宁夏银川二中2021届高三数学上学期统练试题三理【含解析】

宁夏银川二中 2021 届高三数学上学期统练试题三 理（含解析） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 设集合 M=x|x-1|1， N=x|x2，则 M N=（ ） A. (-1，1) B. (-1，2) C. (0，2) D. (1，2) 【答案】C 【解析】 【分析】 先由绝对值不等式 的 解法求得集合 M，再由集合的交集运算可得选项.【 详解】 |1|02|2|02|02MxxNxNxxx， ， ， ， 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知 ， 为第二象限角，则 的值是（ ） 3sin2tan A. B. C. D. 3123 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题中条件，由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为 ， 为第二象限角， 3sin2 所以 ， 1cos142 因此 . 3sin2ta1co 故选：A. 【点睛】本题主要考查由正弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型. 3. 在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）ABC13BC 60ABC A. B. 2 C. D. 33 23 【答案】A 【解析】 【分析】 结合余弦定理求出 ，进而可求出三角形的面积.AB 【详解】解：由余弦定理可知， ，即22cosCBABC ，整理得 ，解得 或 (舍去)，213cos60104A3 则 ， 1in4sin632ABCS 故选:A. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.本题的关键是求出 .AB 4. 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 、 的值分2sinfxx02 别是（ ） A. 4， B. 2， C. 4， D. 2，3 663 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦函数的周期性可得 ，进而求得 ，再利用 时取得最大值可求得 34T512x 值. 【详解】由图观察可知，函数的周期 满足 ，由此可得 ，解得 ，T 34T2 函数表达式为 .又当 时,取得最大值 2，2sinfxx 512x ，可得 ， ， 2sin156kZ 取 ，得 .0k3 故选：D. 【点睛】本题考查由 的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性sinyAx 和最值，属于基础题. 5. 若向量 ，满足 ，则 与 的夹角为（ ）,ab 3,2()baba A. B. C. D. 2 656 【答案】D 【解析】 【分析】 由向量垂直可得 ，结合数量积的定义表达式可求出 ，又()0ab 2cos,ab ，从而可求出夹角的余弦值得解.3,2ab 【详解】解：因为 ，所以 ，()0ab 2 2()0,ababa 因为 ，所以 ，. ，3,2 3cos,cos,0,5,6ab 故选:D. 【点睛】本题考查向量的数量积、向量垂直及向量夹角的计算.属于基础题 6. 在 中，角 、 、 所对应的变分别为 、 、 ，则 是ABCBCabc“”ab 的（ ）“sini” A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果. 【详解】由正弦定理得 （其中 为 外接圆的半径） ， 2siniabRABABC 则 ， ，2siaR2bR ，siisinb 因此 是 的充分必要必要条件，故选 A.“”inAB 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件 与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质pq 尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为,pq 直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题； 对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 7. 要得到函数 的图象，可将 的图象向左平移sin23cosfxxR2sinyx （ ） A. 个单位 B. 个单位 C. 个单位 D. 个单6 3412 位 【答案】A 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简函数 的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得yfx 出结论. 【详解】 ， sin23cos2in2sin36fxxx 因此，将 的图象向左平移 可得到函数 的图象.siy6 yf 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名 称要保持一致，考查推理能力，属于中等题. 8. 已知函数 是定义在 上的奇函数， （1） ，且 ，则()fxRf5(4)(fxfx 的值为（ ）(201f A. 0 B. C. 2 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，分析可得 ，即函数 是周期为 8 的周期函数，则有(8)(4)(fxfxf()fx ， （1） ，由奇函数的性质求出 与 （1）的值，相加即(20)ff200f 可得答案. 