高等数学课件1-5无穷大与无穷小

北京理工大学数学系,无穷是一个永恒的谜,Hilbert,第五节 无穷小和无穷大,（一）无穷小,（二）无穷大,（三）二者关系,（四）无穷小的阶,一、无穷小,定义1,：在自变量的某种趋势下，以,零,为极限的函数（变量）称为,无穷小量,，简称,无穷小,.,例如：,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（2）无穷小是变量的一种变化趋势;,例如,证,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题,(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意,无穷多个无穷小的代数和,未必,是无穷小.,定理3,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,注意,无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.,二、无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,证,证,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,是无界变量，,但不是无穷大量,三、无穷小与无穷大的关系,定理4,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,四、无穷小的阶及其比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,比较,定义:,例如，,例4,解,？,是不是任意两个无穷小,都可以进行阶的比较,不存在且不为无穷大,意义,：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,例5,解,小结,1、主要内容:,定义;定理;推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，,零是唯一的无穷小的数；,（2）,无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3）无界变量未必是无穷大.,3、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,高(低)阶无穷小;,同阶无穷小；,等价无穷小;,无穷小的阶.,思考：已知,x,0,时,是等价无穷小，求,A,，,n.,作业,P58:,3.,偶,4.偶（5.偶）,