统计物理第八章

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,第,三章,玻,色统计和费米统计,统计物理学讲义,第三章 近独立粒子的最盖然分布,热力学量的统计表达式,弱简并理想玻色和费米气体,玻色,爱因斯坦凝聚,光子气体,金属中的自由电子气体,3.1,热力学量的统计表达式,1,、玻色系统,巨配分函数,平均粒子数,内能,广义力,熵,玻耳兹曼关系,2,、费米系统,3.1,热力学量的统计表达式,简并气体：不满足非简并条件的气体。,分别用玻色分布和费米分布处理。,1,、玻色系统,巨配分函数,系统的平均粒子数,内能,内能：系统中粒子无规运动总能量的统计平均值。,广义力,广义力：外界对系统的广义作用力,Y,是 的统计平均值。,熵,熵,玻耳兹曼关系,玻耳兹曼关系,玻耳兹曼关系,第一章推导结果：,注意这里是玻色系统的微观状态数,B.E.,2,、费米系统,巨配分函数,前面得到的热力学量的统计表达式完全适用,求解热力学量一般过程,知道粒子的能级和能级的简并度,计算求和,求得巨配分函数的对数作为,y,的函数,求得理想玻色（费米）系统的基本热力学函数,确定系统的全部平衡性质,巨热力势,以,T,、,V,、,为自变量的特性函数是巨热力势,3.2,弱简并理想玻色气体和费米气体,弱简并即气体：虽小，但不可忽略。,初步显示玻色气体和费米气体的差异。,有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。,不考虑分子的内部结构，只有平动能量。,3.2,弱简并理想玻色气体和费米气体,在体积,V,内，在,到,+d,的能量范围内，分子可能的微观状态数为：,g,：由粒子可能具有自旋而引入的简并度。,3.2,弱简并理想玻色气体和费米气体,内能：,系统的总分子数：,可确定拉氏乘子,3.2,弱简并理想玻色气体和费米气体,小，是一个小量,3.2,弱简并理想玻色气体和费米气体,3.2,弱简并理想玻色气体和费米气体,可将,U,第二项中的 用,0,级近似，即用玻耳兹曼分布的结果：,例题,8.3:,求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵,解：弱简并理想费米（玻色）气体的内能,利用理想气体压强与内能的关系,可以直接求得弱简并气体的压强为,n=N/V,粒子数密度,例题,弱简并气体的定容热容量为：,热力学中熵的积分表达式,极限条件下,弱简并气体趋于经典理想气体,例题,理想气体的熵,1,、玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度,T,C,2,、玻色爱因斯坦凝聚的内能和热容量,3,、,相变,3.3,玻色,爱因斯坦凝聚,3.3,玻色,爱因斯坦凝聚,微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响,:,玻色子将向基态能级转移,玻色爱因斯坦凝聚,玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度,T,C,N,个全同、近独立玻色子系统，粒子自旋为,0,，温度为,T,，体积为,V,：,a,l,0,化学势,为温度,T,及粒子数密度,n,的函数。,在,n,给定时，,T,越小则要求,值越高，即,|,|,越小。,温度降低，化学势升高，临界温度,T,C,时，,趋于,0,。,玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度,T,C,玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度,T,C,T,T,C,时，,粒子都处在激发态，,=,0,的粒子数可忽略。,T,T,C,时，,0,的粒子数是很大的数值，不可忽略。,玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度,T,C,温度为,T,时处在最低能级,0,的粒子数密度为,玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度,T,C,玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制；,绝对零度下玻色粒子将全部处在,0,的最低能级。