离散系统的时域分析

signals&systems,信号与系统,signals&systems,信号与系统,第三章 离散系统的时域分析,目录,3.1,LTI,离散系统的响应,3.2 单位序列和零状态响应,3.3 卷积和,3.1 LTI离散系统的响应,一、,差分与差分方程,连续系统可用微分方程来描述,离散系统可用差分方程描述.,差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相互对应的.,一阶前向差分：,一阶后向差分：,二阶差分：,差分运算具有线性性质：,此方法我们称之为,迭代法,。,例:若描述某离散系统的差分方程为,已知初始条件 激励,求,.,对于,k=2,将已知初始值,y(0)=0,y(1)=2,代入上式,得:,类似的,依次迭代可得,解,:,将差分方程中除 以外的各项都移到等号右端.得,:,二、差分方程的经典解,特征根,齐次解,系数,特征方程:,齐次解,齐次方程,:,齐次解,特解,不同特征根对应的齐次解:,特征根,单实根,r,重实根,齐次解,一对共轭复根,其中,R重共轭复根,2.特解,激励,特解,所有特征根均不等于1时;,当有r重等于1的特征根时,.,当a不等于特征根时,当a是特征单根时,当a是r重特征根时,当所用的特征根均不等于,激励,特解,原方程,3.全解:,初始条件,系数,例：求下列差分方程的完全解,其中激励函数 ,且已知y(-1)=-1,1,2,),1,(,),1,(,),(,2,2,-,=,-,-,=,-,-,k,k,k,k,x,k,x,特征方程齐次通解,将 代入方程右端,得:,解:,1,2,),1,(,),1,(,),(,2,2,-,=,-,-,=,-,-,k,k,k,k,x,k,x,设特解为 形式，代入方程得,比较两边系数,解得,完全解为,Y(-1)=-1,得,LTI,系统的全响应还可分为零输入响应和零状态响应,.,三、零输入响应和零状态响应,零输入响应 :激励为零时仅由初始状态所引起的响应.,零状态响应 :系统的初始状态为零时,仅由输入信号所引起的响应,.,两种分解方式有明显的区别.虽然自由响应与零输入响应,都是齐次解的形式,但它们的系数并不相同,仅由系统,的初始状态决定,而 是由初始状态和激励共同决定.,解:(1)零输入响应,根据定义,零输入响应满足方程:0,其初始状态,求得初始值,已知激励初始状态求系统的零输入响应,零状态响应,和全响应,.,例:若描述某离散系统的差分方程为,零输入响应,(2),零状态响应,根据定义,零状态响应满足方程,:,和,令k=0,1 得:,求得初始值,系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解,分别求出方程的齐次解和特解,得,将初始值代入上式,得,解得,零状态响应:,系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和:,3.2 单位序列和单位序列响应,一.单位序列和单位阶跃序列,单位序列(函数)定义为:,单位序列也称为单位样值(或取样)序列或单位脉冲序,列.它是离散系统分析中最简单,也是最重要得序列之一.,1.,-3 -2 -1 0 1 2 3,k,-3 -2 -1 0 1 2 3,i,k,2 单位序列(函数)性质为:,3 单位阶跃序列定义为,：,k,-1 0 1 3 4,二.单位序列响应和阶跃响应,1.单位阶跃响应的定义为:,当LTI离散系统的激励为单位序列时,系统的零状态,响应称为单位序列响应(或单位样值相应,单位取样,响应,单位函数响应),4.单位序列 与单位阶跃 的关系,求解方法:1.求解差分方程法 2.z变换法,例:求图所示离散系统的单位序列响应y(k),f(k),y(k-1),y(k),y(k-2),1.求初始值,求:,特征方程:,得方程齐次解:,代入初始值:,得系统的单位序列响应:,2.阶跃响应,阶跃响应的定义为:,当LTI系统的激励位单位阶跃序列时,系统的零状态响应,称为单位阶跃响应或阶跃响应,用 表示.,3.3 卷 积 和,一.卷积和,若有两个序列 ,和式,称为 的卷积和.常用符号”*”表示,即:,如果,f,1,(,k,)为因果序列，即若,f,1,(,k,)=0,k,0,则,如果,f,1,(,k,)和,f,2,(,k,)均为因果序列，即 ,k0则,如果,f,1(,k,),不受限制,，而,为因果序列,即,i,k,时,f,2,(,k,-i)=0,则,解:(1),(2),二.卷积和的图示,(3),(4),(1),二.卷积和的性质,例:,证明:,