小波变换的定义

单击此处编辑母版标题样式,*,第9章 小波变换基础,9.1 小波变换的定义,小波变换的定义,给定一个基本函数，令,(9.1.1),若,a,b,不断地变化，我们可得 到一族函数 。给定平,方可积的信号 ，,即,则小,x(t,),的小波变换（,Wavelet Transform,，,WT,）：,（,）,信号 的小波变换 是,a,和,b,的函数，,b,是时移，,a,是尺度因子。,又称为基本小波，或母小波。,是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波基函数，或简称小波基。,式中,b,的作用是确定对,x(t,),分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子,a,的作用是把基本小波,作伸缩。,式中的因子 是为了保证在不同的尺度时，始终能和 母函数有着相同的能量，即,令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为：,（,）,由,Parsevals,定理，（,）式可重新表为：,（,）,此式即为小波变换的频域表达式,。,9.2 小波变换的特点,小波变换的恒Q性,由小波变换的两个定义可以看出，如果 在,时域是有限支撑的，那么它和 作内积后将保证,在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位,功能，也即 反映的是 在b附近的性质；,若 具有带通性质，即 围绕着中心频率,是有限支撑的，那么 和 作内积后也将,反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定,位性质。,若 的时间中心是,时宽是 ，的频率中心,是,带宽是 ，那么 的时间中心仍是 ，但时,宽变成 ，的频谱 的频率中心变为,带宽变成 。这样,的时宽带宽积仍是,与,a,无关。,定义：,为小波 的品质因数，对 ，其,=带宽/中心频率,带宽/中心频率,不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系,图9.2.2,a,取不同值时小波变换对信号分析的时频区间,由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图,中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由,此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，,该分析窗口在高频端（图中 处）的频率分辨率不好（矩,形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边,变短）；反之，在低频端（图中 处），频率分辨率变,好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图中分析,窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要,作出调整。,小波变换的时域及频率分辨率,信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对,这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成,份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，,时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是,信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的,分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中,心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自,动满足这些客观实际的需要。,用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高,频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低,频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观,察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分,析时的规律，也符合人们的视觉特点。,小波变换和其它信号分析方法的区别,傅里叶变换,傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频,域有着最佳的定位功能（频域的 函数），但在时,域所对应的范围是,-,，完全不具备定位功能。,这是,FT,的一个严重的缺点。,第9章 小波变换的基础,短时傅里叶变换,重写（,）式，即,(9.2.6),STFT,不具备恒,Q,性质，当然也不具备随着分辨率,变化而自动调节分析带宽的能力，如图,所示,。,图9.2.3 STFT的时频分析区间,定义,(9.2.7),为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量,分布，但它是随位移和尺度的能量分布，而不是简单,的随的能量分布。但由于尺度间接对应频率（小对应,高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种,时频分布。,综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调,节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此,被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是,八十年代后期发展起来的应用数学分支。,9.3 连续小波变换的计算性质,时移性质,若 的,CWT,是,那么 的,CWT,是 。记 ，,(9.3.1),尺度转换性质,如果,x(t,),的,CWT,是 ，令 ，则,(9.3.2),证明,:,令,则,该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在,a,和,b,两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不,变。这是小波变换优点的又一体现。,微分性质,如果,x(t,),的,CWT,是 ，令 ，,则,（,）,证明：,由移位性质有：,即,两个信号卷积的,CWT,如果,x(t),h(t,),的,CWT,分别是 及,令,则,（,9.3.4),式中符号 表示对变量,b,作卷积。,两个信号和的,CWT,令 的,CWT,分别是 ，,且 ，则,（,）,同理，如果 ，则,（,）,即两个信号和的,CWT,等于各自,CWT,的和，也即小波变换满足,叠加原理。,小波变换式所定义的CWT是“线性”变换，而WVD表,达式Wigner分布为代表的一类时频分布为“双线性,变换”。