,T,T,C,时：宏观量级的粒子在能级,0,凝聚，称为,玻色爱因斯坦凝聚,，简称玻色凝聚。,T,C,为,凝聚温度,。,凝聚在,0,的粒子集合称为玻色凝聚体，,能量、动量、熵为,0,。对压强就没有贡献。,玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度,T,C,玻色爱因斯坦凝聚的内能和热容量,在,T,0,的粒子能量的统计平均值：,T,T,C,，,3Nk/2,玻色爱因斯坦凝聚的内能和热容量,相变,沸点是,4.2K,液相在,发生相变，称为,相变,由正常液态变为超流性。,热容量随温度的变化如图,8.3,所示,计算得到,T,C,=3.13K,。,相变,想玻色气体出现,凝聚的临界条件,出现凝聚体的条件,实现玻色凝聚的方法：降低温度；,增加气体粒子数密度。,相变,物质,T,C,原子数目,(,个,),原子密度,(,个,/cm,3,),87,Rb,170,nK,10,3,2.6,10,12,23,Na,2,K,5,10,5,10,14,7,Li,400nK,10,3,10,12,3.4,光子气体,根据玻色分布讨论平衡辐射问题。,光子数不守恒。,玻色统计的重要应用。,3.4,光子气体,受热的物体会辐射电磁波，称为,热辐射,。,平衡辐射,：一般情形下热辐射的强度和强度按频率的分布与辐射体的温度和性质都有关。如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的特性将只取决于温度，与辐射体的其它特性无关，称为平衡辐射。,黑体辐射：,一个封闭的空窖，空窖保持一定的温度,T,。窖壁将不断向空窖发射并吸收电磁波，窖内辐射场与窖壁达到平衡后，二者具有共同的温度，显然空窖内的辐射就是平衡辐射。,3.4,光子气体,热辐射（热力学）：,平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关；,内能密度与绝对温度的四次方成正比。,吉布斯函数,G=U-,TS+pV,=0,3.4,光子气体,平衡辐射（经典统计）：,单色平面波的电场分量,:,波动方程,:,3.4,光子气体,=,ck,3.4,光子气体,在体积,V,内，在,d,k,x,d,k,y,d,k,z,的波矢范围内，辐射场的振动自由度数,(,两个偏振方向,),在体积,V,内，在,+d,的圆频率范围内，辐射场的振动自由度数,=,ck,3.4,光子气体,根据能量均分定理，温度为,T,时，每一振动自由度的平均能量为,体积,V,内，在,d,范围内平衡辐射的内能为,瑞利,-,金斯公式,3.4,光子气体,低频范围符合得很好，高频（紫外）范围有尖锐歧异。,问题,：,a.,内能发散,。热力学：,b.,定容,热容量发散,，,不能,达到,热平衡,。,经典电动力学,无穷多个振动自由度，,经典统计能量均分定理,每个振动自由度能量,kT,。,3.4,光子气体,问题,：,热力学理论：,平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关；,内能密度与绝对温度的四次方成正比。,能量均分定理：,内能和频率在低频范围与实验符合，在高频（紫外）范围与实验不符合；,有限温度下内能和热容量发散，辐射场不可能与其它物体达到热平衡。,3.4,光子气体,根据粒子观点，空窖内的辐射场看作光子气体。,空窖辐射分解为无穷多个单色平面波的叠加。,具有一定的波矢,k,和圆频率,的单色平面波与具有一定的动量,p,和能量,的光子相应。,遵从德布罗意关系。,平衡辐射（玻色统计）,3.4,光子气体,光子数不守恒,E,是常数，,N,不,是常数,引进一个拉氏乘子,：,光子气体化学势为零,光子的自旋量子数为,1,，自旋在动量方向的投影可取 ，相当于左右圆偏振。,3.4,光子气体,在体积为,V,的空窖内，在,p,到,p+dp,的动量范围内，光子的量子态数为：（光子自旋有两个投影）,在体积为,V,的空窖内，在,到,+d,的动量范围内，光子的量子态数为：,平均光子数为,3.4,光子气体,辐射场的内能为：,所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。,量子物理学的起点,。,普朗克公式,3.4,光子气体,普朗克公式在低频的极限结果：,普朗克公式在高频的极限结果：,3.4,光子气体,普朗克公式的物理图像：,空窖内的辐射场 单色平面波 振动自由度 具有无穷多个振动自由度的力学系统。