教育专题：第18讲　等腰三角形与直角三角形

宇轩图书,目 录,考点知识精讲,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,中考典例精析,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,考点训练,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,举一反三,宇轩图书,上一页,下一页,首 页,第,18,讲等腰三角形与直角三角形,考点知识精讲,中考典例精析,考点训练,举一反三,考点一 等腰三角形,1,概念及分类,有,的三角形叫等腰三角形；有,的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为,的等腰三角形和,_,的等腰三角形,2,等腰三角形的性质,(1),等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角,；,(2),等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相,，简称,“,三线合一,”,；,三边相等,腰和底不相等,腰和底相等,相等,重合,两边相等,(3),等腰,(,非等边,),三角形是轴对称图形，它有一条对称轴,(4),等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足,0,90,；顶角满足,0,180,.,3,等腰三角形的判定,(1),有两条边相等的三角形是等腰三角形；,(2),有,相等的三角形是等腰三角形,温馨提示：,应用性质,“,三线合一,”,时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直,.,两角,考点二 等边三角形的性质与判定,1,性质：,(1),等边三角形的内角都相等，且等于,60,；,(2),等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都,“,三线合一,”,，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴,2,判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形,温馨提示：,（,1,）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形,.,（,2,）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一,.,考点三 线段的中垂线,1,概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线,2,性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等,3,判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合,考点四 直角三角形的性质、判定,1,性质,(1),直角三角形的两个锐角,；,(2),勾股定理：,a,2,b,2,c,2,(,在,Rt,ABC,中，,C,90,),；,(3),在直角三角形中，如果有一个锐角等于,30,，那么它所对的直角边等于斜边的,；,(4),在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为,；,(5),直角三角形,上的中线等于斜边的一半,互余,一半,30,斜边,2,判定,(1),有一个角是,的三角形是直角三角形；,(2),勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,a,2,b,2,c,2,，那么这个三角形是直角三角形；,(3),如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为,三角形；,(4),在一个三角形中,如果有两个角互余,那么这个三角形是,三角形,直角,直角,直角,温馨提示：,（,1,）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法,.,（,2,）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数,.,（,3,）若,a,、,b,、,c,为一直角三角形的三边长，则以,ma,、,mb,、,mc(m,0),为三边的三角形也是直角三角形,.,(1)(2011,呼和浩特,),如果等腰三角形两边长是,6 cm,和,3 cm,，那么它的周长是,(,),A,9 cm,B,12 cm,C,15 cm,或,12 cm D,15 cm,(2)(2010,东阳,),已知等腰三角形的一个内角为,40,，则这个等腰三角形的顶角为,(,),A,40,B,100,C,40,或,100,D,70,或,50,(3)(2010,长沙,),下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是,(,),(4)(2011,南充,),如图，,ABC,和,CDE,均为等腰直角,三角形，点,B,，,C,，,D,【,点拨,】,本组题主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定,.,【,解答,】(1)D,3,3,6,，,等腰三角形的底边长和腰长分别为,3 cm,和,6 cm,，,它的周长是,6,2,3,15(cm),(2)C,当,40,为底角时，顶角为,100,；,40,也可以为顶角故选,C.,方法总结：,（,1,）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其性质在研究平行四边形、等腰梯形、圆、三角函数等时应用非常广泛，因此应熟练、准确掌握其性质并灵活应用,.,（,2,）,“,等边对等角,”,或,“,等角对等边,”,仅限于在一个三角形中,.,在两个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等,.,2011,芜湖 