(精品)2 初等模型

第,二,章 初等模型,2.1,公平的席位分配,2.2,录像机计数器的用途,2.3,双层玻璃窗的功效,2.4,汽车刹车距离,2.5,划艇比赛的成绩,2.6,实物交换,2.,7,核军备竞赛,2.,8,启帆远航,2.,9,量纲分析与无量纲化,2.1,公平的席位分配,系别 学生 比例,20,席的分配,人数 （,%,）比例 结果,甲,103 51.5,乙,63 31.5,丙,34 17.0,总和,200 100.0 20.0 20,21,席的分配,比例 结果,10.815,6.615,3.570,21.000 21,问题,三个系学生共,200,名（甲系,100,，乙系,60,，丙系,40,），代表会议共,20,席，按比例分配，三个系分别为,10，6，4,席。,现因学生转系，,三系人数为,103,63,34,问20,席如何分配。,若增加为,21,席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,系别 学生 比例,20,席的分配,人数 （,%,）比例 结果,甲,103 51.5 10.3,乙,63 31.5 6.3,丙,34 17.0 3.4,总和,200 100.0 20.0 20,系别 学生 比例,20,席的分配,人数 （,%,）比例 结果,甲,103 51.5 10.3,10,乙,63 31.5 6.3,6,丙,34 17.0 3.4,4,总和,200 100.0 20.0 20,21,席的分配,比例 结果,10.815,11,6.615,7,3.570,3,21.000 21,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,人数 席位,A,方,p,1,n,1,B,方,p,2,n,2,当,p,1,/,n,1,=,p,2,/,n,2,时，分配公平,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,对,A,的,绝对不公平度,p,1,=150,n,1,=10,p,1,/,n,1,=15,p,2,=100,n,2,=10,p,2,/,n,2,=10,p,1,=1050,n,1,=10,p,1,/,n,1,=105,p,2,=1000,n,2,=10,p,2,/,n,2,=100,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,但后者对,A,的,不公平程度已大大降低!,虽二者,的,绝对不公平度相同,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,对 不公平,A,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,公平分配方案应使,r,A,r,B,尽量小,设,A,B,已分别有,n,1,n,2,席，若增加1席，问应分给,A,还是,B,不妨设分配开始时,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,即对,A,不公平,对,A,的,相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义,r,B,(,n,1,n,2,),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“公平”分配方法,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,定义,1,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/,n,2,，,则这席应给,A,2,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/(,n,2,+1)，,应计算,r,B,(,n,1,+,1,n,2,),应计算,r,A,(,n,1,n,2,+1),若,r,B,(,n,1,+1,n,2,),p,2,/,n,2,问：,p,1,/,n,1,r,A,(,n,1,n,2,+1),则这席应给,B,当,r,B,(,n,1,+1,n,2,),车身的平均长度,15,英尺,(=4.6米),“2,秒准则”与“,10,英里,/,小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,常数,反应距离,制动距离,常数,假 设 与 建 模,1.,刹车距离,d,等于反应距离,d,1,与制动距离,d,2,之和,2.,反应距离,d,1,与车速,v,成正比,3.,刹车时使用最大制动力,F,，,F,作功等于汽车动能的改变,;,F d,2,=,m v,2,/2,F,m,t,1,为反应时间,且,F,与车的质量,m,成正比,反应时间,t,1,的经验估计值为,0.75,秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.06,计算刹车距离、刹车时间,车速,(,英里,/,小时,)(,英尺,/秒),实际刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,20,29.3,42（44,）,39.0,1.5,30,44.0,73.5（78,）,76.6,1.8,40,58.7,116（124,）,126.2,2.1,50,73.3,173（186,）,187.8,2.5,60,88.0,248（268,）,261.4,3.0,70,102.7,343（372,）,347.1,3.6,80,117.3,464（506,）,444.8,4.3,“2,秒准则”应修正为“,t,秒准则”,模 型,车速,(,英里,/,小时,),刹车时间,（秒）,20,1.5,30,1.8,40,2.1,50,2.5,60,3.0,70,3.6,80,4.3,车速（英里,/,小时）,010,1040,4060,6080,t,（,秒）,1,2,3,4,2.5,划艇比赛的成绩,赛艇,2000,米成绩,t,(,分),种类 1 2 3 4 平均,单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21,双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88,四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32,八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84,艇长,l,艇宽,b,(,米)(米),l,/,b,7.93 