振动自由度的能量：,具有一定圆频率、波矢和偏振的平面波与具有一定能量、动量和自旋投影的光子状态相应，当辐射场某一平面波处在量子数为,n,的状态时，相当于存在状态相应的,n,个光子。,3.4,光子气体,温度为,T,的平衡状态下,n,的平均值,波动和粒子图像统一：,粒子观点：平均光子数,波动观点：量子数,n,的平均值,低频：,能量准连续，经典统计适用,高频：,自由度则被冻结在基态，,n,0,3.4,光子气体,求空窖辐射的内能：,平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比。热力学：斯特藩玻耳兹曼定律,3.4,光子气体,辐射场内能密度随,分布的极大值,m,：,m,与温度成正比,维恩位移定律,3.4,光子气体,光子气体的热力学函数：,3.4,光子气体,3.4,光子气体,热力学平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：,根据泻流概念，可求得光子气体的辐射通量密度：,3.5,金属中的自由电子气体,满足非简并性条件：,定域粒子，玻色子，费米子，遵从玻耳兹曼分布,弱简并：,虽小，但不可忽略,强简并：,3.5,金属中的自由电子气体,经典“金属”：,把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。,金属的高导电率和高热导率说明金属中自由电子的存在。,问题：,室温下，金属中自由电子的热容量与晶格振动的热容量相比，可以忽略不计，而不是,3k/2,。,某些金属,Al,，,In,正霍尔系数，空穴（正电子）导电,3.5,金属中的自由电子气体,金属中的自由电子形成强简并的费米气体。,以金属,Cu,为例，考察其自由电子非简并，弱简并，强简并性？,密度,8.9 g.cm,-3,原子量,63,，电子构型,3d,10,4s,1,，如果一个,Cu,原子贡献一个自由电子：,电子质量,T,300 K,时，,n,3,=3400,。,强简并的费米气体,3.5,金属中的自由电子气体,费米统计：温度为,T,，处在能量,量子态上的平均电子数,电子自旋在动量方向的投影,在体积,V,内，在,能量范围内，电子的,量子态数为,在体积,V,内，在,能量范围内，电子数为,3.5,金属中的自由电子气体,在给定电子数,N,、温度,T,和体积,V,时，化学势,化学势,是温度,T,和电子密度,N/V,的函数,T,0K,时，,(0),：,0K,电子气体化学势,(0),是,0K,时电子,最大能量。,f(E),3.5,金属中的自由电子气体,(0),也常称为费米能级，以 表示。,费米动量,P,f,是,0K,是电子的最大动量,相应的速率,v,m,称为费米速率,Cu,的费米能级：,费米温度：,3.5,金属中的自由电子气体,0K,时电子气体的内能：,0K,时电子的平均能量：,0K,时电子气体的压强：,3.5,金属中的自由电子气体,0K,时,Cu,得电子气体的压强,电子气体的简并压：,泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果。,在金属中被电子与离子的静电吸力所补偿。,3.5,金属中的自由电子气体,在绝对零度下：,玻色气体：粒子能量、动量、压强为零；,费米气体：能量、动量、压强很高；,二者微观状态虽然完全不同，但是完全确定；,由玻耳兹曼关系 熵都为零；,符合热力学第三定律。,3.5,金属中的自由电子气体,T0,时，金属中自由电子的分布：,D(E)dE,3.5,金属中的自由电子气体,说明：,（,1,）函数 按指数规律随,变化，只在,附近数量级为,kT,的范围内，电子分布与,0K,分布有差异。,理解：,0K,时电子占据,0,到,(0),所有量子态；,升温后热激发电子跃迁到能量较高的未被占据的状态。但低能态的电子跃迁的可能极小。,3.5,金属中的自由电子气体,（,2,）,电子气体的分布与,0K,时的分布差异不大，,(T),与,(0),接近。,因此费米气体的强简并条件也往往表达为,TT,F,3.5,金属中的自由电子气体,（,3,）只有能量在,附近、量级为,kT,的范围内的电子对热容量有贡献。,估计电子气体的热容量：,N,有效,表示能量在,附近,kT,范围内对热容量有贡献的有效电子数,将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为,3k/2,则金属中自由电子对热容量的贡献为：,3.5,金属中的自由电子气体,铜：,