《数值分析》习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值分析,习题课,I,误差与有效数字,二分法、牛顿迭代法,不动点迭代与收敛阶,典型例题与习题,具有,n,位有效数字,则绝对误差满足,2/18,相对误差满足,如果一个浮点数,1.,设,x,*,是,f,(,x,)=0,在,a,b,内的唯一根,且,f,(,a,),f,(,b,)0,r,0,使得,则称,数列,x,n,r,阶收敛,.,且对任意,x,0,a,b,迭代格式,产生的序列,x,n,收敛到不动点,x,*,误差满足,4/18,数列加速收敛原理,定理,2.6,设,x,*,是,的不动点,且,而,则,p,阶收敛,5/18,例,1.,设,x,1,=1.21,x,2,=3.65,x,3,=9.81,都具有三位有效位数,试估计数据,：,x,1,(,x,2,+,x,3,),的误差限,。,解,：,由,|,e,(,x,1,)|0.510,-2,，|,e,(,x,2,)|0.510,-2,，,|,e,(,x,3,)|0.510,-2,所以,|,e,(,x,2,+,x,3,)|10,-2,|,e,(x,1,(,x,2,+,x,3,)|,(1.21+0.513.46)10,-2,=7.9410,-2,Ex1.,若要,x,1,(,x,2,+,x,3,),的误差限为,0.510,-2,问,数据,x,1,x,2,x,3,应该具有几位有效数?,6/18,例2.设计算球体,V,允许其相对误差限为,1%,问测量球半径,R,的相对误差限最大为多少?,解,：,由球体计算公式分析误差传播规律,故当球体,V,的,相对误差限为,1%,时,，,测量球半径,R,的相对误差限最大为,0.33%,。,相对误差传播规律,Ex2.,对,z=f,(,x,y,),若允许其相对误差为,1%,问应该对,x,y,如何限制?,7/18,例,3.,采用迭代法计算 ，取,x,0,=2,(,k=,0,，,1,，,2,，,),若,x,k,具有,n,位有效数字,，,求证,x,k,+,1,具有,2,n,位有效数字,。,8/18,思考：反问题？,1-8,序列,y,n,满足递推关系,y,n,=,10,y,n-,1,1,(,n=,1,2,),若取,y,0,=2 1.41(,三位有效数字,).,递推计算,y,10,时误差有多大,？,计算过程稳定吗,？,解,:,取,x,0,=1.41,则,e,(,x,0,),0.005,e,(,x,n,),=,10,e,(,x,n,-,1,)(,n=,1,2,10,),e,(,x,10,),=,10 e(,x,9,)=10,10,e(,x,0,),|,e,(,x,10,)|,=,10,10,|,e,(,x,0,)|,0.510,8,计算过程不稳定,！,9/18,1-12,利用级数,可计算出无理数,的近似值,。,由于交错级数的部分和数列,S,n,在其极限值上下摆动,，,故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值,|,a,n+,1,|。,试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和,。,解:由部分和,10/18,2-6,应用牛顿迭代法于方程,x,3,a=,0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性,。,解,：,令,f,(,x,)=,x,3,a,，,则牛顿迭代公式,故立方根迭代算法二阶收敛,11/18,例,4.,设,a,为正实数，试建立求,1/,a,的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。,x,n,+,1,=,x,n,(2,a,x,n,),，,(,n=,0,，,1,，,2,),所以,当,|1,a x,0,|1,时，迭代公式收敛,。,解:建立方程,利用牛顿迭代法，得,1,a,x,n,+,1,=(1,a,x,n,),2,整理，得,12/18,例,5.,若,x,*,是,f,(,x,)=0,的二重根,分析牛顿迭代法的收敛性？,解:由于,f,(,x,)=(,x x,*,),2,g,(,x,),Ex.,若,x,*,是,f,(,x,)=0,的,m,重根,试分析牛顿迭代法的收敛性,13/18,练习,1,将割线法修改为单点迭代公式,试,分析该算法的收敛性.,14/18,练习,2,设计多项式乘积(卷积)算法,P,n,(,x,)=,a,1,x,n,+,a,2,x,n,-1,+,a,n,x,+,a,n,+1,P,m,(,x,)=,b,1,x,m,+,b,2,x,m,-1,+,b,m,x,+,b,m,+1,用,a,1,a,2,a,n,a,n,+1,表示,P,n,(,x,),用,b,1,b,2,b,m,b,m,+1,表示,P,m,(,x,),P,n,+m,(,x,),=,c,1,x,n+m,+,c,2,x,n+m,-1,+,c,n,+,m,x,+,c,n,+m,+1,用,c,1,c,2,c,n,+m,c,n,+m,+1,表示,P,n,(,x,),P,m,(,x,),15/18,练习,3,在计算机上对调和级数自左至右做求和计算,当,n,很大时,，,S,n,将不随,n,的增加而增加。试说明原因,。,16/18,练习,4,分析下列方程，确定方程的全部隔根区间,17/18,(1),x,sin,x=,1；(2)sin,x e,-x,=,0；,(3),x=,tan,x,；(4),x,2,e,-x,=0,练习,5,对于复变量,z=x+i y,的复值函数,f,(,z,),应用牛顿迭代公式,时为避开复数运算,令,z,n,=,x,n,+i,y,n,f,(,z,n,),=A,n,+i,B,n,，,f,(,z,n,),=,C,n,+i,D,n,证明,18/18,