【详解】解：根据题意，函数 满足 ，则有 ，()fx(4)(ffx(8)(4)(fxfxf 即函数 是周期为 8 的周期函数，()fx 函数 是定义在 上的奇函数，则 ，fR(0)f (4) ，(20)(4825)fff(0)f (5) （1） ，1f5 则 （1） ，()()(fff 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基 础题. 9. 在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间 单位：小时 与储存温度 单位：(y)(x 满足函数关系 为自然对数的底数， k， b 为常数 ，若该食品在) (2.718 kxbye ) 时的保鲜时间为 120 小时，在 时的保鲜时间为 15 小时，则该食品在 时的保0C 30C 20C 鲜时间为 () A. 30 小时 B. 40 小时 C. 50 小时 D. 80 小时 【答案】A 【解析】 【分析】 列方程求出 和 的值，从而求出当 时的函数值10keb20 x 【详解】解：由题意可知 ， ， ， 12035bek318ke02ke 20102()4kbkbe 故选 A 【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，考查函数值的计算，考查了实际 应用的问题，属于中档题题目给定 与 的函数关系式 ，里面有两个参数 ，yxe kxby,kb 需要两个已知条件来求出来，根据题目所给已知条件列方程组，解方程组求得 的值，也 即求得函数的解析式. 10. 在 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 且 ， osc2AaCab 则 等于（ ）cosB A. B. C. D. 154143432 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理可得 ，结合 和余弦定理，即可得答案；sin2iBCab 【详解】 ，cosincosic2sinAaAC ，sin()siiC ，又 ，2bcb ， 2214osaB 故选：B. 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求 值. 11. 若函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围 2,013xeaf x,a 是（ ） A. B. C. D. 1,1,3 1,21,2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分段函数一侧的单调性，确定另一侧的单调性，再比较分界点处函数值的大小，求实数 的取值范围.a 【详解】因为函数 在 上是单调函数，并且当 时， ，fx,0 x2 xfea ，所以函数在 单调递增，所以 时，10 xfe0 也是增函数，所以 ，即 ，32a1a1a 并且在分界点处需满足当 时， ，0 x 0132aea 解得： ，3a 综上可知 实数 的取值范围是 .,3 故选：B 【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础 题型. 12. 已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立， xefa0,21x1221fxf 则实数 的取值范围为（ ）a A. B. C. D. ,e,e ,2e,2e 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得出 ，构造函数 ，可知函数 在区间12xffx 2xgeaygx 上单调递增，可得出 对任意的 恒成立，利用参变量分离0,20 xe0 法可得出 ，利用导数求得函数 在区间 上的最小值，由此可求得实2 xeaxh, 数 的取值范围. 【详解】函数 的定义域为 ，当 时， 恒成立， xefa0,21x1221fxf 即 ，构造函数 ，则 ，12xffx 2xgxfea12gx 所以，函数 在区间 上为增函数， 2gea0, 则 对任意的 恒成立， ，0 xx2xea 令 ，其中 ，则 .2 xehminah ，当 时， ，此时函数 单调递减； 21xeh01x0hxyhx 当 时， ，此时函数 单调递增.y 所以，函数 的最小值为 ， .yhx min12ehxa 因此，实数 的取值范围是 .a ,2e 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函 数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 函数 在点 处的切线方程为_lnfx1,0 【答案】 y 【解析】 【分析】 因为曲线 f（ x） lnx 在点（1，0）处的切线的斜率为 f（1） ，用点斜式求得函数 f（ x） lnx 的图象在点（1，0）处的切线方程 【详解】解： f（ x） ，曲线 f（ x） lnx 在点（1，0）处的切线的斜率为 f（1）1， 所以函数 f（ x） lnx 的图象在点（1，0）处的切线方程是 y0 x1， 整理得 x y10 故答案为 x y10 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础 14. 已知 sin2 ，则 2cos2（ ）=_ 144 【答案】 5 【解析】 sin2 ，2cos 2（ ）= =1+sin2 = 故答案为 1441cos215454 15. 已知 ，则 的大小关系是_. 0.32,lg3ab,abc 【答案】 c 【解析】 【分析】 首先 分别和 0,1 比较大小，再比较 的 大小.,abc,abc 【详解】 ， ，0.321 2439b ，即 ， 1loglc,01,ac 所以 .abc 故答案为： 【点睛】本题考查指对数比较大小，属于基础题型. 16. 设函数 .若 ，则 的最小值为 2,14xafx1afx _；若 恰有 2 个零点，则正实数 的取值范围是_.f 【答案】 (1). (2). 