四川省江油市江油中学2021届高三数学上学期8月第二次周考试题文【含解析】

四川省江油市江油中学 2021 届高三数学上学期 8 月第二次周考试题 文（含解析） 1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 第 卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1设集合 lg0Ax， 2xB，则（ ） A BB C BAD AB 2已知复数 2i()z ，则 z在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 21x，则 ”的否命题为：“若 21x，则 ” B若 pq为真命题，则 ,pq均为真命题 C命题“存在 R，使得 210 x”的否定是：“对任意 xR，均有210 x ” D命题“若 xy，则 sinxy”的逆否命题为真命题 4已知实数 xy、满足 2y ，则 zxy的最大值为（ ） A 2B 32C4 D3 5设 4log9a， 1b， 1387c ，则（ ） A cB aC acbD cab 6已知某算法的流程图如图所示，若输入的有序数对 (,)xy为 7,6，则输出的有序数对(,)xy 为（ ） A (14,3)B (13,4)C (1,2)D (12,) 7鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，是 由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内 部卯榫的结构体鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪其中以最常见的六根和九根的鲁班 锁最为著名图 1 是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，图 2 是其中的一个构件的三视 图（图中单位： m） ，则此构件的体积为（ ） A 340m B 30m C 320m D 30m 8给出下列命题：曲线 sin2yx 的一个对称中心是 ,6 ；若 ,是第 一象限角，且 ，则 sini；函数 2sin3xy 是偶函数；函数sin6yx 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 12 ，得到函数i23 的图象，其中正确命题的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9函数 sin1xy的部分图象大致为（ ） A B C D 10已知函数 fx对任意的 xR，都有 12fxfx ，函数 1fx是奇函 数， 当 12 时， 2f，则函数 f 在区间 3,5内的零点个数为（ ） A8 B7 C6 D5 11某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试学校对参加 测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名其中 甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示： 给出下面四个结论： 甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前； 乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前； 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前； 丙同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是（ ） A B C D 12已知 MN， 分别为圆 21:1Oxy 与 22:4Oxy 的直径，则B 的取值范围为（ ） A 0,8B 0,9C ,8D 1,9 第 卷 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13已知向量 (1,3)a， (,3)b，则 b在 a方向上的投影是_ 14公比不为 1 的等比数列 na中，对任意 *,kN 既是 1k与 2a的等差中项，又 是 1 与 2k的等比中项，则 3_ 15已知双曲线 210,xyab 的左右焦点分别为 1F， 2，过 的直线交双曲 线于 P， Q 两点，且 1PF， 1 52QP ，则双曲线的离心率为_ 16已知定义在 R上的函数 ()fx满足 ()0f且 ()1 xfe ，若()fxa 恒成立， 则 的取值范围为_ 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以 下是甲，乙两位同学在 10 次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图 （1）从甲的成绩中任取一个数据 (90)x，从乙的成绩中任取一个数据 (87)y，求 满足条件 |5xy的概率； （2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适 18 （12 分）在 ABC 中，内角 、 、BC对边分别是 abc、 、 ，已知sin1bac （1）求 ； （2）若 5， 5CAB ，求 AC 的面积 19 （12 分）如图，将长方形 1OA（及其内部）绕 1O旋转一周形成圆柱，其中1,2OA ，弧 1B 的长为 ,3 为 的直径 （1）在弧 上是否存在点 C（ 1,在平面 1A的同侧） ，使 1BCA，若存在， 确定其位置；若不存在，说明理由； （2）求 1A到平面 1BO的距离 20 （12 分）已知 0,2A， ,B，动点 ,Pxy满足 A， PB的斜率之积为 12 （1）求动点 P的轨迹 C的方程； （2）已知直线 :lykxm， 的右焦点为 F，直线 l与 C交于 M， N两点，若 F是AMN 