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实际问题与二次函数 知识点一 二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的最小(大)值 一般抛物线 (a0) 的顶点是最低(高)点，顶点=2+ （ 2， 424） 【注意】对称轴自变量 x 的取值范围内，顶点处能够取到二次函数极值。 典例 1 运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞 行的竖直高度 y（单位： m）与水平距离 x（单位： m）近似地满足函数关系 y ax2 bx c（ a0） 下图记录了铅球飞行中的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和 数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离最接近的是（ ） A2.6 m B3 m C3.5 m D4.8 m 【答案】C 【详解】 由题意抛物线经过（0，1.8） ， （3，3） ， （6，2.7） ，则有： 1.89362.7cab ，解得：12301.8abc ，抛物线的解析式为 2131.80yx ，该铅球飞行到最高点时，水平距离 是 320.916ba m 故选 C 典例 2 汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）关于行驶的时间 t（单位：秒）的函数解析式为 s=-6t2+bt（ b 为常数） 已知 t= 12 时， s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（） A 15 米 B8 米 C 758 米 D10 米 【答案】C 【详解】 解：把 t= 12 ，s=6 代入 s=-6t2+bt 得， 6=-6 4+b ， 解得，b=15 函数解析式为 s=-6t2+15t=-6（t- 54 ） 2+ 78 ， 当 t= 54 时，s 取得最大值，此时 s= ， 故选：C 知识点二 二次函数在实际中的运用 几何问题： 典例 1 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长） ，用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边） ，设 AB=m若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15m 和 6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细） ，则花 园面积 S 的最大值为（） A193 B194 C195 D196 【答案】C 【详解】 AB=m 米， BC=（28-m）米 则 S=ABBC=m（28-m）=-m 2+28m 即 S=-m2+28m（0m28） 由题意可知， ， 62815 解得 6m13 在 6m13 内，S 随 m 的增大而增大， 当 m=13 时，S 最大值 =195， 即花园面积的最大值为 195m2 故选 C 典例 2 如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路， 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确 的是（） A （322x） （20 x）=570 B32x+220 x=3220570 C （32x） （20 x）=3220570 D32x+220 x2x 2=570 【答案】A 【解析】 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为 xm，根据草坪的面积是 570m2，即可列出 方程:(322 x)(20 x)=570， 故选：A. 销售最大利润： 典例 1 华润万家超市某服装专柜在销售中发现：进货价为每件 50 元，销售价为每件 90 元的 某品牌童装平均每天可售出 20 件为了迎接“六一” ，商场决定采取适当的降价措施，扩大 销售量，增加盈利经调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件， 要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，同时又要使顾客得到较多的实惠，设降价 x 元，根 据题意列方程得( ) A(40 x)(20+2x)1200 B(40 x)(20+x)1200 C(50 x)(20+2x)1200 D(90 x)(20+2x)1200 【答案】A 【解析】 试题分析：总利润=单件利润数量；单件利润=9050 x，数量=20+2x，则（40 x） （20+2x）=1200 典例 2 某产品每件成本为 10 元，试销阶段的售价 x（元）与销售利润 y（元）满足 y=（x10） （40 x） ，那么获利最多时的售价为（） A10 元 B25 元 C40 元 D55 元 【答案】B 【详解】 y=（x-10） （40-x）=-x 2+50 x-400=-（x-25） 2+225， 当 x=25 时，y 取得最大值，此时 y=225， 即获利最多时的售价为 25 元， 故选：B 拱桥问题（坐标轴不同，二次函数也不同）： 典例 1 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面上升 1m，则水 面宽为（ ） A 2m B2m C2 m D2 6m 【答案】C 【详解】 如右图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：y=a(x2) 2+2， 函数图象过点(0,0)， 0=a(02) 2+2,得 a= 1 ， 抛物线的解析式为：y= 2(x2)2+2， 当 y=1 时,1= 12 (x2)2+2， 解得,x 1=2 、x 2=2+ ， 水面的宽度是：(2+ )(2 2)=2 ，故答案选：C. 典例 2 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，则水面下降 1m 时，水面宽 度增加（ ）m A1 B2 C D264 62 【答案】C 【详解】 建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可 得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ， 通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（-2，0） ， 到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2， 当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y=-1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=-1 与抛物线相交的两点之间的 距离， 可以通过把 y=-1 代入抛物线解析式得出： -1=-0.5x2+2， 解得：x= ，6 所以水面宽度增加到 2 米，比原先的宽度当然是增加了 2 -4，6 6 故选 C. 巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余 的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是 （） A （322x） （20 x）=570 B32x+220 x=3220570 C （32x） （20 x）=3220570 D32x+220 x2x 2=570 【答案】A 【解析】 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为 xm，根据草坪的面积是 570m2，即可列出 方程:(322 x)(20 x)=570， 故选：A. 2某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映，如果调整商品售 价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件设每件商品降价 x 元后，每星期售出商品的总销售 额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为（） Ay=60（300+20 x） By=（60 x） （300+20 x） Cy=300（6020 x） Dy=（60 x） （30020 x） 【答案】B 【解析】 每件商品降价 x 元后，则每星期的销售量为(30020 x)件，单价为(60 x)元，则 y(60 x) (30020 x)，故选 B. 3某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若 每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？ 