如图，在梯形,ABCD,中，,DCAB,，,AD,BC,，,BD,平分,ABC,，,A,60,，过点,D,作,DEAB,，,过点,C,作,CFBD,，垂足分别为,E,，,F,，连接,EF,，求证：,DEF,为等边三角形,【,点拨,】,先证,F,为,BD,的中点，从而得到,DF,EF,BF.,再由,BDE,60,，可得,DEF,为等边三角形,DCAB,，,BDC,ABD,30,，,CBD,CDB,，,CB,CD.,CFBD,，,F,为,BD,的中点,又,DEAB,，,DF,BF,EF.,由,ABD,30,，得,BDE,60,，,DEF,为等边三角形,1,已知等腰三角形的两条边长分别是,7,和,3,则第三条边的长是,(,),A,8,B,7,C,4,D,3,答案：,B,2,如图，在等腰三角形,ABC,中，,AB,AC,，,A,20,.,线段,AB,的垂直平分线交,AB,于,D,，交,AC,于,E,，连接,BE,，则,CBE,等于,(,),A,80,B,70,C,60,D,50,答案：,C,3.,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,30,则顶角度数为,(,),A,60,B,120,C,60,或,150,D,60,或,120,答案：,D,4,下面给出的几种三角形：,(1),有两个角为,60,的三角形；,(2),三个外角都相等的三角形；,(3),一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；,(4),有一个角为,60,的等腰三角形其中一定是等边三角形的有,(,),A,4,个,B,3,个,C,2,个,D,1,个,答案：,B,5,如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，,1,30,，,2,50,，则,3,的度数等于,(,),A,50,B,30,C,20,D,15,答案：,C,6,如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,BAC,40,，分,别以,AB,、,AC,为边作两个等腰直角,ABD,和,ACE,，使,BAD,CAE,90,.,(1),求,DBC,的度数；,(2),求证：,BD,CE.,答案：,(1)DBC,115,(2),先证,DABEAC,，即得,BD,CE,等腰三角形与直角三角形,训练时间：,60,分钟,分值：,100,分,一、选择题,(,每小题,4,分，共,44,分,),1,(2012,中考预测题,),等腰三角形的一条边长等于,6,，另一条边长等于,3,，则此等腰三角形的周长是,(,),A,9,B,12,C,15,D,12,或,15,【,解析,】,当,6,为腰，,3,为底时，,6,36,，此时周长为,15,；当,6,为底，,3,为腰时，,3,3,6,，不能组成三角形,【,答案,】C,2,(2012,中考预测题,),在,ABC,中，,AB,AC,，点,D,在,AC,上，且,BD,BC,AD,，则,A,等于,(,),A,30,B,40,C,45,D,36,【,解析,】,AD,BD,，,ABD,A,.,BD,BC,，,BCD,BDC,A,ABD,2,A,.,AB,AC,，,ABC,C,2,A,，,A,ABC,C,180,，,A,2,A,2,A,180,，,A,36,.,【,答案,】D,3,(2011,铜仁,),下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是,(,),A,等腰三角形两底角相等,B,等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合,C,等腰三角形是中心对称图形,D,等腰三角形是轴对称图形,【,解析,】,等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形,【,答案,】C,4,(2010,中考变式题,),下列四组线段中，可以构成直角三角形的是,(,),A,1,2,3,B,2,3,4,C,3,4,5,D,4,5,6,【,解析,】3,2,4,2,5,2,，,3,、,4,、,5,构成直角三角形,【,答案,】C,5,(2012,中考预测题,),等腰,ABC,的周长为,21,，底边,BC,5,，,AB,的垂直平分线,DE,交,AB,于点,D,，交,AC,于点,E,，则,BEC,的周长为,(,),A,13,B,14,C,15,D,16,【,解析,】,由等腰,ABC,的周长为,21,，底边,BC,5,，可求出,AB,AC,8.,DE,垂直平分,AB,，,AE,BE,.,C,BEC,BC,BE,EC,BC,AE,EC,BC,AC,5,8,13.,【,答案,】A,6,(2010,中考变式题,),如图，在,Rt,ABC,中，,C,90,，斜边,AB,的垂直平分线交,AB,于点,D,、交,BC,于点,E,，,AE,平分,BAC,，那么下列关系式中不成立的是,(,),A,B,CAE,B,DEA,CEA,C,B,BAE,D,AC,2,EC,【,解析,】,由,DE,垂直平分,AB,得,EA,EB,，,B,BAE,，又,AE,平分,BAC,，,AE,平分,BAC,，,EAB,CAE,，,B,BAE,CAE,，因此,A,、,C,都成立,AE,平分,BAC,，,EAB,CAE,，又,ED,AB,，,EC,AC,，,DEA,CEA,(,等角的余角相等,),，,B,成立,【,答案,】D,7,(2010,中考变式题,),如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形,A,、,B,、,C,、,D,的边长分别是,3,、,5,、,2,、,3,，则最大正方形,E,的面积是,(,),A,13,B,26,C,47,D,94,【,解析,】,S,E,S,A,S,B,S,C,S,D,3,2,5,2,2,2,3,2,47.,【,答案,】C,8,(2010,中考变式题,),一架长,25 dm,的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端,7 dm,，如果梯子的顶端沿墙下滑,4 dm,，那么梯足将滑出,(,),A,9 dm,B,15 dm,C,5 dm,D,8 dm,【,答案,】D,9,(2010,中考变式题,),已知等边,ABC,的边长为,a,，则它的面积是,(,),【,答案,】D,10,(2010,中考变式题,),如图，,ABC,和,DCE,都是边长为,4,的等边三角形，点,B,、,C,、,E,在同一条直线上，连接,BD,，则,BD,的长为,(,),【,答案,】D,11,(2012,中考预测题,),P,是,Rt,ABC,斜边,AB,上任意一点,(,A,、,B,两点除外,),，过,P,点作一直线，使截得的三角形与,Rt,ABC,相似，这样的直线可以作,(,),A,1,条,B,2,条,C,3,条,D,4,条,【,解析,】,过点,P,分别作两直角边的平行线，得,2,条直线；过点,P,作斜边,AB,的垂线，得到第,3,条直线,【,答案,】C,二、填空题,(,每小题,4,分，共,16,分,),12,(2010,中考变式题,),在,Rt,ABC,中，,ACB,90,，,D,是,AB,的中点，,CD,4 cm,，则,AB,_cm.,【,解析,】,根据,“,在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半,”,得斜边,AB,2,CD,2,4,8(cm),【,答案,】8,13,(2011,新疆,),如图所示，,ABC,是等边三角形，,AB,4 cm,，则,BC,边上的高,AD,等于,_ cm.,14,(2011,宁波,),如图所示，在,ABC,中，,AB,AC,，