递归与非递归程序的转换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,递归程序,非递归程序,张仕,0 递归的基本概念,递归：在定义一个过程或函数时，如果出现调用本过程或本函数的成分，则称为递归。,直接递归：在定义一个过程或函数时，出现直接调用本过程或本函数成分的情况。,直接递归：在定义一个过程或函数时，出现间接调用本过程或本函数成分的情况。,0 递归的基本概念,function_1(X), if( X) X*function_1(X-1);,else return;,Function_1、function_2实现了什么功能？,还有哪些常见的递归函数？,function_2(X), if( X) function_3(X);,else return;,function_3(X), return X*function_2(X-1);,0 递归的基本概念,在什么情况下用到递归方法,给出的定义是递归的：许多数学公式、数列的定义是递归的，这是可以直接把递归定义转换为递归算法：例如Fabonacci数列。,数据结构是递归的：常见的有树、链表等数据结构的定义。对于这类数据结构，常采用递归的方法进行操作。例如链表的遍历、树的遍历操作。,问题求解的方法是递归的。例如汉诺塔问题，其求解方法是递归的。,1 递归算法的设计,递归模型：递归模型是递归算法的抽象,它反映递归问题的递归结构,例如,前面的递归算法对应的递归模型如下：,fun(0)=1 n=0(1) fun(n)=n*fun(n-1)n0(2),其中：第一个式子给出了递归的终止条件,我们称之为递归出口；第二个式子给出了fun(n)的值与fun(n-1)的值之间的关系，我们称之为递归体。,1 递归算法的设计,一般地,一个递归模型是由递归出口和递归体两部分组成, 前者确定递归到何时结束, 后者确定递归求解时的递推关系。,递归出口的一般格式如下：,f(s1)=m1,这里的s1与m1均为常量,有些递归问题可能有几个递归出口。,1 递归算法的设计,递归体的一般格式如下：,f(s,n+1,)=g(f(s,i,),f(s,i+1,),f(s,n,),c,j,c,j+1,c,m,),其中,n,i,j,m均为正整数。,s,n+1,是一个递归“大问题”,s,i,s,i+1,s,n,为递归“小问题”,c,j,c,j+1,c,m,是可以用非递归方法直接解决的问题,g是一个非递归函数,可以直接求值。,1 递归算法的设计,递归思路,实际上，递归思路是把一个不能或不好直接求解的“,大问题,”转化成,一个或几个“小问题”,来解决，再把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题”来解决，如此分解，直至每个“小问题”都可以直接解决(此时分解到递归出口)。,但递归分解不是随意的分解，,递归分解要保证“大问题”与“小问题”相似，,即求解过程与环境都相似。并且有一个分解的终点。从而使问题可解。,1 递归算法的设计,逐步分解和组合求值的过程,1 递归算法的设计,斐波那契数：一个大问题分解为多个小问题的过程,1 递归算法的设计,算法设计：先将整个问题划分为若干个子问题，通过分别求解子问题，最后获得整个问题的解。,而这些子问题具有与原问题相同的求解方法，于是可以再将它们划分成若干个子问题，分别求解，如此反复进行，直到不能再划分成子问题，或已经可以求解为止。,这种自上而下将问题分解、求解，再自上而下引用、合并，求出最后解答的过程称为递归求解过程。,这是一种分而治之的算法设计方法。,1 递归算法的设计,递归设计的步骤如下：,(1)对原问题f(s)进行分析,假设出合理的“较小问题”f(s)(与数学归纳法中假设n=k-1时等式成立相似)；,(2)假设f(s)是可解的,在此基础上确定f(s)的解,即给出f(s)与f(s)之间的关系(与数学归纳法中求证n=k时等式成立的过程相似)；,(3)确定一个特定情况(如f(1)或f(0)的解,由此作为递归出口(与数学归纳法中求证n=1时等式成立相似)。,1 递归算法的设计,课堂练习：,采用递归算法求实数数组A0.n-1中的最小值。,基本步骤：,先定义清楚问题；,写出递归模型；,转换为算法。,2 为什么：递归,非递归？,引例,求如下函数值,Sum(1.X)=X+Sum(1.X-1) X0,Sum(1.X)=0 X=0,它的程序？,2 为什么：递归,非递归？,利用递归求该函数,#include stdafx.h,#include ,using namespace std;,int _tmain(int argc, _TCHAR* argv),cout,add(5000);,return 0;,int add(int x),if(x=0) return 0;,return x+add(x-1);,2 为什么：递归,非递归？,利用非递归(迭代)求该函数,#include stdafx.h,#include ,using namespace std;,int _tmain(int argc, _TCHAR* argv),cout0; i-),result+=x;,return result;,2 为什么：递归,非递归？,它们的运行结果？,递归 迭代,X=10,X=100,X=1000,X=10000,X=100000, ,为什么？,2 为什么：递归,非递归？,利用递归求该函数,#include stdafx.h,#include ,using namespace std;,int _tmain(int argc, _TCHAR* argv),cout,add(5000);,return 0;,int add(int x),char a1000;,if(x=2,讨论直接使用栈保存中间结果，从而将递归算法转化为非递归算法的过程。以求N!为例,其递归模型有一个递归体和一个递归出口两个式子,分别称为(1)式和(2)式。