1 ,1, 【解析】 【分析】 分析 在 上的取值范围，从而确定出 的最小值；考虑函数fx,1fx 在 上的零点个数，由此得到对应的关于 的不等式组，从而求解出 的取2 xya aa 值范围. 【详解】 ， 21,4xfx 当 时， ；10 xy 当 时， 的对称轴为 ，所以 ，1x412yx 32xmin34121y 所以 的最小值为 ；f 当 在 上有 个零点时，所以 ，所以 ，2 xya,10a2a 此时 在 上有 个零点，所以 ，所以 ，42,1 121 所以此时 ； 1,a 当 在 上没有零点时，所以 或 ，2 xy,2a0 此时 在 上有 个零点，所以 ，42a1,1a 所以此时 ，, 所以 的取值范围是 ，a ,12, 故答案为： ； . , 【点睛】本题考查分段函数的综合应用，涉及分段函数的最值、零点问题以及分类讨论思想， 主要考查学生的分析与计算能力，难度较难. 三、解答题（共 70 分） 17. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .ABC, ,abc osc2osaBbCA （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长. 43,aABC 【答案】 （1） ；（2） . A8 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理完成边化角，然后化简原等式即可求解出 的大小；A （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出 的值，从而 的周长可求.bcBC 【详解】 （1）因为 ， cos2cosaBbCA 所以 ， sinsiniini2coC 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；0,Asi0A 1cosA3 （2）因为 ，所以 ，22abc29bc 又因为 ，所以 ，所以 ， 1sinABCS 163c243 所以 ，所以 ， 224+=5bcb5bc 所以 的周长为： .AB38ac 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形以及 三角形面积公式，主要考查学生对正、余弦定理的公式的熟练运用，难度一般. 18. 已知函数 的最大值为 3. 2123sincosfxxxm （1）求 的值； m （2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围.ABC, ,abc0fA bc 【答案】 （1） ；（2） .m 1, 【解析】 【分析】 （1）首先化简函数 ，再根据函数的最值求 的值；（2）首先 2sin6fxxmm 求角 ，再根据三角形时锐角三角形，确定角 的范围，再根据正弦定理用角表示AC ，并求范围. 312tanbcC 【详解】 sin21cosfxxm ， 2sin6m 当 时，函数取得最大值 ； i1x231m （2） ， 2sin6fx ，即 , i10fA1sin26A ， ， ， 0,27,65 得 ， ，3 A3BC 又 为锐角，所以 ， ，,BC 023,62C , 21sincosini 312tabc 其中 , ,即 ， 3taC302tanC,2tnC 综上可知 的取值范围是 . bc1 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦定理边角互化，三角函数的性质的综合应用，重点考 查转化与变形，计算能力，本题的易错点是容易忽略锐角三角形这个条件. 19. 如图，在南北方向有一条公路，一半径为 100 的圆形广场（圆心为 ）与此公路所在mO 直线 相切于点 ，点 为北半圆弧（弧 ）上的一点，过点 作直线 的垂线，垂足为lAPAPBPl ，计划在 内（图中阴影部分）进行绿化，设 的面积为 （单位： ） ，QPAPAQS2m （1）设 ，将 表示为 的函数；()BOPradS （2）确定点 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积 【答案】 （1） ， .S50(sincos)(0) （2）当点 p 距公路边界 为 时，绿化面积最大， .l1m 2max3750()S 【解析】 【分析】 （1）由三角函数的定义可用 表示 AQ， PQ，从而代入三角形面积公式，得答案； （2）对（1）问中函数求导，利用导数求得最大值，得答案. 【详解】 （1）由题可知 ， ， ，.10sinAQ10cosP0, 则 的面积PA i()2S ， .50(sincos)(0) （2） 222in50(cos1)S (cs1)() 令 ，则 或 （舍） ，此时 0S o2cs13 当 时， ， ， 关于 为增函数3 10S 当 时， ， ， 关于 为减函数3 1cos20S 所以当 时， ， 2max 3150(insico)=50()=375032()S m 此时 110cos=2PQm 故：当点 p 距公路边界 为 时，绿化面积最大， .l150 2ax3750()S 【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题， 进而构建对应的函数关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于较难题. 20. 设函数 ，其中 .()cos xfaeaR （1）若 ，证明：当 时， ；0()2fx （2）若 在区间 内有两个不同 的 零点，求 a 的取值范围.()fx, 【答案】 （1）证明见解析；（2） . 34,2e 【解析】 【分析】 （1）由 得 在 上为增函数，则 从而得证.()sin0 xfe()fx,)()02fx （2）即 在区间 内有两个不同的实数根,设 求出 的导数， coxacos,xhe()h 研究出 的单调性，从而可得答案.()h 【详解】 （1） ，sin xfe 由 ，得 ，0 x,1, x 则 ，即 在 上为增函数.()si0fe()fx0,) 故 ，即 .2x2 （2）由 ，得 .