的垂心，求直线 l的方程 21 （12 分）已知函数 ()ln()fxaR， ( xge （1）讨论函数 的单调性； （2）证明不等式 2()()gxefx 恒成立 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2,023,sin6 （1）求曲线 C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线 与曲线 sin1交于 A， B，求 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 设 ,xyz均为正数，且 1xyz，证明： （1） 3 ； （2） 221xyzzx 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 【答案】B 【解析】由 lg0 x，解得 x，从而求得 0,1A； 由 2 ，解得 1，从而求得 ,B， 所以 AB，故选 B 2 【答案】B 【解析】依题意 234i( 3ii)z ，所以 43iz， 对应点为 4,3，在第二象限，故选 B 3 【答案】D 【解析】对于 A命题“若 21x，则 ”的否命题为“若 21x，则 ”，因此不 正确； 对于 B若 pq为真命题，则 p与 q至少有一个为真命题，因此不正确； 对于 C “存在 xR，使得 20 x”的否定是：“对任意 xR，均有210 x ”， 因此不正确； 对于 D由于命题“若 xy，则 sinxy”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正 确， 故选 D 4 【答案】C 【解析】根据已知条件画出可行域如图（阴影部分） ， 由 2zxy，得 2xz，其中 表示直线 2yxz在 y轴上的截距， 故当直线过点 B， 时， 取得最大值，最大值为 4z， 故选 C 5 【答案】C 【解析】因为 44log9l1a， 103b ， 13827c ， 所以 cb，故选 C 6 【答案】B 【解析】执行第一次循环后， 7,82xyn； 执行第二次循环后， 9,10,3xyn； 执行第三次循环后， 24； 执行第四次循环后， ,5xy，此时终止循环，故输出 (13,4)，故选 B 7 【答案】C 【解析】由三视图可知， 该构件是长为 100 m，宽为 20 ，高为 20 m的长方体的上面的中间部分去掉一 个长为 40 ，宽为 20 ，高为 10 的小长方体的一个几何体， 如下图所示， 其体积为 102402130V3m，故选 C 8 【答案】B 【解析】对于，当 6x 时， 2sin()6y ，故正确； 对于，取 13 ， ，则 131iisin2 ， 3si ，故不正 确； 对于， 22()sincos33fxyxx ， ()coscos()3fxfx ， 所以函数 i 是偶函数，故正确； 对于，函数 sin6yx 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 12 ， 得到函数 i2 的图象，故不正确， 故选 B 9 【答案】A 【解析】 sin1xy， sinsi1()() ()xf fx， ()fx为偶函数，图象关于 y轴对称，排除选项 B，D， 而 2sini1x， 则 22 22sisin1sincos1sin1xxxxxf ，2 22sincossin12 401f ， 则排除选项 C， 故选 A 10 【答案】A 【解析】函数 1fx是奇函数，函数 1fx的图象关于点 0,对称， 把函数 的图象向右平移 1 个单位可得函数 f的图象， 即函数 fx的图象关于点 ,0对称，即满足 2x， 又 12ffx ， 1fxf，从而 1ffx， fxf，即 2x， 函数 f的周期为 2，且图象关于直线 对称， 画出函数 x的图象如图所示： 结合图象可得 12fx 区间 3,5内有 8 个零点，故选 A 11 【答案】B 【解析】根据图示可得： 甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后，故错误； 乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，故错误； 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故正确； 丙同学的逻辑思维成绩排名及阅读表达成绩排名居中， 则丙同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前，故正确， 故选 B 12 【答案】A 【解析】如图， 1212AMNOBMON 1212OA 219B ， 其中 12 ,3A ，所以 293,10,8BN ， 故选 A 第 卷 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【答案】3 【解析】由题可得 2a， 36b， b在 方向上的投影是 |cos,| 3|ab ，故答案为 3 14 【答案】 8 【解析】根据已知列出方程组 122kka ，即 22kkqa ， 因为公比不为 1，解得 12kkqa ，即 1 2qa ， 故 2 nnnaq ，所以 38， 故答案为 8 15 【答案】 375 【解析】如图， 可设 ,PQ为双曲线右支上一点，由 1PQF， 1 52PF ， 在直角三角形 1F中， 21113 ， 由双曲线的定义可得 222a， 由 1 5PQ ，即有 21 5PQFP ， 即为 111 32Faa ，154P ，解得 1 25aF ， 21 25aPF ， 由勾股定理可得 212 37c ， 可得 375e ， 故答案为 375 16 【答案】 1,e 【解析】 0fx， fx为增函数，()feQ ，存在唯一一个常数 0 x，使得 0()1fx， 0 x ，即 0() xfe ， 令 0，可得 1e， ，故而 () xfe ， ()fxa恒成立，即 () xea 恒成立， ye的函数图象在直线 