高等数学函数的连续性课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3、函数的连续性。,1、掌握函数连续性的判断方法。,2、零点定理的应用。,2.1 导数的概念,3、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。,1、变量的增量,设函数,y=f(x),在点,x,0,的某一个邻域,U(x,0,),内有定义,称,D,y,=,f,(,x,0,+D,x,),-,f,(,x,0,),函数,y,的增量。,在邻域,U,(,x,0,)内,若自变量,x,从初值,x,0,变到终值,x,1,则称,D,x,=,x,1,-,x,0,为自变量,x,的增量,D,x,D,y,1.3.1、函数连续性,2、函数的连续性定义,提示:,设,x,=,x,0,+,D,x,则当,D,x,0时,x,x,0,因此,设函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,及其邻域内有定义,如果,那么就称函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处连续,D,y,=,f,(,x,0,+D,x,),-,f,(,x,0,),左连续和右连续,解题思路：,根据函数连续的充要条件,函数在区间内连续,1.3.2、函数的间断点,如果函数,f(x),在,点,x,0,有以下,三种情况之一：,则称函数在点,x,0,为不连续，,x,0,称为函数的,不连续点或间断点。,可去间断点,只要改变或补充间断,点的函数值定义后，间断点可以变,成连续点。,1.3.3、初等函数的连续性,一、,一切基本初等函数在其,定义域,内都是连续的。,二、,设函数,f,(,x,)和,g,(,x,)在点,x,0,连续,则函数,在点,x,0,也连续,三、,设函数,y,f,g,(,x,)由函数,y,f,(,u,)与函数,u,g,(,x,)复合而成 若函数,u,g,(,x,)在点,x,0,连续 函数,y,f,(,u,)在点,u,0,g,(,x,0,)连续 则复合函数,y,f,j,(,x,)在点,x,0,也连续,四、,初等函数在其,定义区间,内是连续的。,总结：,由于函数在其连续点,x,0,满足,初等函数在其有定义的点处求极限,求这一点的函数值。,例1,（因式分解，,去掉零因子）,（有理化，,去掉零因子）,一般地,例7,（有理化，去掉零因子）,1.3.4、闭区间上连续函数的性质,定理8,（,最值定理,）闭区间,a,b,上的连续函数,f,(,x,),在该区间上至少取得它的最大值,M,和最小值,m,各一次。,推论6,闭区间,a,b,上的连续函数,f,(,x,),一定有界。,定理9,（介值定理）,若,y=,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,),则对于,f,(,a,)与,f,(,b,)之间的任意一个常数,C,在开区间(,a,b,)内至少有一点,x,使得,f,(,x,),=,C,(a,x,b,),定理的几何意义：,连续曲线,f(x),与水平直线,y=c,至少相交于一点。,推论,（零点定理）,设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,)0,f,(1),=-,20,根据推论,在(0,1)内至少有一点,x,使得,f,(,x,),=,0,即,x,3,-,4,x,2,+,1,=,0 (0,x,1),这说明方程,x,3,-,4,x,2,+,1,=,0在区间(0,1)内至少有一个根是,x,第二章 一元函数微分学,一、导数的概念,二、导数的运算,三、微分,四、导数的应用,本章简介,导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。,本章重点,导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。,本章难点,导数与微分的概念；复合函数的求导法则。,实例1.变速直线运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,2.1 导数的概念,设物体作直线运动所经过的路程为,s,=,f,(,t,),求,t,0,时刻,瞬时速度.,2.1.2 导数的定义,定义1,设函数,f,(,x,)在,x,0,及其 某个邻域内有定义,当自,变,量,x,在,x,0,处取得增 量,x,时,相应地函数,y,取得增量,如果,存在,则称函数,y,=,f,(,x,)在,x,0,处可导,或称,y,=,f,(,x,)在,x,0,处有,导数。,该极限值就是,f,(,x,)在点,x,0,处的导数，,记为,很明显,由导数定义可知：,由定义求导数,步骤:,例1,设 ，求,解一,所以,解二,例2,解,单侧导数,导数与单侧导数的关系,函数,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内可导是指函数在区间内每一点可导,函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上可导是指函数,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内可导,且在,a,点有右导数、在,b,点有左导数,函数在区间上的可导性,例5,已知,解,因为,所以,，从而,M,x,y,o,T,的切线方程,法线方程,N,2.1.3,导数的几何意义,例3,解,根据导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2.1.4 可导与连续的关系,结论：可导的函数一定是连续的。,证,比如,解,注意:,反之不成立.即连续不一定可导。,例4,解,小结,函数连续性的定义,利用连续性求解函数极限,介值定理和零点定理的应用,导数的定义,可导与连续的关系,