设每盆多植 x 株，可列出的方程是（） A(3+ x)(4-0.5x)=15 B( x+3)(4+0.5x)=15 C( x+4)(3-0.5x)=15 D( x+1)(4-0.5x)=15 【答案】A 【详解】 试题解析：设每盆应该多植 x 株，由题意得 （3+x） （4-0.5x）=15， 故选 A 4如图，假设篱笆（虚线部分）的长度 16m,则所围成矩形 ABCD 最大面积是（ ） A60 m 2 B63 m 2 C64 m 2 D66 m 2 【答案】C 【解析】 试题分析：设 BC=xm，表示出 AB，矩形面积为 ym2，表示出 y 与 x 的关系式为 y=（16x） x=x 2+16x=（x8） 2+64， ，利用二次函数性质即可求出求当 x=8m 时，y max=64m2，即所围 成矩形 ABCD 的最大面积是 64m2故答案选 C 5某农产品市场经销一种销售成本为 40 元的水产品据市场分析，若按每千克 50 元销售， 一个月能售出 500 千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少 10 千克设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（） A y（ x40） （50010 x） B y（ x40） （10 x500） C y（ x40）50010（ x50） D y（ x40）50010（50 x） 【答案】C 【解析】 详解：设销售单价为每千克 x 元，此时的销售数量为 ，每千克赚的钱为50010(50) 40, 则 .=(40)50010(50) 故选 C. 【名师点睛】此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价) 销量, 列出函数解析式,求最值是解题关键. 6有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是 16 m，跨度为 40 m，现把它的示意图(如 图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为() A y x2 x 125 58 B y x2 x 125 C y x2 x 58 125 D y x2 x16 125 85 【答案】B 【详解】 设 y=a(x20)2+16， 因为抛物线过(0,0)， 所以代入得： 400a+16=0， 解得 a= ， 125 故此抛物线的函数关系式为： y= (x20)2+16， 125 即 y= x2+ x， 12558 故选 B. 【名师点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标式待定系数法求表达式. 7有长 24m 的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于 墙的一边长为 x m，面积是 s m2 ， 则 s 与 x 的关系式是（） As=3x 2+24x Bs=2x 224x Cs=3x 224x Ds=2x 2+24x 【答案】A 【详解】 解：如图所示： AB 为 x m，则 BC 为（243 x）m， 所以 S=（243 x） x=3 x2+24x 故选：A 【名师点睛】 考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够用自变量 x 表示出矩形的 长与宽 8某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利 元 与销售单价 元 满足关系( ) ( ) ，要想获得最大利润，则销售单价为=2+70800 A30 元 B35 元 C40 元 D45 元 【答案】B 【解析】 y= x2+70 x800=（ x35） 2+425， 当 x=35 时， y 取得最大值，最大值为 425， 即销售单价为 35 元时，销售利润最大， 故选：B 9如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2.5m，水面宽度增加 （） A1 m B2 m C3 m D6 m 【答案】B 【解析】 如图，建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过 画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的 一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ，设顶点式 y=ax2+2，把 A 点坐标（2，0）代入得 a=0.5，抛物线解析式为 y=0.5x 2+2，当水面下降 2.5 米，通过抛物线在图上的观察可 转化为：当 y=2.5 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=1 与抛物线相交 的两点之间的距离，可以通过把 y=2.5 代入抛物线解析式得出：2.5=0.5x 2+2，解得： x=3，234=2，所以水面下降 2.5m，水面宽度增加 2 米，故选 B 10图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 y= （x80） 2+16，桥 拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面，有 ACx 轴，若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为（ ） A16 米 B 米 C16 米 D 米 【答案】B 【解析】 试题分析：ACx 轴，OA=10 米， 点 C 的横坐标为10， 当 x=10 时，y= （x80） 2+16= （1080） 2+16= ， C（10， ） ，桥面离水面的高度 AC 为 m故选 B 二、填空题（共 5 小题） 11如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 _m. 【答案】4 2-4 【详解】 建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可 得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A， B 两点， OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为 0,2. 通过以上条件可设顶点式 2yax，其中 a可通过代入 A 点坐标 2,0. 代入到抛物线解析式得出： 0.5， 所以抛物线解析式为 .5yx， 当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 2与抛物线相交的两点之间 的距离， 可以通过把 2代入抛物线解析式得出：20.5x， 解得： 2x， 所以水面宽度增加到 4米，比原先的宽度当然是增加了 42. 