y上方， 不妨设直线 (1)kx与 xe的图象相切，切点为 0,xy， 则 001xyek ，解得 01， ke， 如图， 当 01ae，即 1ae时， xye 的函数图象在直线 (1)yax上方， 即 ()fx恒成立， 故答案为 ,e 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【答案】 （1） 2；（2）甲同学参加比赛，详见解析 【解析】 （1）抽取两个数据的基本事件有 (90,85)， (,6)， (90,87)， (1,5)，(9,86) ， (,7)，共 6 种结果， 满足 |5xy的有 (90,8)， (1,)， (,)，共 3 个， 所以概率为 3162 （2） 8x甲 ， 乙 ，2 2221(5)(8)(7)(918)30S 甲 ，28684乙 从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同 学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛 18 【答案】 （1） 3A ；（2） 153 【解析】 （1） sin1bCbcacBa221os2A ， 又 (0,)A， 3 （2） 22cos10CBabbc ， 235ac， 又 25，解得 ，1sin3ABCSc 19 【答案】 （1）弧 上是存在点 C满足题意，且 1B为圆柱 1O的母线； （2） 579 【解析】 （1）弧 AB上是存在点 （ 1,在平面 1A的同侧） ， 使 1BCA，当 为圆柱 1O的母线时， 1BCA 证明如下：在 上取点 C，使 为圆柱的母线，则 ，Q 为圆 的直径， BA，11,BA 平面 1,平面 1AB， 平面 1ABC， 平面 （2）由弧 1AB 的长为 3 ，可得 1 3BOA ， 1 23sn4iOBAS ， 由（1）可得 11,7,5C，221 111 9cos ,sin020BO （ 1BO为三角形 内角） ， 111sin294BOOS ，11ABAV ，设 1到平面 1B的距离为 d，1113BOAOBSd ， 113257419AOBSd ，1 到平面 1的距离是 2579 20 【答案】 （1） 2084xyx ；（2） 83yx 【解析】 （1）因为动点 ,Pxy满足 PA， PB 的斜率之积为 12， 所以 210yx ，整理可得 284xy ， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程 21084xy （2）由（1）可得右焦点 F（2，0） ，可得 21AFk ， 因为 F 为垂心，所以直线 MN 的斜率为 1， 设 1,Mxy， 2,Nxy， 联立直线 l 与椭圆的方程 28m，整理得 223480 xm，216430m ，即 21，12x ， 21x ， 因为 AMNF，所以 1AMNFk，即 211yx， 整理可得 21120yx， 即 1xy， 即 212yxm， 整理可得 10， 而 2122121283myxxx ， 所以 848033mm ，解得 或 2（舍） ， 所以直线 l 的方程为 yx 21 【答案】 （1）见解析；（2）证明见解析 【解析】 （1） 1()(0)axfx ， 当 0a时， 0f，所以 f在 ,上单调递增； 当 时，令 ()fx，得到 1xa ， 所以当 10,a 时， ()0,()ff单调递增； 当 ,x 时， (),()fxf单调递减， 综上所述，当 0a时， 在 0上单调递增； 当 时，在 ()fx在 1, 上单调递增，在 1,a 上单调递减 （2）证法一：不等式 2()geaxf 等价于 2ln0 xe， 由（1）可知，当 0时， 1()lnlfa ， 特别地，取 1ae ，有 lxe ，即 2lxe， （当且仅当 xe时等号成立） ， 因此，要证 2ln0 x恒成立，只要证明 在 (0,)上恒成立即可 设 ()eh ，则 2 (1)xeh ， 当 0,1x时， (0,(x单调递减； 当 ()时， )hx单调递增 所以当 1x时， min(1xe， 即 e在 0,)上恒成立，因此，有 2lnxex， 又因为两个等号不能同时成立，所以有 0恒成立， 即不等式 2()()gxefxa 恒成立 证法二：不等式 2()()gxeafx 等价于 2ln0 xe 设函数 ln， 则 21()xe ，可知 ()x在 0,)上单调递增 又由 0,()知， 在 (,上有唯一实数根 0 x，且 012， 则 021xe ，即 021xe 当 0,时， (),()单调递减； 当 x时， 0 x单调递增， 所以 020()lnxe ，结合 021xe ，知 002lnxx， 所以 2000 01xx ， 则 2()lnxe ， 即 0 x恒成立，即不等式 2()()gxeafx 恒成立 22 【答案】 （1） 23；（2）2 【解析】 （1）因为曲线 C 的极坐标方程为 2,023,sin6 ， 所以当 02x时， 24y ， 当 3时， 30 x， 所以曲线 C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为 2 的 14 圆周及一个两直角边分别为 2 与 23的直角三角形， 如图所示： 所以 23S （2）因为曲线 C 与曲线 sin1交于 A， B， 由 sin1 ，得 2,6A ，转换为直角坐标为 3,1 极坐标方程 i转换为直角坐标方程为 y， 极坐标方程 3sin6转换为直角坐标方程为 320 xy， 所以 ,1B， 所以 323AB 23 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】证明：（1）：因为 22222xyzxzxyz yzx ， 所以 221() 3() ， 故 3 xyz ，当且仅当 xyz时“=”成立 （2） ,均为正数，由柯西不等式得： 222()()()1xyz xyzyzx ， 即 221zx ， 故 221xyzzx ，当且仅当 xyz时“=”成立