材料力学轴向拉压

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 轴向拉伸和压缩,F,F,F,F,F,F,F,F,受力(简)图,受力变形特点:外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(,轴载,),主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称,拉压杆,。,x,F,N,F,F,+,2.1拉压杆的内力轴力及轴力图,F,F,m,m,x,x,m,m,x,x,F,F,N,m,m,x,F,N,F,x,横截面是杆件内最有代表性的截面，其上的内力可用截面法求出。,由隔离体的平衡条件截面上只有截面法向的内力分量,F,N,(,x,),称为,轴力,。,约定使杆件产生纵向伸长变形的轴力为正，即轴力方向与截面外法向一致时为正，反之为负。,以截面位置和内力值为坐标可绘出内力在杆件上的分布图形，称为,内力图,而拉压杆的,内力图,即为,轴力图,。通常要求内力图画在与受力图对应的位置。,例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。,A,B,C,D,20kN,30kN,50kN,1,1,2,2,3,3,F,A,解：杆件受轴载作用,A,处反力,F,A,也为轴向外力,故内力为轴力,内力图即轴力图,求支反力,求内力,画内力图（轴力图）,D,20kN,F,N3,C,D,20kN,30kN,F,N2,B,C,D,20kN,30kN,50kN,F,N1,A,F,N1,F,A,20kN,10kN,40kN,+,-,+,校核,B,+,-,F,N,+,F,N,-,F,B,=50kN,F,d,1,d,2,l,例：图示重量为,P,的变截面圆杆的质量密度为,，顶端受轴向外载,F,，考虑自重的影响，试画该杆的内力图。,F,x,解：自重是均匀分布的体积力，在本问题中其合力作用线与轴线重合是轴载。,F,-,F,+,P,P,杆件受力计算中分布外力用沿轴线的分布集度描述,叠加原理适用,若,d,1,=,d,2,=,d,则有 为常量,F,F+P,-,拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约定使杆件受拉的轴力为正。,轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。,轴力图要画在与受力图对应的位置。,集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小与集中力的大小相等。,轴力对截面位置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度的大小。,小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。,拉压杆的内力,2.2拉压杆的应力,F,F,F,F,N,一、平面假设 横截面上的应力,几何分析,：根据实验观测，假设变形后横截面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的,平面假设,。这样，横截面上各处法向线应变相同，切应变为零。即,变形是均匀的,。,物性分析,：内力与变形有确定的关系，对于连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上的内力为均匀分布的法向内力。即,为常量,为零,。,静力学分析,：,拉应力为正,压应力为负,拉压杆横截面上正应力计算公式,x,变截面杆或分布轴载作用下横截面正应力计算,公式适用于轴载作用的杆件。,F,F,2.2拉压杆的应力,F,F,二、斜截面上的应力,讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分布。,斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力,F,F,m,m,x,n,m,m,F,F,n,m,m,t,A ,横截面面积,A,斜截面面积,公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌)称为,一点处的应力状态,。,规定方位角,以,x,轴为起始边逆时针转为正；切应力以使隔离体,有,作顺时针转动的趋势为正。,横截面上,纵截面上,=45,o,截面上,切应力成对,单向(单轴)应力状态,例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力,F,作用。已知：,F,=20,kN,，,b,=200,mm,，,t,=10,mm,，,=30,o,。试求,焊缝内的应力。,F,F,b,t,解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力,先计算横截面上的应力,再用斜截面应力公式计算要求的应力,即焊缝处的正应力为,7.5,MPa,，切应力为,4.33,MPa,。,拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面上正应力,为常量，切应力,为零。对,正应力规定拉应力为正，压应力为负。,两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一斜截面上既有正应力,也有切应力且均为常量，并可用横截面上的应力表示。,规定使隔离体产生顺时针转动趋势的,切应力为正。,过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉压杆内各点为单向应力状态。,拉压杆的应力,2.3拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形,F,F,l,l,1,b,b,1,轴向变形,轴向线应变 拉为正,实验表明，当,F,在一定的范围时，有：,F,N,F,N,胡克定律,E,称,弹性模量,或,杨氏模量,与应力有相同的量刚,EA,称杆的,拉压刚度,。,2.3拉压杆的变形,二、拉压杆的横向变形,F,F,l,l,1,b,b,1,横向变形,横向线应变,实验表明，,在胡克定律适用的范围时，有：,即,横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为,泊松比,。,弹性模量,E,和泊松比,都是材料的弹性常数，由实验测得。,例：图示等截面直杆，横截面面积为,A,，弹性模量,E,，自重为,W,。杆的自由端受轴向力,F,作用，考虑杆的自重影响，求自由端,B,及杆中截面,C,的轴向位移。,F,l/2,l/2,A,B,C,x,解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程,杆的上端,A,是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的伸长量。