资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,4,课时函数的奇偶性与周期性,奇偶性,定义,图象特点,偶函数,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),是偶函数,关于,对称,奇函数,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),是奇函数,关于,对称,1,函数的奇偶性,f,(,x,),f,(,x,),y,轴,f,(,x,),f,(,x,),原点,2,周期性,(1),周期函数：对于函数,y,f(x),，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的任何值时，都有,f(x,T),，那么就称函数,y,f(x),为周期函数，称,T,为这个函数的周期,(2),最小正周期：如果在周期函数,f(x),的所有周期中,的正数，那么这个最小正数就叫做,f(x),的最小正周期,f(x),存在一个最小,1,对任意实数,x,，下列函数中的奇函数是,(,),A,y,2x,3,B,y,3x,2,C,y,ln 5,x,D,y,|x|cos x,解析,：若,f(x),ln 5,x,，则,f(,x),ln 5,x,ln(5,x,),1,ln 5,x,f(x),函数,y,ln 5,x,为奇函数,答案,：,C,解析,：,答案,：,B,3,已知,f(x),在,R,上是奇函数，且满足,f(x,4),f(x),，当,x(0,2),时，,f(x),2x,2,，则,f(2 011),(,),A,2 B,2,C,98 D,98,解析,：由,f(x,4),f(x),，,f(x),的周期为,4,，,f(2 011),f(5024,3),f(3),f(,1),，又,f(x),为奇函数，,f(,1),f(1),，,f(1),21,2,2,，,f(,1),f(1),2.,答案,：,A,答案,：坐标原点,5,设,f(x),是定义在,R,上的奇函数，且当,x,0,时，,f(x),2,x,3,，则,f(,2),_.,答案,：,1,1,用定义判断,(,或证明,),函数的奇偶性的一般步骤：,(1),验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数,(2),证明,f(,x),f(x),是否成立若,f(,x),f(x),，则,f(x),为偶函数；若,f(,x),f(x),，则,f(x),为奇函数,解析,：,(1),此函数的定义域为,R.,f(,x),|,x|(,x),2,1,|x|(x,2,1),f(x),，,f(,x),f(x),，即,f(x),是偶函数,(2),此函数的定义域为,x,0,，由于定义域关于原点不对称，,故,f(x),既不是奇函数也不是偶函数,解析,：,(1),由于,f(,1),2,，,f(1),0,，,f(,1)f(1),，,f(,1),f(1),，从而函数,f(x),既不是奇函数也不是偶函数,(2)f(x),的定义域为,1,1,，关于原点对称，又,f(,1),f(1),0,，,f(,1),f(1),0,，,f(x),既是奇函数又是偶函数,1,对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“,f”,脱掉，转化为我们会求的不等式；,2,奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性,解析,：,变式训练,2.(1),奇函数,f(x),的定义域为,5,5,若当,x0,5,时，,f(x),的图象如图所示，则不等式,f(x),0,的解是,_,(2),已知函数,y,f(x),是,R,上的偶函数，且在,(,，,0,上是减函数，若,f(a)f(2),，则实数,a,的取值范围是,_,解析,：,(1),由奇函数图象对称性质补出其在,5,0),上的图象，由图象知解集为,(,2,0)(2,5,(2),由已知,f(x),在,0,，,),上为增函数，,且,f(a),f(|a|),，,f(a)f(2)f(|a|)f(2),，,|a|2,得,a2,或,a,2.,答案,：,(1)(,2,0)(2,5,(2)a,2,或,a2,递推法：若,f(x,2),f(x),，,则,f(x,4),f(x,2),2,f(x,2),f(x),，,周期,T,4.,换元法：若,f(x,2),f(x,2),，令,x,2,t,，,x,t,2,，,f(t),f(t,4),，周期,T,4.,设,f(x),是定义在,R,上的奇函数，且对任意实数,x,，恒有,f(x,2),f(x),当,x0,2,时，,f(x),2x,x,2,.,(1),求证：,f(x),是周期函数；,(2),当,x2,4,时，求,f(x),的解析式；,(3),计算,f(0),f(1),f(2),f(2 011),解析,：,(1),证明：,f(x,2),f(x),，,f(x,4),f(x,2),f(x),f(x),是周期为,4,的周期函数,(2),当,x,2,0,时，,x0,2,，由已知得,f(,x),2(,x),(,x),2,2x,x,2,，,又,f(x),是奇函数，,f(,x),f(x),2x,x,2,，,f(x),x,2,2x.,又当,x2,4,时，,x,4,2,0,，,f(x,4),(x,4),2,2(x,4),又,f(x),是周期为,4,的周期函数,f(x),f(x,4),(x,4),2,2(x,4),x,2,6x,8.,从而求得,x2,4,时，,f(x),x,2,6x,8.,(3)f(0),0,，,f(2),0,，,f(1),1,，,f(3),1.,又,f(x),是周期为,4,的周期函数，,f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7),f(2 008),f(2 009),f(2 010),f(2 011),0.,f(0),f(1),f(2),f(2 011),0.,变式训练,3.,已知函数,f(x),是,(,，,),上的偶函数，若对于,x0,，都有,f(x,2),f(x),，且当,x0,2),时，,f(x),log,2,(x,1),，则,f(,2 008),f(2 009),的值为,(,),A,2,B,1,C,1 D,2,解析,：,f(x),是偶函数，,f(,2 