,3 递归,非递归的,转换,方法1-表述2,设计一个栈,其结构如下：,struct,int vn; /*保存n值*/,int vf; /*保存fun1(n)值*/,int tag; /*标识是否求出fun1(n)值,1:未求出,0:已求出*/, StMaxSize;/*定义简单数组栈*/,3 递归,非递归的,转换,方法1-表述2,计算fun1(5)之值的过程如下：,将(5,*,1)进栈;,while (栈不空), if (未计算出栈顶元素的vf值即Sttop.tag=1),if (栈顶元素满足(1)式),求出对应的Sttop.vf值, 置Sttop.tag=0;,else /*栈顶元素满足(2)式*/ 将(Sttop.vn-1,*,1)进栈;,else if (已计算出栈顶元素的vf值即Sttop.tag=0),显然栈顶元素由次栈顶元素通过(2)式分解得到的，回过来,由栈顶元素的vf值计算出次栈顶元素的vf值并退栈;,if (栈中只有一个已求出vf值的元素) 退出循环;,St0.vf即为所求的fun1(n)值;,3 递归,非递归的转换方法1-表述2,3 递归,非递归的转换方法1-表述2,对应的非递归fun1算法如下：,int fun1(int n), top+; /*初值进栈*/,Sttop.vn=n; Sttop.tag=1;,while (top-1) /*栈不空时循环*/, if (Sttop.tag=1) /*未计算出栈顶元素的vf值*/, if (Sttop.vn=0)/*(1)式*/, Sttop.vf=1;,Sttop.tag=0;,else/*(2)式*/, top+;,Sttop.vn=Sttop-1.vn-1; Sttop.tag=1;,3 递归,非递归的转换方法1-表述2,else if (Sttop.tag=0) /*已计算出vf值*/, Sttop-1.vf=Sttop-1.vn*Sttop.vf; /*(2)式*/,Sttop-1.tag=0;,top-;,/*栈中只有一个已求出vf的元素时退出循环*/,if (top=0 & Sttop.tag=0),break;,return(Sttop.vf);,3 递归,非递归的转换方法1-表述2,练习,以N=5为例，完整的在纸上模拟整个算法的运算过程，以此加深对表述2的理解。,以表述2方法，求斐波那契数的栈模拟递归算法。,其中，斐波那契数（,Fobanacci,）定义如下：,f(1)=1,f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中,n=2,3 递归,非递归的转换方法2,利用栈保存参数：该方法通常以栈为保存运行中间数据的媒介。,例：二叉树的中序遍历。,DFS( T ),DFS(T-lchild);,Visit( T );,DFS(T-rchild);,3 递归,非递归的转换方法2,Status InOrder(BiTree root,Status(* Visit)(ElemType e),),/*中序遍历二叉树, root指向二叉树(或某一子树) */, if (root! =NULL), if( InOrder(root -LChild, visit) /*遍历左子树*/,if(Visit(root -data) /*访问根结点*/,if(InOrder(root -RChild, visit,) /*遍历右子树*/,return OK;,return Error;,else return OK;,3 递归,非递归的转换方法2,利用栈来模拟整个遍历过程，再根据遍历写出算法。,3 递归,非递归的转换方法2,void InOrder（BiTree root）,/* 中序遍历二叉树的非递归算法 */, InitStack (S); p=root;,while(p! =NULL | !IsEmpty(S), if (p! =NULL) /* 根指针进栈， 遍历左子树 */, Push(S, p); p=p-LChild; ,else /*根指针退栈， 访问根结点， 遍历右子树*/, Pop(S, p); Visit(p-data); p=p-RChild; ,/end of while,3 递归,非递归的转换方法3,利用迭代消除递归：通过分析，跳过分解过程，直接用循环结构的算法实现求值过程。,斐波那契数（,Fobanacci,）定义如下：,f(1)=1,f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中,n=2,从中找出循环求值。,3 递归,非递归的转换方法3,求解Fibonacci数列的算法如下：,int Fib(int n), int i,f1,f2,f3;,if (n=1 | n=2) return(n);,f1=1;f2=2;,for (i=3;i=n;i+), f3=f1+f2;,f1=f2;f2=f3;,return(f3);,3 递归,非递归的转换方法3,利用迭代求解的难点：要很好地,理解整个算法,的思想，然后重新设计一个合理的迭代过程。,0-1背包问题,0-1,背包问题：,给定,n,种物品和一背包。物品,i,的重量是,w,i,，其价值为,v,i,，背包的容量为,C,。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大,?,0-1,背包问题是一个特殊的整数规划问题。,价值 体积,3 递归,非递归的转换方法3,建立模型分析：定义m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，n时0-1背包问题的最优值。可以建立计算m(i，j)的递归式如下。,3 递归,非递归的转换方法3,没有物品时,练习：,1 理解0-1背包问题求解的基本思想；,2 按照上述分析结果写出递归算法；,3 通过对下例求解过程模拟，理解算法求解过程；,n=5，c=10,w=2，2，6，5，4，v=6，3，5，4，6。,4 把递归算法改写为迭代算法。,4 小结,本章基本学习要点如下：,(1)理解递归的定义和递归模型。,(2)重点掌握递归的执行过程。,(3)掌握递归设计的一般方法。,(4)掌握消除递归的基本方法。,(5)灵活运用递归算法解决一些较复杂应用问题。,