,AM,的斜率为,同理，直线,BM,的斜率,由已知有,化简，得点,M,的轨迹方程为,1.,已知,F,1,，,F,2,是椭圆 的两个焦点，,过,F,1,的直线交椭圆于,M,，,N,两点，则三角形,MNF,2,的周长为（）,A.10 B.20,C.30 D.40,B,y,o,F,1,F,2,M,x,N,2.,椭圆的长轴是短轴的,3,倍，且过点,A,（,3,，,0,），则椭圆的标准方程是,_.,答案：,3.,已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为,2.4 m,，外轮廓线,上的点到两个焦点的距离和为,3 m,，,求这个椭圆的标准方程,.,解：,以两个焦点,F,1,，,F,2,所在的直线为,x,轴，以线段,F,1,F,2,的垂直平分线为,y,轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为,根据题意知，,2a=3,，,2c=2.4,，即,a=1.5,，,c=1.2.,所以,b,2,=a,2,-c,2,=1.5,2,-1.2,2,=0.81,，,因此椭圆的标准方程为,x,O,y,F,1,F,2,P,定 义,图,形,方 程,焦 点,F(,c,，,0),F(0,，,c),a,b,c,的关系,P|PF,1,|+|PF,2,|=2a,2a|F,1,F,2,|,1,2,y,o,F,F,P,x,y,x,o,2,F,P,F,1,每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。,