解一元一次方程技法与思路

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,解一元一次方程的技法與思路,黃志洪,教育局中學校本課程發展組,神召會康樂中學,(,借調老師,),在根基上搭建,數學課程指引,(,小一至小六,)2000,代數範疇學生須懂得利用代數符號作記錄，列出方程及解,不超過兩步計算的方程,。在學習列方程及解方程前，學生須掌握加法、減法、乘法和除法算式中各部分之間的關係，以便他們能根據這些關係求未知數。方程,不應包括同類項運算,，所涉及的數字不宜太繁複，,只可有一個未知數,，且,分母亦不可含有未知數,。在解方程後，教師應要求學生用正確的驗算方式，進行驗算。,TSA,已教課程,課前預測,/,評估,路途回歸法,所在地,是從,家,出發，,經過若干,路程,到逹，,若,行回頭路,就可回到,家,中。,結果,是從,未知數,出發，,經過若干,運算,而成，,若,進行逆運算,就可得到,未知數,(,方程的解,),。,用於描述未知數經過若干運算得一結果的方程,路途回歸法,針對未知數出現一次的方程,進行,逆末運算,，逐步還原。,原則：加減互逆、乘除互逆。,練習,/,課堂活動,目的：了解方程的含意，弄清當中的運算次序。,3,3,1,+1,4,4,4,4,2,+2,3,3,+1,1,用逆末運算表解方程,3,3,1,+1,4,4,用逆末運算表解方程,逆末運算,簡化方程,末運算,3,3,1,+1,4,4,用逆末運算表解方程,逆末運算,簡化方程,末運算,4,4,2,+2,3,3,+1,1,用逆末運算表可解下列方程嗎？,可以！,但需重組方程。,重組方程,連續加減，次序可變：,例：,1+2=2+1=3,例：,3+4=4+3=-1,例：,-,2+3=3,-,2=1,例：,-,1-,2=-,2-1=-3,方程,y,+17=33,和方程,17+,y,=33,是否同解？,方程,2,y,-7=3,和方程,-7+2,y,=3,是否同解？,為何？,重組方程,練習：,重組方程後，用逆末運算表解方程,解方程的基本概念,一元方程表逹未知數值有左方等於右方的,相等關係,。,為求得知未知數使相等關係成真的值,(,方程的解,),，我們就需進行,解方程,。,在解方程時，目的在,簡化,這,相等關係,，直到求出方程的解。,(,即得知未知數使相等關係成真的值,),解方程的基本思路,對方程進行,同解變形,，,從而簡化相等關係，直至得解。,方程,：,左方,=,右方,同解變形,未知數,=,確知數值,(,解,),方程,：,2,x,3=9,方程,：,4x 3=2x+5,同解變形,同解變形,x,=6,(,解,),x,=4,(,解,),解方程,2x 3=9,時的同解變形過程：,2x 3=9,2x 3+3=9+3,2x=12,2x,2=12,2,x=6,每行都是一方程,/,相等關係，,有著同一的解,(,x,=6),。,解,(,x,=6),能使每行的相等關係成真。,不能加等號於每行之首,！,解方程的技法 同解變形,(,一,),恆等變形,將左右兩方各自作恆等變形,(,包括化簡、展開、因式分解、通分等,),合併同類、去括號,(,二,),等式性質,(,平衡原理,/,天平法則,),1.,如果,X=Y,，那麼,X,a=Y,a,，,X,b=Y,b,。,移項歸類,2.,如果,X=Y,，,那麼,cX=cY,，,X,d=Y,d,（,c,，,d0,）。,倍方程,解方程的技法 同解變形,路途回歸法中的逆末運算,其實是使用天平法則，也是同解變形。,解方程的技法,合併同類,(,逆末運算,),3,x,=24,x,=8,15,x,-12,x,=,-11,+,35,？,合併同類目的：,將在方程同一邊的同類項進行合併，用以簡化方程,(,減少未知數及數值的數目,),。,解方程的技法,合併同類,(,一,),若干常數項,/,數值的加減，簡化成一個常數項,/,數值。,有向數,/,正負數的加減,B,(,二,),若干未知數項的加減，簡化成一個未知數項。