第三讲--有效前沿与最优证-券组合课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三讲,有效前沿与最优证券组合,1,第三讲有效前沿与最优证券组合1,有效前沿的定义：,定义3.1,设S是N种证券的选择集，如果其中存在一个子集F(p)，具有如下性质：,1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的证券组合在S中具有最大的期望收益率。,2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组合在S中具有最小的标准差（或方差）。,则称F(p)为有效前沿（efficient frontier），简称前沿（边界）。,2,有效前沿的定义：2,3.1 N种风险证券组合的有效前沿,（一）两种风险证券组合的有效前沿,两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a 和 b，方差和协方差分别为,对任一组合p=(x，1-x)，x0，1，证券组合p的期望收益率和方差如下：,3,3.1 N种风险证券组合的有效前沿（一）两种风险证券组合的,讨论证券组合P的有效前沿形状,1）,2）,3）,4,讨论证券组合P的有效前沿形状1）,2种和3种风险证券的有效前沿,p,B,p,C,ab,=-1 2,ab,=1,4,3,C D,1 B,A A,O,p,O ,p,图3.1 图3.2,5,2种和3种风险证券的有效前沿 p,例题,两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为,a,=4.6%和,b,=8.5%，方差和协方差分别为,求这两种风险资产的有效前沿。,6,例题两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a=4.6%,N种风险证券的有效前沿,p,O ,p,图3.3,E,7,N种风险证券的有效前沿 p,（二)N中风险证券组合泽的有效前沿,设市场上有N种风险证券，它们的收益率和方差为有限值，这些收益率的方差-协方差矩阵V为正定矩阵，N种证券的期望收益率为：,N种证券组合P表示为：,证券组合期望收益率和方差分别为,8,（二)N中风险证券组合泽的有效前沿设市场上有N种风险证券，它,按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：,9,9,构造拉格朗日函数,一阶条件：,10,构造拉格朗日函数10,由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。,求解得,11,由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。求解得 11,对于另一个指定的 ，在前沿上的证券组合为：,12,12,两个证券组合的协方差为,令 ，则得前沿上的证券组合方差为：,13,两个证券组合的协方差为13,A/C MVP,O (1/C),1/2,p,14,A/C,32 允许对无风险证券投资的有效前沿,无风险证券（例如国库券等）的期末收入是确定的。,因此这种证券的方差为零，从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风险证券简称为,债券,。,15,32 允许对无风险证券投资的有效前沿无风险证券（例如国库券,一种风险证券和一种无风险证券,股票A和债券,以 记投入债券的比例，则 是购买股票的比例。,证券组合的期望收益率和标准差分别为：,16,一种风险证券和一种无风险证券股票A和债券16,一种风险证券和一种无风险证券,得证券组合的期望收益率 和标准差的关系：,17,一种风险证券和一种无风险证券得证券组合的期望收益率 和标准差,图3.5,B,A,C,。,O,18,图3.5 B A C。O 18,两种股票A和B，及一种债券,有效前沿为从(0，,r,f,)出发，与双曲线AB相切的射线,C,A,D,B,O,e,19,两种股票A和B，及一种债券 有效前沿为从(0，rf)出发，与,N 种股票及一种债券,问题,s.t,构造拉格朗日函数：,20,N 种股票及一种债券 问题20,一阶条件：,21,一阶条件：21,得证券组合的投资比例,其中,证券组合的方差为,或,22,得证券组合的投资比例 22,切点证券组合(tangency portfolio),切点证券组合e的投资比例,23,切点证券组合(tangency portfolio)23,切点的证券组合,24,切点的证券组合 24,3.3 最优证券组合,N种风险证券的情形,设投资者的效用函数为 ，并设,和 ，下标1，2分别表示对U的第1，2个变元求导。意味着对给定的风险 ，投资者认为期望回报率越大越好。意味着对给定的期望回报率 ，投资者认为风险 越小越好。,25,3.3 最优证券组合N种风险证券的情形25,这时投资者的问题可表述为,s.t,26,这时投资者的问题可表述为26,构造拉格朗日函数,一阶条件,27,构造拉格朗日函数27,一阶条件变形得：,从而得出：,28,一阶条件变形得：28,把,代回X中可得最优投资比例：,29,把代回X中可得最优投资比例：29,定理3.1,当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合构成的。,又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点，故有：,推论1,任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由 和 的凸组合构成的。,有效前沿又可以看成由所有切点组成，因而有：,推论2,有效前沿上任何一点都是 和 的凸组合。,30,定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证,最优证券组合,存在无风险证券的情形,设 N种风险证券和一种债券，在风险证券上的投资比例为X，在无风险证券上的投资比例为（1 X,I），从而证券组合的期望收益率,31,最优证券组合存在无风险证券的情形 31,证券组合的期望收益率,投资者的问题可表示为：,32,证券组合的期望收益率 32,一阶条件,最优投资比例为,在债券上的投资比例为(1 X*,I),33,一阶条件33,定理3.2,(两资金分离定理，two-fund separation),当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切点证券组合构成。,34,定理3.2 (两资金分离定理，two-fund separ,计算方法与例题,切点e证券组合的计算方法,35,计算方法与例题切点e证券组合的计算方法 35,例3.1,设风险证券A和B分别有期望收益率 r,1,=12%，r,2,=8%，方差分别为,1,=10和,2,=4，它们之间的协方差,12,=2，又设无风险证券的收益率r,f,=6%，求切点证券组合X,e,.,三种解法。,36,例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益率 r1=12%,