故答案是： 2. 【名师点睛】 考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键 12用一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 20m，当矩形的长、宽各取 某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_m 2. 【答案】112.5 【详解】 设矩形的长为 xm，则宽为 m， 302 菜园的面积 S=x =- x2+15x=- （x-15） 2+ ， （ 0 x20）. 302 12 12 2252 当 x15 时，S 随 x 的增大而增大， 当 x=15 时，S 最大值 = m2， 2252 故答案为： 2252 【名师点睛】 本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量 x 的 取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键 13廊桥是我国古老的文化遗产 如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表. 达式为 ，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米的点 E，F 处要= 1402+10 安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离 EF 是_米 精确到 1 米.( ) 【答案】 85 【解析】 由于两盏 E、F 距离水面都是 8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就 是直线 y=8 与抛物线两交点的横坐标差的绝对值 故有 ， 1402+10=8 即 ， ， 2=801=45 2=45 所以两盏警示灯之间的水平距离为： |12|=|45（ 45） |=8518（ m） 14如图，在直角三角形 ABC 中，C90，AC6 厘米，BC8 厘米，点 P、Q 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AC、CB 方向匀速运动，它们的速度都是每秒 1 厘米，P 点运动_秒 时，PCQ 面积为 4 平方厘米。 【答案】2 或 4 【解析】 设 x 秒后，PCQ 面积为 4 平方厘米，则 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=xcm，列方程得：12 x（6-x）4, -x2+6x-8=0, (-x+2)(x-4)=0, x1=2，x 2=4. 故答案是：2 或 4. 【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等 量关系求解 15如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为 12m 时，拱顶离水面 4m，当水面下降 2m 时， 水面的宽为_m 【答案】 6 【解析】如下图，建立平面直角坐标系，则由题意可得：A、B、C 的坐标分别为：（-6，0） 、 （6，0） 、 （0，4） ，抛物线的对称轴为 y轴， 设图中抛物线的解析式为： 24ax， 把点 B（6，0）代入 2yx中得： 360，解得 19a，所以该抛物线的解析式为： 2149yx， 在 中，当 2y时，可得 21+49x，解得 1236x， ， 当水位下降 2 米时，水面宽度为： 36（米）. 三、解答题（共 2 小题） 16某商场销售一种商品，进价为每个 20 元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于 60 元.经调查发 现，每天的销售量 y(个）与每个商品的售价 x(元）满足一次函数关系，其部分 数据如下表所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）设商场每天获得的总利润为 w（元） ，求 w 与 x 之间的函数关系式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是 多少？ 【答案】 （1） ；（2） ；（3）当售价定为 50 元时，商=2+160 =22+2003200 场每天获得总利润最大，最大利润是 1800 元. 【详解】 （1） 与 满足一次函数关系 . 设 与 的函数表达式为 . =+(0) 将 ， 代入 中，得(30,100) (40,80) =+ 解得 100=30+.80=40+. =2.=160. 与 之间的函数表达式为 . =2+160 （2）由题意，得 .=(20)=(2+160)(20)=22+2003200 与 之间的函数表达式为 . =22+2003200 （3） .=22+2003200=2(50)2+1800 ，抛物线开口向下.20 由题可知： ，2060 当 时， 有最大值， 元.=50 最大 =1800 答：当售价定为 50 元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是 1800 元. 【名师点睛】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数 的性质 17鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为 60 元，每星期可卖 100 件，为了促销，该店决定 降价销售，经市场调查反应：每降价 1 元，每星期可多卖 10 件已知该款童装每件成本 30 元设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围） ； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得 3910 元的利润？ 若该店每星期想要获得不低于 3910 元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？ 【答案】 （1）y=100+10（60 x）=10 x+700；（2）每件售价定为 50 元时，每星期的销售利 润最大，最大利润 4000 元；（3）当每件童装售价定为 53 元或 47 元时，该店一星期可获 得 3910 元的利润；每星期至少要销售该款童装 170 件 【解析】分析：（1）根据售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数关系即可得到结论 （2） ）设每星期利润为 W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题 （3）根据方程即可解决问题； 列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题 详解：（1）y=100+10（60-x）=-10 x+700 （2）设每星期利润为 W 元， W=（x-30） （-10 x+700）=-10（x-50） 2+4000 x=50 时，W 最大值=4000 每件售价定为 50 元时，每星期的销售利润最大，最大利润 4000 元 （3）由题意：-10（x-50） 2+4000=3910 解得：x=53 或 47， 当每件童装售价定为 53 元或 47 元时，该店一星期可获得 3910 元的利润 由题意：-10（x-50） 2+40003910， 解得：47x53， y=100+10（60-x）=-10 x+700 170y230， 每星期至少要销售该款童装 170 件 【名师点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决 最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型
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