()cos0 xfaecosxae 设函数 ， cos(),0 xhe 则 . in()x 令 ，得 .()0h 34 则 时， 时， ， ,x()0,hx()0hx 所以 在 上单调逼增，在 上单调减.()h 3,43,4 又因为 ， 3201,(),ehe 所以当 时，方程 在区间 内有两个不同解， 342,aecosxae0, 即所求实数 a 的取值范围为 . 342,e 【点睛】本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属 于中档题. 21. 已知函数 ( )， ( )，且函数 的图像在点(1， 1()fxk0(lngxR()fx )处的切线方程为 (1f2y （1）求实数 k 的值； （2）当 时，令函数 ，求 的单调区间；()()hxgfx()h （3）在（2）的条件下，设函数 有两个极值点为 ， ，其中 ，试比较12x12x 与 的大小1()hx2 【答案】 （1） ；（2）答案见详解；（3） .k12()hx 【解析】 【分析】 （1）先求出切点，对函数 求导得到 ，即可求出 的值；（2）求出fx(1)2fkk ，求导，若 时， ，若 时，求导数的 1()ln,(0)hxx2()0hx 零点，利用导函数的正负得到原函数的单调性即可；（3）由（2）知， ，由于 的()hx 两个极值点 满足方程 ，利用韦达定理得 ， ，求12,x210 x 21x120 x ，令 ，求导，分析 的单调性，求出12()h ()ln,()mxm 最值，即可得出结论. 【详解】 （1）由题意知， ，(1)fk 所以切点为 ，(,)k 且 的定义域为 ， )fx|0 x 所以 ，2 1()fk 则 ，f 所以 ；1k （2）由（1）知， ， ()fx ， 1ln,(0)hx 所以 ， 221)()x 若 时， ，此时 在 内单调递减；()0hx ()hx0,) 若 时，2 令 ，()x 得 或 ， 24x24x 当 或 ， 2(0,)2(,) ，)hx 当 时， 224(,) ，)0hx 综上： 当 时， 在 内单调递减；2()hx0,) 当 时， 在 和 上单调递减；() 24,24(,) 在 上单调递增. 224(,) （3）由（2）知， 有两个极值点当且仅当 ，()hx2 由于 的两个极值点 满足方程 ，1,x10 x 所以 ，122,x 所以 ， 21 因为 ，20 x 所以 .1 12112211111()ln(ln)l()2n2()lhxxxxx 令 ， ln,(0)mx 所以 ， 2(1)l)x 因为 时， ，0 x 20,ln 则 ，()m 所以 在 上单调递增，x,1 所以 ，()0 即 ，12hx 所以 .() 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查了函数的极 值和最值问题，运用了构造函数的思想，考查了分类讨论思想.考查了逻辑推理能力以及运 算求解能力.属于较难题. 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 选修 44：坐标系与参数方程： 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 为xOyC 23xcosyinO 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，且l43icosa 直线 与曲线 有两个不同的交点.lC （1）求实数 a 的取值范围； （2）已知 M 为曲线 C 上一点，且曲线 C 在点 M 处的切线与直线 垂直，求点 M 的直角坐标.l 【答案】 （1） ；（2） 或 .8a 1,589,5 【解析】 【分析】 （1）分别求出曲线 C 与直线 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；l （2）设设圆 C 的圆心为 ,点 ，由题意可得 ，得到1O002,32Mcosin1OMl 的值，结合同角三角函数的平方关系求得 的值后即可得解. 0sinco 0,si 【详解】 （1）消参可得曲线 C 的普通方程为 ， 2234xy 可得曲线 C 是圆心为 ，半径为 2 的圆，12,3O 直线 的直角坐标方程为 ，l4yxa 由直线 与圆 C 有两个交点知 ，解得 ；l 62582a （2）设圆 C 的圆心为 ，由圆 C 的参数方程可设点 ，12,3O00,32Mcosin 由题知 ， ，1Ml 04sinco 又 ，解得 ，或 ， 22001cosin053sin0453cosin 故点 M 的直角坐标为 或 . ,589,5 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方 程的应用，属于中档题. 选修 45：不等式选讲： 23. 已知函数 .()|1|2|fxxa （1）若 ，解不等式 ；a()4fx （2）对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 ，求实数 a 的取值范围. 24()mfx 【答案】 （1） ；（2） . 35,1 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果； （2）先根据绝对值三角不等式得 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值()fx 域关系列不等式，解得结果. 【详解】 （1）当 时， ，a()4|1|2|4f 化为 或 或 ， 23 x2x 解得 或 或 ， 12x5 .即不等式 的解集为 . 352x()4f3,2 （2）根据题意，得 的取值范围是 值域的子集.2m()fx ，4(1)3 又由于 ， 的值域为 )|2|1|fxxa()fx|21|,)a 故 ， .即实数 a 的取值范围为|2|a, 【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考 查综合分析求解能力，属中档题.