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对,比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅,平方，即（）式的尺度图则是信号能量的一种,分布。将 代入(9.2.7)式，可得：,(9.3.6),式中 分别是 和 的幅角。,上式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该,交叉项的行为和WVD中的交叉项稍有不同。WVD的交叉,项位于两个自项的中间，即位于 处，,分别是两个自项的时频中心。尺度图中的交叉项出,现在 和 同时不为零的区域，也即是真,正相互交叠的区域中，这和WVD有着明显的区别。,WVD和WT之间的关系：,（）,小波变换的内积定理,定理,9.1,设 和 ，的小,波变换分别是 和 ，则,（,）,式中,（,）,（）式实际上可看作是小波变换的Parseval,定理。该式又可写成更简单的形式,即,(9.3.10),进一步，如果令 ，由（）式，有,(9.3.11),傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域,中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以的存在 为条件。,9.4小波反变换及小波容许条件,连续小波反变换的公式及反变换存在的条件,定理,9.2,设 ，记 ，为的,傅里叶变换，若,则 可由其小波变换 来恢复，即,(9.4.1),证明：设 ，,则,将它们分别代入（）式的两边，再令 ，于,是,于是定理得证。,在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以0的范围内任意取值时，这,时的小波变换即是连续小波变换。,用数值积分的方法计算（）式，即，令,(9.7.1),由于在 的区间内，所以上式,又可写为：,(9.7.2),由该式可以看出，小波变换 可看作是,和 的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中,间变量是t，卷积后的变量为a及b。MATLAB中的cwt.m,即是按此思路来实现的。,小波变换的大致过程：,先由指定的小波名称得到母小波 及其时间轴上的刻度，假定刻度长为 ；,从时间轴坐标的起点开始求积分 ，,由尺度a确定对上述积分值选择的步长，a越大，上述积分值被选中的越多；,求 和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成（）式。,方法的不足:,在a变化时，）式中括号内的积,分、差分后的点数不同，也即和,卷积后的点数不同。,解决的方法:,是在不同的尺度下对 作插值，使其,在不同的尺度下，在其有效支撑范围,内的点数始终相同。,有关CWT快速计算的方法还可借助于CZT及梅林,变换等方法。,例题：,例9.7.1 令 为一正弦加噪声信号，它取自MATLAB中的noissin.mat。对该信号作CWT，a分别等于2和128，a=2时，小波变换的结果对应信号中的高频成份，a=128时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图9.7.1(a)，(b)和（c）。,图9.7.1 信号“noissin”的小波变换,(a)原信号x(t)，(b)a=2，(c)a=128,例9.7.2 仍然使用例的信号“noissin”，对其作CWT时a分别取10，30，60，90，120及150。所得到的图是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不同的表示方式。,图9.7.2 多尺度下小波变换的灰度表示,9.8 尺度离散化的小波变换及小波标架,对同一个信号 ，在“时频平面”a-b上，给,出几种不同的表示形式：,STFT：,（）,Gabor变换：,（）,WVD：,（）,小波变换：,（）,9.8.1 尺度离散化的小波变换,目前通用的对a离散化的方法是按幂级数的形,式逐步加大a，即令 。若取 ，则,(9.8.5),称为“半离散化二进小波”，而,(9.8.6),称为二进小波变换。,设：母小波 的中心频率：，带宽：，当,时，的中心频率变为 ，带宽,。若 时，的中心频率和带宽分别,是：，。从对信号作频域分,析的角度，希望当a由 变成 时，和 在,频域对应的分析窗 和,能够相连。,。,这样，当j由0,变至无穷时，的傅里叶变换可以覆盖整个 轴。,由 恢复 ：,设 是 的对偶小波，并令 和 取类似的形式，即,(9.8.7),这样，通过对偶小波，我们希望能重建 ：,(9.8.8),对上式作如下变换：,由（）和（）式，有,(9.8.9),显然，若,(9.8.10),则（）式的右边变成 的傅里叶反变换，自,然就是 。,对于满足容许条件的小波 ，当 时，其二进制小波 对应的傅里叶变换应满足（）式的稳定性条件。这样，结合（）和（）式，我们可由下式得到对偶小波 :,(9.8.11),由于（）式的分母满足（）式，因此有,(9.8.12),这样，对偶小波 也满足稳定性条件，也即，总可以找到,一个“稳定的”对偶小波 由（）式重建出 。,定理 9.4,:,如果存在常数 ，使得,(9.8.13),则,(9.8.14),如果 满足,(9.8.15),则,(9.8.16),定理9.4指出，若 的傅里叶变换满足稳定性条件，,则 在 上的小波变换的幅平方的和是有界的。进,而，和 的傅里叶变换若满足（）式（也即,（）式），则 可由（）式重建。,若（）式的稳定性条件满足，则（）式的容许条件必定满足，且,(9.8.17),从而，由连续小波变换 总可以恢复 ，即,（）,式总是成立,总结：,若 满足容许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换 总可以重建，也即一个满足稳定性条件的对偶小波 总是存在的。但是，满足稳定性条件的对偶小波 不一定是唯一的。如何构造“好”的小波 及得到唯一的对偶小波 是小波理论中的重要内容。,9.8.2,离散栅格上的小波变换,令 ，可实现对a的离散化。若j=0，则,。当 时，将a由 变成 时，即,是将a扩大了 倍，这时小波 的中心频率比,的中心频率下降了 倍，带宽也下降了 倍。,当尺度a分别取 时，对b的抽样间隔可以取 这样，对a和b离散化后的结果是：,(9.8.18),对给定的信号 连续小波变换可变成如下离散,栅格上的小波变换，即,(9.8.19),此式称为“离散小波变换（Discrete Wavelet,Transform，DWT）”。,注意:,式中t仍是连续变量。这样，(a,b)平面上离散,栅格的取点如图所示。图中取 ，尺,度轴取以2为底的对数坐标。,图9.8.1 DWT取值的离散栅格,由该图可看出小波分析的“变焦距”作用，即在不同的尺度下（也即不同的频率范围内），对时域的分析点数是不相同的。,记 ，仿照傅里叶级数和Gabor展开,那样来重建 ，即,(9.8.20),该式称为小波级数，称为小波系数，是,的对偶函数，或对偶小波。,对任一周期信号 ，若周期为T，且 ，,则可展成傅里叶级数，即,(9.8.21a),式中 是 的傅里叶系数，它由下式求出：,(9.8.21b),小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理,概念却有着明显的不同：,傅里