,将,x=l,和,x=l/2,代入，得：,B、C,两截面的相对轴向位移为：,位移是力的线性函数叠加原理适用,例：图示桁架，在节点,A,承受铅直力,F,作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量,E,1,=200,GPa,，横截面面积,A,1,=100,mm,2,，杆长,l,1,=1,m,；杆2 用硬铝管制成，弹性模量,E,2,=70,GPa,，横截面面积,A,2,=250,mm,2,；载荷,F,=10,kN,。试求节点的水平和铅直位移。,F,B,C,A,45,o,2,1,A,2,A,A,1,A,A,A,1,A,2,A,A,4,A,5,45,o,l,1,l,2,解：取节点,A,为研究对象，计算各杆的轴力,F,A,F,N1,F,N 2,(拉伸),(压缩),节点,A,变形后的新位置,A,小变形,在小变形下，可用切线代替弧线，则,A,可视为,A,的新位置,由几何关系，可求得：,F,B,C,A,45,o,2,1,A,2,A,1,A,解：采用解析方法求节点位移,在小变形下，节点位移与杆件变形的关系,x,A,i,A,i,A,i,Ax,l,i,y,A,Ay,则有：,例：图示桁架，在节点,A,承受铅直力,F,作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量,E,1,=200,GPa,，横截面面积,A,1,=100,mm,2,，杆长,l,1,=1,m,；杆2 用硬铝管制成，弹性模量,E,2,=70,GPa,，横截面面积,A,2,=250,mm,2,；载荷,F,=10,kN,。试求节点的水平和铅直位移。,F,B,C,A,45,o,2,1,A,2,A,1,A,x,A,i,A,i,A,i,Ax,l,i,y,A,Ay,代入各杆参数：,解：采用解析方法求节点位移,例：图示桁架，在节点,A,承受铅直力,F,作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量,E,1,=200,GPa,，横截面面积,A,1,=100,mm,2,，杆长,l,1,=1,m,；杆2 用硬铝管制成，弹性模量,E,2,=70,GPa,，横截面面积,A,2,=250,mm,2,；载荷,F,=10,kN,。试求节点的水平和铅直位移。,拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。,除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的关系，即泊松效应。,杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得到简化。,小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加结果。,拉压杆的变形,应力-应变图,-,曲线,F/A,2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能,一、低碳钢在拉伸时的力学性能,弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失,线弹性阶段,OA,非线性弹性阶段,AD,屈服阶段 产生残余变形,，,应力基本不变而变形继续增加。,强化阶段 要使变形增加，需要加大应力。,颈缩阶段,l,d,D,A,C,B,G,H,O,F,A,A,1,l,1,比例极限,弹性极限,屈服极限,强度极限,伸长率(延伸率),断面收缩率,冷作硬化,拉伸图,强度指标：,屈服极限,强度极限,塑性指标：,伸长率,断面收缩率,称为,塑性材料,，,称为,脆性材料,。,2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能,二、其他材料在拉伸时的力学性能,塑性材料,名义屈服极限,或,屈服强度,F/A,O,脆性材料,直到拉断也没有明显的残余变形，断口为横截面。,2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能,三、材料在压缩时的力学性能,塑性材料,屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限,脆性材料,压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限,F/A,O,O,F/A,压缩试件,2.5拉压杆的强度计算,一、许用应力,失效条件：,工作应力达到材料的极限应力,许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的,许用应力,n,为大于1的系数，称安全系数,二、强度条件,2.5拉压杆的强度计算,三、强度计算,1.强度校核：给定构件形式、,材料、,尺寸和载荷工况，,校核构件是否满足强度条件。,3.确定许用载荷：已知构件形式、,材料及,尺寸，确定在,给定作用方式下,载荷的最大许用值,。,2.确定截面尺寸：给定构件形式、,材料,和载荷工况，,确定构件所需的最小截面尺寸。,如果最大工作应力超过了许用应力，但超过量在,5%以内，在工程设计中仍然是允许的。,2.5拉压杆的强度计算,四、应力集中对强度计算的影响,应力集中现象：截面发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。,K,称为,应力集中因子(系数),1,对于,塑性材料,制成的构件，静载作用下,强度计算可以,不考虑应力集中,的影响。,对于,脆性材料,制成的构件，,强度计算则,必须考虑应力集中,的影响。但铸铁材料例外。,例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且,l,=,2r,。工作压力,F,=3274,kN,，连杆,AB,横截面为矩形，高与宽之比,h/b,=1.4，材料为45号钢，许用应力,=90,MPa,。试设计截面尺寸,h,和,b,。,F,解：连杆,AB,为二力杆，工作中受轴载作用,A,B,r,l,b,h,B,F,F,N,F,B,计算,AB,杆的轴力：,当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大,(受压),确定连杆截面尺寸：,max,例：图示三角托架。在节点,A,受铅垂载荷,F,作用，其中钢拉杆,AC,由两根6.3（边厚为6mm）等边角钢组成，,AB,杆由两根10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应力,t,=160,MPa,，许用压应力,c,=90,MPa,，试确定许用载荷,F,。,2,1,F,B,C,A,30,o,1,m,解：求各杆内力与载荷,F,的关系,F,A,30,o,F,N,1,F,N,2,x,y,根据强度条件确定许用载荷,AC,杆：,AB,杆：,许用载荷,(拉),(压),查表得：,2.6拉压超静定问题,A,B,C,F,F,A,F,B,未知力可由平衡方程完全确定的问题称为,静定问题,。未知力的数目超过独立平衡方程的数目，仅用平衡方程不能确定所有的未知力，称为,超静定问题,。而超出的未知力数目，称为,超静定次数,。,超静定结构都存在多于维持平衡所必需的约束或杆件，习惯上称为多余约束。多余约束的数目即为超静定次数。,F,A,解除多余约束，代之以相应反力，