矩阵的特征值和特征向量复习题

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵特征值与特征向量,一填空题,2,3,4,5,8,9，10,二选择题,6，7,三计算,2,4,8,四证明,2，4,1,一、填空,2.,因为,是正交矩阵,所以,又因为,所以,故,3.,因为,所以,4.,因为,的特征值是,的特征值的倒数.,2,5.,因为设,由于对称矩阵,的,属于不同特征值的特征向量是正交的,所以,解齐次方程组,得一非零解,3,8.,因为,则,与,有相同的特征值,已知,的全部,特征值为,故,的全部特征值为,从而,的全部特征值为,存在可逆矩阵,使得,即,4,所以,5,9.,因为设,为,的非零解,即,所以,是,的一个特征值.,10.,的三个特征值分别为,因为设,为,的特征值,即,且,从而,即,又因为,的特征值为,所以,故,的特征值分别为,6,二选择题,6.,7,7.,又因为,所以,的特征值为,8,三、计算,2.解:,(1)因为,所以,的全部特征值为,9,求属于特征值,特征向量:,因为,取,得特征向量,故属于特征值,的特征向量为,其中,为任意非零常数.,10,求属于特征值,(二重根)的,特征向量:,因为,取,得,故属于特征值,的特征向量为,其中,为任意不全为零的常数.,取,得,11,(2)用施密特正交化方法将,正交化得:,再将,单位化得:,12,令,则有,13,4.解:,因为,所以,是,的一个特征值.,而,又因为,所以,故,有一个特征值,8.,解:因为,均不可逆,所以,故,的全部特征值为,设,为,的属于任一特征值,的特征向量,则,从而,14,所以,是,的特征值,故,的全部特征值为,从而,又因为,所以,是,的特征值,故,的全部特征值为,所以,15,四、证明题,2.,证明:因为,对任意非零向量,都有,所以,的全部特征值为零.,从而,的特征值也为零.若不然,设,有特征值,则有非零向量,使得,从而有,所以,有非零的特征值,矛盾.,4.,证明:,因为,所以,故,又因为,所以,故,从而,是,的特征值.,16,