正态总体的均值和方差的假设检验

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,下,回,停,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理统计,一、单个总体参数的检验,第二节 正态总体均值 与方差的假设检验,二、两个总体参数的检验,2,取检验统计量,一、单个总体参数的检验,(,当,H,0,为真时,),3,给定显著水平,(0,1),拒绝域,：,W,1,=(,x,1,x,2,x,n,),：,|,u,|,u,/2,；,其中,u,=,U,(,x,1,x,2,x,n,),4,由样本值算出,U,的观察值,例,1,解,本题归结为检验假设,(1),(2),选,择统计量,Mpa,问能否认为这批钢索的断,算出,裂强度为,800 Mpa.,某厂生产一种钢索,断裂强度,X,(,单位,:Mpa,),当,H,0,成立时,U,N,(0,1).,(3),给定显著性水平,=0.05,由正态分布函数表,查得,u,/2,=,u,0.025,=1.96,从而得检验的,拒绝域,为,W,1,=(,x,1,x,2,x,n,),:|,u,|,u,0.025,=1.96,；,(4),由,样本值计算,U,的观测值,为,不能认为这批钢索的断裂强度为,800 Mpa.,(5),判断,:,由,故拒绝原假设,H,0,即,2,取检验统计量,3,给定显著水平,(0,1),拒绝域,：,W,1,=(,x,1,x,2,x,n,)|,|,t,|,t,/2,(,n,-1),；,4,由样本值,计算,T,的观察值,5,进行判断,:,解,例,2,某型灯泡寿命,X,服从正态分布,从一批灯泡,能否认为这批灯泡平均寿命为,1600,h,(,=0.05),？,1750,，,1550,，,1420,，,1800,，,1580,1490,，,1440,，,1680,，,1610,，,1500,中,任意取出,10,只,测得其寿命分别为,(,单位,:,h,),本题是要检验假设,当,H,0,成立时,T,t,(,n,-1)=,t,(9),.,给定,=0.05,查,t,分布表得临界值,(5),判断,：,由于,|,t,|=0.4432.262=,t,0.025,(9),因此,可以接受,H,0,即可以认为这批灯泡的平均寿命,1600h,.,故,(4),由,所给的样本值,(3),拒绝域,为,W,1,=(,x,1,x,2,x,n,),:,|,t,|,t,0.025,(9)=2.262,2,取检验统计量,3,给定显著水平,(0,1),查表得临界值：,拒绝域：,O,x,y,4,由样本值算出 的观察值,拒绝域,：,问：,若总体的均值,已知,则如何设计假设检验？,解,检验假设,例,3,某炼钢厂铁水含碳质量分数,X,在正常情况下,革,又测量了,5,炉铁水,含碳质量分数分别为：,4.421,，,4.052,，,4.357,，,4.287,，,4.683,是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分,数,的方差仍为,0.108,2,（,=0.05,）？,(2),取检,验统计量：,服从正态分布,现对操作工艺进行了改,(3),拒绝域为,:,(5),拒绝,H,0,认为由新工艺炼出的铁水含碳质量,分数的方差与,0.108,2,有显著性差异,.,由,n,=5,=0.05,算,得,1.,方差已知时两正态总体均值的检验,二、两个总体参数的检验,注意与一个,总体的区别,假设,拒绝域,:,W,1,=(,x,1,x,2,x,n,y,1,y,2,y,n,),：,|,u,|,u,/2,；,例,4,甲一两台机床生产同一种产品,今从甲生产的,产,品种抽取,30,件,测得平均重量为,130,克,从乙,生,产的,产品中抽取,40,件,测得平均重量为,125,克,.,假,定两台机,床生产的产品重量,X,Y,满足相互独立且,两台机床生产的产品重量有无显著差异,(,=0.05),？