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常微分方程第三章测试卷班级 姓名 学号 得分一、 填空题（30分）1, 则称函数为在R上关于 y满足利普希兹条件。2,存在唯一性定理中近似值与真正解在区间|x a h内的误差估计 式为 3,由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件 y（xQ y0的解是唯 一i的，记为y （x, Xo, yo）,则成立关系式 在解的存 在范围内。4,若函数f（x,y）以及都在区域G内连续，则方程的解y（x,xo，yo）y作为x, x0, y0的函数在它的存在范围内的 。5,若函数f（x,y）在区域G内连续，且关于y满足局部利普希兹条件， 则方程的解y（x,x0,y。）作为x,x0,y。的函数在它的存在范围内的。6,微分方程的奇解是指 二、解答题（50分）2, 求曲线xcosa ysin a p 0的奇解。这里a是参数，p为固定常3, 求y 1 y2的奇解 y 14, 求初值问题dy x2 y2及y( 1) 0; R：|x 1 1,|y 1的解的存在dx区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。4,讨论dx 一分别过点（0,0）,（ln2,3）的解的存在区间5,利用克莱洛方程求y xp 1的奇解，p电pdx三、证明题(20分)假设函数f(x,y)于(?O0)的邻域内是y的不增函数，试证方程 dy f(x,y)满足条件y(x0)y0的解于x x0一侧最多只有一个。常微分方程第三章测试卷一 1,若存在常数L 0。使得不等式f (x,yi) f(x,y2) L、(x,yi), (x, y2) R都成立N2 n(x)(x)hn1。(n 1)!3, yo(xo,x, y)4,连续可微的。5,连续的6, 一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线，且满足积分曲线上的每 曲线族中的一条曲线和它在此点相切；y2 ,对于所有点都有积分1 解：由 xcosa y sin a p 0xsin a y cos a 0得到x2y2 p2故所求奇解为x2 y2 p22解：易解得其通解为：y sin(x c)f y又y 1 y2令 则有y 1 y3 解：a 1, b 1M Max f (x, y) 4,I 2y 2 L yMin(唔)故 n(x)(x)且hn1= .1 (n 1)!242 (x)347XXXX11;391863424解：显然y1在整个平面上是连续2又上 yy21y ,所以f （X, y）y1满足局部利普希兹条件，从而满足解的存2在唯一性定理和延拓定理的条件。易知方程的解为Xce 口及X1、过（0,0)的解为ceX eX eXe二 有意义，又由解的唯一性知:eX e 匕 一与yX e1不相交,故此方程解的存在区间为2、过（In 2, 3）的解为：yX eX e当 x 0, y故方程的解向左只能延拓到X0。故方程的解的存在区间为(0,)“,1_1三，证明：假设满足条件5,解：由 y Xp 与x 2- 0可得: P Py1(x)与y2(x)为连续函数。不妨假设在(xo, Xi 上yi(x) y2(x)于是(x) 0,x (x。，%f(x,yi) f(x,y2) 0dx dx dx又 (x) 0故在x0,x1上(x) 0矛盾，因此命题成立。1eX .又y -J与y1不相交1ex2y 4xy(x)y 的解于 X X0 有两个 y1(x), y2(x)则 y1 (x) = y y2(x)= y
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