0.293 27.0,9.76 0.356 27.4,11.75 0.574 21.0,18.28 0.610 30.0,空艇重,w,0,(kg),浆手数,n,16.3,13.6,18.1,14.7,对四种赛艇（,单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,l,/,b,w,0,/,n,基本不变,问题分析,前进阻力,浸没部分与水的摩擦力,前进动力,浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,划浆,功率,赛艇,速度,赛艇,速度,前进,动力,前进,阻力,浆手数量,艇,重,浸没,面积,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1,）艇形状相同,(,l/b,为常数),w,0,与,n,成正比,2）,v,是常数，阻力,f,与,sv,2,成正比,符号：艇速,v,浸没面积,s,浸没体积,A,空艇重,w,0,阻力,f,浆手数,n,浆手功率,p,浆手体重,w,艇重,W,艇的静态特性,艇的动态特性,3）,w,相同，,p,不变，,p,与,w,成正比,浆手的特征,模型建立,f,sv,2,p,w,v,(,n/s,),1/3,s,1/2,A,1/3,A,W,(=,w,0,+,nw,),n,s,n,2/3,v,n,1/9,比赛成绩,t,n,1/9,np,fv,模型检验,n,t,1 7.21,2 6.88,4 6.32,8 5.84,最小二乘法,利用,4次国际大赛冠军的平均成绩对模型,t,n,1/9,进行检验,t,n,1,2,4,8,7.21,6.88,6.32,5.84,与模型巧合！,问题,甲有物品,X,乙有物品,Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,y,x,p,.,用,x,y,分别表示甲,(乙),占有,X,Y,的数量。设交换前甲占有,X,的数量为,x,0,乙占有,Y,的数量为,y,0,作图：,若不考虑双方对,X,Y,的,偏爱，则矩形内任一点,p,(,x,y,),都是一种交换方案：甲占有,(,x,y,)，,乙占有,(,x,0,-,x,y,0,-,y,),x,y,y,o,0,x,o,2.6,实物交换,x,y,y,o,y,1,y,2,0,x,1,x,2,x,o,p,1,p,2,.,.,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有,(,x,1,y,1,),与占有,(,x,2,y,2,),具有同样的满意程度，即,p,1,p,2,对甲是无差别的，,M,N,将,所有与,p,1,p,2,无差别的点连接起来，得到一条,无差别曲线,MN,线上各点的满意度相同,线的形状反映对,X,Y,的偏爱程度，,N,1,M,1,p,3,(,x,3,y,3,),.,比,MN,各点满意度更高的点如,p,3,，,在另一条无差别曲线,M,1,N,1,上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,p,1,.,p,2,.,c,1,y,0,x,f,(,x,y,)=,c,1,无差别曲线族的性质：,单调减,(,x,增加,y,减小,),下凸,(,凸向原点,),互不相交,在,p,1,点占有,x,少、,y,多，宁愿以较多的,y,换取较少的,x,;,在,p,2,点占有,y,少、,x,多，就要以较多的,x,换取较少的,y,。,甲的无差别曲线族记作,f,(,x,y,)=,c,1,c,1,满意度,（,f,等满意度曲线）,x,y,O,g,(,x,y,)=,c,2,c,2,乙的无差别曲线族,g,(,x,y,)=,c,2,具有相同性质（形状可以不同）,双方的交换路径,x,y,y,o,O,x,o,f,=,c,1,O,x,y,g,=,c,2,乙的无差别曲线族,g,=,c,2,(,坐标系,x,O,y,且反向）,甲的无差别曲线族,f,=,c,1,A,B,p,P,双方满意的交换方案必在,AB,（,交换路径）上,因为在,AB,外的任一点,p,(,双方,),满意度低于,AB,上的点,p,两族曲线切点连线记作,AB,A,B,p,交换方案的进一步确定,交换方案,交换后甲的占有量,(,x,y,),0,x,x,0,0,y,y,0,矩形内任一点,交换路径,AB,双方的无差别曲线族,等价交换原则,X,Y,用货币衡量其价值，设交换前,x,0,y,0,价值相同，则等价交换原则下交换路径为,C,D,(,x,0,0),(0,y,0,),两点的连线,CD,AB,与,CD,的交点,p,设,X,单价,a,Y,单价,b,则等价交换下,ax,+,by,=,s,(,s=ax,0,=by,0,),y,y,o,0,x,o,.,.,x,2.7,核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行,“,核威慑战略,”,，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方,(,战略,),核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的,核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y,=,f,(,x,),甲方有,x,枚导弹，乙方所需的最少导弹数,x,=,g,(,y,),乙方有,y,枚导弹，甲方所需的最少导弹数,当,x,=0,时,y,=,y,0,，,y,0,乙方的,威慑值,x,y,y,0,0,y,0,甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,x,1,x,0,y,1,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),x,y,0,y,0,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),乙安全区,甲安全区,双方,安全区,P,平衡点,(,双方最少导弹数,),乙安全线,精细模型,乙方,残存率,s,甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,sx,个基地未摧毁，,y,x,个