,解,本题归结为检验假设,(3),拒,绝域,:,W,1,=(,x,1,x,2,x,n,y,1,y,2,y,n,),|,u|,u,/2,=1.96,2.,方差未知时两正态总体均值的检验,假设,3,给定显著水平,(0,1),拒绝域：,某种物种在处理前与处理后取样分析其含脂,处理前,:0.19,0.18,0.21,0.30,0.66,假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互,独立,例,5,0.19,0.04,0.08,0.20,0.12,处理后,:0.15,0.13,0.00,0.07,0.24,0.42,0.08,0.12,0.30,0.27,（,=0.05,）,?,方差相等,.,问处理前后含脂率的,均值有无显著差异,率如下,:,由样本值求得统计量,T,的观测值,以,X,表示物品在处理前的含脂率,Y,表示物品在,由题知 未知,但 于是问题归结,处理后的含脂率,且,为检,验假设,解,故拒绝假设,H,0,认为物品处理前后含脂率的均值,对自由度,n,1,+,n,2,-2=18,=0.05,查,t,分布表得临界值,有显著差异。,3.,两正态总体方差的检验,假设,3,给定显著水平,(0,1),拒绝域：,查表得,4,由样本计算,F,的值,5,判断若 则拒绝,H,0,若 则接受,H,0.,试问两种情形下断裂强度方差是否相同,(,=0.05,),？,例,6,为了考察温度对某物体断裂强度的影响,在,70,与,80,下分别重复作了,8,次试验,得断裂强,度的数据如下,(,单位：,Mpa):,70,:20.5,18.8,19.8,20.9,21.5,19.5,21.0,21.2,80,:17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1,假定,70,下的断裂强度用,X,表示,且服从,80,下的断裂强度用,Y,表示,且服从,本题实质上是检验假设,根据所给样本值求得,解,对,=0.05,，由,F,分布临界值表查得,故接受,H,0,认为,70,与,80,下断裂强度的方差相同,.,本节学习的正态总体参数的假设检验有,:,内容小结,1.,单总体参数的检验,2.,双总体参数的检验,总结参见表,7.3,，,P,165,.,假设检验的一般步骤,5.,根据统计量值是否落入拒绝域,W,1,内,作出,拒绝,或接受,H,0,的,判断,。,根据样本观察值计算,统计量的观察值,;,2.,选择适当的,检验统计量,在,H,0,成立的条件下,确定它的概率分布；,1.,根据实际问题的要求，,提出待检验的假设,H,0,及,备择假设,H,1,；,3.,给定显著性水平,，确定,拒绝域,W,1,；,3,2,1,检验方法,U,检验,t,检验,检验,7,6,5,检验方法,U,检验,t,检验,F,检验,再见,备用题,例,1-1,某厂一自动包装生产线,正常情况下产品重,量服从正态分布,N,(500,4).,今从该生产线上抽取,5,件,称得重量分别为,501,，,507,，,489,，,502,，,504,，,(,单位为：,g),问该生产线是否正常,(,=0.05,),？,解,本题归结为检验假设,选择统计量,认为该生产线已出了问题或处于不正常状态,.,例,1-2,在某粮店的一批大米中抽取,6,袋,测得的重,量分别为,26.1,23.6,25.1,25.4,23.7,24.5,（单,问能否认为这批大米的袋重为,25,千克,(,=0.01,),？,解,本题归结为检验假设,位,:,千克）,.,设每袋大米的重量,认为这批大米的袋重为,25,千克,.,设某次考试考生成绩服从正态分布,从中,随机抽取,36,位考生的成绩,算得平均成绩为,66.5,分,标准差为,15,分,问在水平为,0.05,下,是否可,认为这次考试中全体考生的平均成绩为,70,分,？