,係數的概念、有向數,/,正負數的加減,關注：,Dyscalculia/MD(,數障,),！,解方程的技法,移項歸類,移項歸類目的：,將未知數移至方程的一邊，而數值移至另一邊。,為合併同類作預備。,15,x,-12,x,=,-11,+,35,3,x,=,24,(,合併同類,),x,=,8,(,逆末運算,),15,x,-35,=,12,x,-11,？,解方程的技法,移項歸類,運用等式性質,1,，也可視作加減的逆末運算的結果。,教學活動：,(,方形咭背後為一,x,項，圓形咭後為數值,),解方程的技法,移項歸類,教學活動,(,續,),：,解方程的技法,移項歸類,教學活動總結：,讓學生觀察，找出規律，發現移項的變形方法。,以口訣移加作減、移減作加幫助記憶。,給出移項的概念：把方程中的某一項，從方程的一邊移到另一邊，需改變符號，這種變形叫做移項。,習慣上把含有未知數的項移到左方，不含未知數的項,(,數值,),移到右方。但有時為求簡單,(,令最終的係數為正,),，也可靈活處理。,通過練習加以鞏固，達到靈活運用移項歸類,15,x,-35,=,12,x,-11,？,15,x,-12,x,=,-11,+,35,3,x,=,24,x,=8,解方程的技法,去括號,5(3,x,-7),=,12,x,-11,？,可否移項歸類,？,15,x,-35,=,12,x,-11,15,x,-12,x,=,-11,+,35,(,移項歸類,),3,x,=,24,(,合併同類,),x,=8,(,逆末運算,),去括號目的：,撤去括號有便於移項歸類及合併同類。,若方程含有括號，我們必須先撤去括號,(,展開當中的項,),，才可移項歸類。,解方程的技法,去括號,基於,乘法分配性質,。,太 多 了！不 需 學 生 強 記！,解方程的技法,去括號,讓學生自我發現去括號規律。,再完成跟進練習,。,解方程的技法,去括號,要訣：同號正、異號負；括前正正負不變、括前負正負號變。,解方程的技法,去括號,多層括號：,去括號可由內而外，也可由外而內。,解方程的技法,去括號,多層括號,(,另例,),：,由外而內還是由內而外較好？,解方程的技法,倍方程,5(3,x,-7),=,12,x,-11,15,x,-35,=,12,x,-11,(,去括號,),15,x,-12,x,=,-11,+,35,(,移項歸類,),3,x,=,24,(,合併同類,),x,=8,(,逆末運算,),？,倍方程目的：,係數變整,(,去分母、去小數,),，簡化方程。,解方程的技法,倍方程,讓學生自我發現倍多少：,哪個變形對解方程有幫助？,解方程的技法,倍方程,哪個變形對解方程有幫助？,有否更佳的變形對解方程有幫助？,解方程的技法,倍方程,？,倍方程：,60,！,總結：,乘以所有分母的最小公倍數,左方、右方都要乘,每項都要乘，不可漏乘不含分母項,分子多過一項，作為一整體要加括號,不能直接把分母去掉，需通過約分約去分母,除去分母外，倍方程也可用於去小數,倍方程也可倍細方程，例：,440,x,+640=3280,簡表解方程,例一,簡表解方程,例二,簡表解方程,例三,簡表解方程,例四,與前表四個練習為一系列。,用簡表做此練習可輕易將需做的 變形分類安排在前四個練習中。,(,留意一題多法,),學生在不同學習階段完成前四個 練習後，應能輕易完成此練習。盼藉此給學生信心解較難的方程 。,注意此一系列用了不同的字母，方便初學或能力稍遜的同學參照 。,教師可設計多幾個系列，可在一 系列中全用同一,字母,，鼓勵同學 不作無謂的參照，進一步提升信 心。,教學小點子,創設問題情境激發學生的求知欲。數學家,丟番圖,墓碑上短詩謎題,老師的年歲或生日月份。,從錯誤中學習；收集同學錯解方程的做法，讓同學找出錯誤並更正。,一題多解法。鼓勵分享觀摩、勇於嘗試。,教學生方法去設計某一定解的方程，進行互相出題目交換求解的活動。,預備較難的,BONUS,題給能力較高的同學，模擬例子及提示錦囊給能力稍遜的同學。,完,謝,謝,!,