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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章,函数,1,考,点,搜,索,映射、一一映射的概念,函数的概念及函数的三要素,运用排列组合知识计算映射的个数,分段函数与复合函数的概念,2.1,映射与函数,2,高,考,猜,想,映射是高中数学中的一个重要概念，应予以足够重视，高考对它的考查以选择题型为主，主要是对概念的考查；对函数的概念、函数的解析式、分段函数的考查一直是高考考查的重点,.,3,一、映射的概念与判定方法,1.,设,A,、,B,是两个集合，如果按照某种对应关系,f,，对于集合,A,中的每一个元素，,_,，这样的对应关系叫做从集合,A,到集合,B,的映射，记作,_.,2.,给定一个从集合,A,到集合,B,的映射，且,a,A,b,B,如果元素,a,和,b,对应,那么元素,b,叫做元素,a,的,_,，元素,a,叫做元素,b,的,_.,在集合,B,中都有唯一的元素与它对应,f,:,A,B,象,原象,4,二、函数的三要素及其表示法,1.,函数的三要素是,_,，,_,，,_.,判断两个函数是否为同一函数只需判定两点：,_,和,_.,2.,函数的三种表示方法有,_,、,11,_,和,12,_.,三、分段函数与复合函数,定义域,解析法,值域,对应法则,定义域是否相同,对应法则是否相同,列表法,图象法,5,1.,如果一个函数在定义域的不同子集中因,13,_,不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数,.,分段函数的求法是分别求出,14,_,再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏,.,2.,如果,y,=,f,(,u,),，,u,=,g,(,x,),，那么函数,y,=,f,g,(,x,),叫做复合函数，其中,f,(,u,),15,_,叫做函数，,g,(,x,),16,_,叫做函数,.,对应关系,解析式,外层,内层,6,盘点指南：,在集合,B,中都有唯一的元素与它对应；,f,:,A,B,;,象,;,原象,;,定义域；值域；对应法则,;,定义域是否相同；对应法则是否相同；解析法；,11,列表法；,12,图象法；,13,对应关系；,14,解析式；,15,外层；,16,内层,7,1.,在映射,f,:,A,B,中，下列判断正确的是,( ),A.,A,中的元素,a,的象可能不止一个,B.,A,中的元素,a,1,和,a,2,的象不可能相同,C.,B,中的元素,b,的原象可能不止一个,D.,B,中的元素,b,1,和,b,2,的原象可能相同,解：,由映射的定义知，选,C.,C,8,2.,设集合,M,=-1,0,1,N,=1,2,3,4,5,，映射,f,:,M,N,满足条件“对任意的,x,M,，,x,+,f,(,x,),是奇数”，这样的映射,f,个数是,( ),A. 125 B. 243,C. 12 D. 7,解：,分三步：,(1),当,x,=-1,时，,f,(,x,)=2,4;,(2),当,x,=0,时，,f,(,x,)=1,3,5;,(3),当,x,=1,时，,f,(,x,)=2,4,所以这样的映射,f,共有,232=12,个,.,C,9,3.,若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为,y,=2,x,2,+1,，值域为,9,，,1,，,3,的“天一函数”共有,( ),A. 4,个,B. 8,个,C. 9,个,D. 12,个,解：,分三步：,(1),当,y,=1,时，,x,=0;,(2),当,y,=3,时，,x,=1,或,x,=-1,或,x,=1;,(3),当,y,=9,时，,x,=2,或,x,=-2,或,x,=2,所以所求的“天一函数”共有,133=9,个,.,C,10,1.,判断下列对应是否是从集合,A,到集合,B,的映射：,(1),A,=,R,B,=,x,|,x,0,，,f,:,x,|,x,|,；,(2),A,=,N,B,=,N*,，,f,:,x,|,x,-2|,；,(3),A,=,x,|,x,0,B,=,R,，,f,:,x,x,2,.,题型,1,映射与函数的概念,第一课时,11,解：,(1)0,A,，在法则,f,下，,0|0|=0,B,，故该对应不是从集合,A,到集合,B,的映射；,(2)2,A,，在法则,f,下，,2|2-2|=0,B,，故该对应不是从集合,A,到集合,B,的映射；,(3),对于任意,x,A,，依法则,f,:,x,x,2,B,，故该对应是从集合,A,到集合,B,的映射,.,12,点评：,映射是一种特殊的对应，函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映射,.,对于函数：按某种对应法则,f,，从非空数集,A,到非空数集,B,的函数，要求,A,中的元素必须有象且唯一，而集合,B,中的元素也必须有原象，可以有一个或多个,.,13,下列从,M,到,N,的各对应法则,f,i,(,i,=1,，,2,，,3,，,4),中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？