,解,本题是要检验假设,例,2-1,即认为这次考试中全体考生的平均成绩为,70,分,.,故,某厂生产的某种产品的长度服从正态分布,其均值设定为,240cm.,现抽取了,5,件产品测得长度,为,(,单位,:cm)239.7,239.6,239,240,239.2.,试问该,厂的此类产品是否满足设定要求,(,=0.05?),解,本题是要检验假设,例,2-2,查自由度为,n,-1=4,的,t,分布表得临界值,认为该厂生产的此产品长度不满足设定要求,.,解,某厂生产的某种型号电池,其寿命长期以来,例,3-1,服从方差,为,5000(,小时,2,),的正态分布,有一批这种,电池,从它生产情况来看,寿命的波动性有所变化,.,随机地取,26,只电池,测出其寿命样本方差为,9200,(,小时,2,).,问根据这一数据能否推断这批电池寿命,的波动性较以往的有显著的变化,(,=0.02),?,拒绝域为,:,所以拒绝,H,0,认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化,.,从一台车床加工的一批轴料中抽取,15,件测,例,3-2,从正态分布,取,=0.05,问其总体方差与规定的方,解,本题是要检验假设,查表得,认为其总体方差与规定的方差无显著差异,.,例,3-3,某厂生产铜丝的折断力指标服从正态分布,解,故接受,H,0,认为该厂生产铜丝折断力的方差为,20.,随机抽取,9,根,检查其折断力,测得数据如下,(,单位,:,kg):289,268,285,284,286,285,286,298,292.,问,可,否,相信该厂生产的铜丝折断力的方差为,20(,=0.05,)?,查表得,美国民政部门对某住宅区住户消费情况进,行,的调查报告中,抽,9,户为样本,除去税款和住宅,等,费用外其每年开支依次为,4.9,5.3,6.5,5.2,7.4,5.4,6.8,5.4,6.3(,单位：,K,元,),假定住户消费数,据服从整体分布,给定,=0.05,问所有住户消,解,本题是要检验假设,取统计量,例,3-4,由题算得,查表得,即所有住户消费数据的总体方差,某切割机正常工作时,切割每段金属棒的,(1),假定切割的长度服从正态分布,且标准差,例,3-5,平,均长度为,10.5cm,标准差是,0.15cm,从一批,产,品中,随机地抽取,15,段进行测量,其结果如下,:,无变化,试问该机工作是否正常,（,=0.05,）,?,(2),如果只假设切割长度服从正态分布,问该机切割金属棒长度的标准差有无显著,变化,(,=0.05)?,2,取检验统计量,3,给定显著水平,=0.05,查表得,拒绝域：,解,(1),4,作判断,解,(2),(2),如果只假设切割长度服从正态分布,问该机切割金属棒长度的标准差有无显著,变化,(,=0.05)?,查表得,认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化,.,例,4-1,卷烟厂向化验室送去,A,B,两种烟草,化验尼,古丁的含量是否相同,从,A,B,中个随机抽取重量相,同的,5,例进行化验,测得尼古丁的,含量,(,单位,:mg),分,别为,A,:24,27,26,21,24;,B,:27,28,23,31,26.,据经验知,两种烟草尼古丁含量均服从正态分布,且相互独立,A,种的方差为,5,B,种的方差为,8,取,(,=0.05),问两种,烟草的尼古丁含量是否有显著,差异,？,解,拒绝域：,W,1,=(,x,1,x,2,x,n,y,1,y,2,y,n,),|,u|,u,/2,=1.96,某苗圃采用两种育苗方案作杨树育苗试验，,两组试验中，已知苗高的标准差分别为,1,=20,，,2,=18.,各取,60,株苗作样本,求出苗高的平均数为,计两种实验方案对平均苗高的影响,.,解,本题是要检验假设,由两个方案相互独立且,标准差已知,故取统计量,例,4-2,由可靠度为,95%,从而,=0.05,，查正态分布表得,由题可算得,认为两种实验方案对平均苗高有显著的影响,.,比较两种安眠药,A,与,B,的疗效,对两种药分,实验结果如下,(,单位,：小时,):,别抽取,10,个患者为实验对象,以,X,表示使用,A,后延,长的睡眠时间,以,Y,表示使