008),f(2 008),f(x),在,x0,时,f(x,2),f(x),，,f(x),的周期为,2.,f(,2 008),f(2 009),f(2 008),f(2 009),f(0),f(1),log,2,1,log,2,2,0,1,1.,答案,：,C,1,正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：,(1),定义域在数轴上关于原点对称是函数,f(x),为奇函数或偶函数的必要非充分条件；,(2)f(,x),f(x),或,f(,x),f(x),是定义域上的恒等式,2,奇偶函数的性质,(1),奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于,y,轴成轴对称图形，反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性；,(2),奇,奇奇，偶,偶偶；,(3),奇,奇偶，偶,偶偶，奇,偶奇；,(4),函数,y,f(x),，当,x,0,时有意义，则,f(0),0,为,y,f(x),是奇函数的必要条件,因此判断函数的奇偶性，一般有三种方法：,定义法；图象法；性质法,通过对近三年高考试题的统计分析，可以看出以下的命题规律：,1,考查热点：函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点,2,考查形式：多为选择题和填空题，整个命题过程着眼基础，突出重点,3,考查角度：,一是对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶性函数图象的特点解决相关问题，利用函数的奇偶性求函数值、参数值等,二是对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期，利用函数的周期性求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题,(2010,全国新课标卷,),设偶函数,f(x),满足,f(x),2,x,4(x0),，则,x|f(x,2),0,(,),A,x|x,2,或,x,4 B,x|x,0,或,x,4,C,x|x,0,或,x,6 D,x|x,2,或,x,2,解析,：,f(x),2,x,4(x0),，令,f(x),0,，得,x,2.,又,f(x),为偶函数且,f(x,2),0,，,f(|x,2|),0,，,|x,2|,2,，解得,x,4,或,x,0,，,x|x,0,或,x,4,答案,：,B,阅后报告,本题考查了分段函数求值问题，解答本题的难点是不理解,f(f(0),的意义，不知,f(0),是对外层,f,来说相当于,x.,考生试求,f(f(,1),的值,1,(2010,广东卷,),若函数,f(x),3,x,3,x,与,g(x),3,x,3,x,的定义域均为,R,，则,(,),A,f(x),与,g(x),均为偶函数,B,f(x),为偶函数，,g(x),为奇函数,C,f(x),与,g(x),均为奇函数,D,f(x),为奇函数，,g(x),为偶函数,解析,：,f(x),3,x,3,x,，,f(,x),3,x,3,x,.,f(x),f(,x),，即,f(x),是偶函数又,g(x),3,x,3,x,，,g(,x),3,x,3,x,.g(x),g(,x),，即函数,g(x),是奇函数,答案,：,B,2,(2010,山东卷,),设,f(x),为定义在,R,上的奇函数，当,x0,时，,f(x),2,x,2x,b(b,为常数,),，则,f(,1),(,),A,3,B,1,C,1 D,3,解析,：因为,f(x),是定义在,R,上的奇函数，因此,f(,x),f(x),0.,当,x,0,时，可得,f(0),0,，可得,b,1,，此时,f(x),2,x,2x,1,，,因此,f(1),3.,又,f(,1),f(1),，所以,f(,1),3.,答案,：,D,3,(2010,安徽卷,),若,f(x),是,R,上周期为,5,的奇函数，且满足,f(1),1,，,f(2),2,，则,f(3),f(4),(,),A,1 B,1,C,2 D,2,解析,：函数,f(x),的周期为,5,，,f(x,5),f(x),，,f(3),f(,2,5),f(,2),又,f(x),为奇函数，,f(3),f(,2),f(2),2,，,同理,f(4),f(,1),f(1),1,，,f(3),f(4),2,(,1),1.,答案,：,A,4,(2010,江苏卷,),设函数,f(x),x(e,x,ae,x,)(xR),是偶函数，则实数,a,的值为,_,解析,：因为,f(x),是偶函数，所以恒有,f(,x),f(x),，,即,x(e,x,ae,x,),x(e,x,ae,x,),，,化简得,x(e,x,e,x,)(a,1),0.,因为上式对任意实数,x,都成立，所以,a,1.,答案,：,1,练规范、练技能、练速度,内容总结,第4课时函数的奇偶性与周期性。f(x)f(x)。f(x)f(x)。解析：由f(x4)f(x)，f(x)的周期为4，。(2)证明f(x)f(x)是否成立若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数。若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数。f(x)f(x)，即f(x)是偶函数。f(a)f(2)f(|a|)f(2)，。(1)求证：f(x)是周期函数。(3)计算f(0)f(1)f(2)。解析：(1)证明：f(x2)f(x)，。f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)。f(0)f(1)f(2)。f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)的周期为2.。阅后报告本题考查了分段函数求值问题，解答本题的难点是不理解f(f(0)的意义，不知f(0)是对外层f来说相当于x.考生试求f(f(1)的值。解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(x)f(x)0.。4(2010江苏卷)设
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