,(1),M,=,直线,Ax,+,By,+,C,=0,，,N,=,R,，,f,1,:,求直线,Ax,+,By,+,C,=0,的斜率,;,(2),M,=,直线,Ax,+,By,+,C,=0,，,N,=,|0,，,f,2,:,求直线,Ax,+,By,+,C,=0,的倾斜角,;,(3),当,M,=,N,=,R,f,3,:,求,M,中每个元素的正切；,(4),M,=,N,=,x,|,x,0,，,f,4,:,求,M,中每个元素的算术平方根,.,14,解：,(1),当,B,=0,时，直线,Ax,+,C,=0,的斜率不存在，此时,N,中不存在与之对应的元素，故,f,1,不是从,M,到,N,的映射，也就不是函数了,.,(2),对于,M,中任一元素,Ax,+,By,+,C,=0,，该直线恒有唯一确定的倾斜角,，且,0,，,),，故,f,2,是从,M,到,N,的映射,.,但由于,M,不是数集，从而,f,2,不是从,M,到,N,的函数,.,(3),由于,M,中元素,k,+ (,k,Z,),的正切无意义，即它在,N,中没有象，故,f,3,不是从,M,到,N,的映射，自然也不是函数,.,(4),对于,M,中任一非负数，其算术平方根唯一且确定，故,f,4,是从,M,到,N,的映射，又,M,、,N,均为非空数集，所以,f,4,是从,M,到,N,的函数,.,15,2.,已知映射,f,:,A,B,，其中,A,=,B,=,R,，对应法则,f,:,x,y,=-,x,2,+2,x,，对于实数,k,B,，在集合,A,中不存在原象，则,k,的取值范围是,( ),A.,k,1 B.,k,1,C,. k,1 D.,k,1,解：,已知象,k,求原象,x,，即求方程,-,x,2,+2,x,=,k,的实数解,.,本题要求,k,在,A,中无原象，即方程在,R,中无实根,.,由题意，方程,-,x,2,+2,x,=,k,在,R,中无实根，即,x,2,-2,x,+,k,=0,在,R,中无实根，,题型,2,映射中的象或原象问题,所以,=(-2),2,-4,k,0,，解得,k,1,，,所以当,k,1,时，集合,A,中不存在原象，故选,A,.,A,16,点评：,从集合,A,到集合,B,的映射，集合,A,中的元素一定在集合,B,中有元素对应，即集合,A,中的元素有象，而集合,B,中的元素，可以不与集合,A,中的元素对应，即,B,中的元素可以没有原象,.,17,在映射,f,:,A,B,中，已知,A,中元素,(,x,，,y,),与,B,中的元素,( ),对应,.,求：,(1),A,中的元素,(1,，,3),的象；,(2),B,中的元素,(-5,，,2),的原象,.,解：,(1),令,x,=1,，,y,=3,，则,所以,A,中的元素,(1,，,3),的象为,(2,，,-1).,(2),令 则,x,=-3,，,y,=-7,，,所以,B,中的元素,(-5,，,2),的原象是,(-3,，,-7).,18,3.,已知,A,=1,2,3,4,5,B,=6,7,8.,(1),从,A,到,B,的映射有多少个？,(2),从,B,到,A,的映射有多少个？,解：,(1),由映射的概念及乘法原理知从,A,到,B,的映射共有,3,5,=243(,个,).,(2),同理，从,B,到,A,的映射共有,5,3,=125(,个,).,点评：,设集合,A,中的元素个数是,m,，集合,B,中的元素个数是,n,，则从集合,A,到集合,B,的映射个数是,nm.,题型,3,求映射的个数,19,已知,A,=,B,=1,，,2,，,3,，,4,，,5,，从,A,到,B,的映射,f,满足：,f,(1),f,(2),f,(5);,f,的象有且只有,2,个，则适合条件的映射的个数为,( ),A. 10 B. 20,C. 30 D. 40,解：,分步：在,B,中选定,f,下的两个象，有,C,5,2,种；确定,A,中元素在,f,下的原象，由条件将,1,，,2,，,3,，,4,，,5,分前后两组，分别对应较小与较大的两个数，有,C,4,1,种分法，故有,C,5,2,C,4,1,=40,个映射，选,D.,20,(,原创,),表中的数据,x,(,x,0),与,y,之间的对应关系是,f,：,x,ax,2,+,bx,+,c,，根据表中的数据填空,.,则处的数据可以是,_,，处的数据可以是,_.,题型 表格中的对应关系,x,1,2,3,4,y,1,3,6,5050,21,解：,由题意，可求得 ，所以,x,=4,时，可得,y=,10,；由,y,=5050,及,x,0,可得,x,=100.,所以处填,10,；处填,100.,22,1.,判断对应是否为映射，要考虑两个要素，一是,A,中的每个元素是否都有象，二是每个元素的象是否唯一,.,如果,A,中存在一个元素没有象或有多个象，则该对应就不是映射,.,2.,在分析映射,f,:,A,B,中的元素的对应关系时，须注意,A,中不同的元素可以对应同一个象，,B,中的元素可以没有原象，即,B,中的元素可以“剩余”,.,23,内容总结,第二章。映射、一一映射的概念。分段函数与复合函数的概念。2. 函数的三种表示方法有_、11_和12_.。三、分段函数与复合函数。A. A中的元素a的象可能不止一个。B. A中的元素a1和a2的象不可能相同。C. B中的元素b的原象可能不止一个。D. B中的元素b1和b2的原象可能相同。所以这样的映射f共有232=12个.。所以所求的“天一函数”共有133=9个.。1. 判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射：。下列从M到N的各对应法则fi(i=1，2，3，4)中，哪些是映射。(3)当M=N=R,f3:求M中每个元素的正切。(2)同理，从B到A的映射共有53=125(个).。解：分步：在B中选定f下的两个象，有C52种。由y=5050及x0可得x=100.所以处填10。23,
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