06第六章 测量误差的基本知识(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,测绘教研室,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,测绘教研室,中南林业科技大学,第六章 测量误差的基本知识,6-1,误差的来源,6-2,测量误差的分类,6-4,误差传播定律,6-3,评定观测值精度的标准,6-1,误差的来源,6.1.1,误差的定义,6.1.2,误差的来源,Home,6.1.1,误差的定义,return,down,up,误差是指观测值与真值之差，即 。,定义,X,为,真值,，即能代表某个客观事物真正大小的数值；,为,观测值,，即对某个客观事物观测得到的数值；,为观测误差，即,真误差,。,6.1.2,误差的来源,return,down,up,（,1,）,观测者,（,2,）,测量仪器,（,3,）,外界条件,上述观测者、仪器、外界条件三个方面是引起误差的主要原因，因此我们把这三个方面的因素综合起来称为,观测条件,。,等精度观测,：观测条件相同的各次观测，其结果具有同等精度。,非等精度观测,：观测条件不相同的各次观测，其结果具有不同精度。,6-2,测量误差的分类,6.2.1,系统误差,6.2.2,偶然误差,Home,6.2.3,系统与偶然误差的比较,6.2.1,系统误差,down,up,1,、系统误差定义,在相同的观测条件下作一系列观测，如果误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么把这类误差称为,系统误差,。,2,、系统误差特性,（,1,）,同一性,：误差的绝对值保持恒定或按一确定的规律变化。,（,2,）,单向性,：符号不变，总朝一个方向偏离。,（,3,）,累积性,：误差的绝对值随着单一观测值倍数累积。,准确度,：观测值偏离真值的程度。,3,、系统误差的处理方法,（,1,）检校仪器，把系统误差降低到最小程度。,（,2,）加改正数，在观测值中加入系统误差的改正数。,（,3,）采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。,6.2.2,偶然误差,return,down,up,1,、偶然误差定义,在相同的观测条件下作一系列的观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个的误差来看，该列误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为,偶然误差,。,2,、偶然误差的特性,例：对,96,个三角形内角进行独立观测，由于存在观测误差，三角形内角之和,L,不等于理论值,180,，各三角形内角和真误差（观测值减去真值）为：,i,=L,i,-X,（,i=1,、,2,n,），,即,i,=A,i,+B,i,+C,i,-180,三角形闭和差分布规律为：,附：,n,为误差总个数；,d,为,3,，亦称组距；,（,n,i,/n,）,/d,为下图中的每个矩形高。,误差区间,d,为正误差,为负误差,误差个数,n,i,频率,n,i,/n,(,n,i,/n,）,/d,误差个数,n,i,频率,n,i,/n,(,n,i,/n)/d,0,3,19,0.198,0.066,20,0.208,0.069,3,6,13,0.135,0.045,12,0.125,0.042,6,9,8,0.083,0.028,9,0.094,0.031,9,12,5,0.052,0.017,4,0.042,0.014,12,15,2,0.021,0.007,2,0.021,0.007,15,18,1,0.010,0.003,1,0.010,0.003,18,以上,0,0,0,0,0,0,48,0.499,50,0.50,右图中的光滑曲线就是误差的,概率分布曲线,或叫误差分布曲线，在数学中这种曲线称为,正态分布图,，该曲线的方程式为：,式中,f(),称为,分布密度,，,为,标准差,，即测量中的,中误差,。,6.2.2,偶然误差,误差的分布还可以用图形表示。以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，即（,n,i,/n,）,/d,。,f(),称为,分布密度,；,为标准差，即测量中的,中误差,。,6.2.2,偶然误差,return,down,up,2,、偶然误差的的四个特性,：,（,1,）,单峰性,：绝对值小的误差比绝对值大的出现的概率大；,（,2,）,对称性,：绝对值相等的正、负误差出现的概率大致 相等；,（,3,）,有界性,：在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值。,（,4,）,补偿性,：偶然误差的数学期望为零，也就是说偶然误差的理论平均值为零。,6.2.2,偶然误差,return,down,up,偶然误差对观测值的精度 有较大的影响，为提高精度，削弱偶然误差的影响，可作如下的处理：,（,1,）提高仪器的等级。,精度,：观测值的离散程度。,3,、偶然误差的处理方法,粗差,：测量中发生错误，如读错、记错等。,（,2,）进行多余观测，求最可靠值。,6.2.3,系统、偶然误差的比较,return,down,up,系统误差大,偶然误差大,靶子,1,靶子,2,减小系统误差,减小偶然误差,准确度低,精度低,靶子,3,准确度高 精度高,系统误差小、偶然误差小,6-3,评定观测值精度的标准,6.3.1,中误差,6.3.2,相对误差,6.3.3,容许误差,Home,6.3.1,中误差,return,down,up,1,、定义,在同一观测条件下，对同一量,X,进行了,n,次观测，观测值为,l,i,(i=1,2,n),则其,真误差,(,观测值减去真值,),为：,i,=L,i,-X,，,中误差可以按下列公式来定义：,在实际的工作中，,n,为有限值，取近似值，中误差,m,可写,为：,中误差并不等于每个观测值的真误差，而是反映一组真误差,离散程度,的指标。,6.3.1,中误差,return,down,up,V,表示：观测值改正数,n,表示：观测的次数,一般情况下，观测值的真值是不知道的，那么我们可以利用观测值的,改正数,来计算。,例：对同一个三角形用两种不同的仪器分别观测了十次，每次观测的内角和的真误差为：,第一组：,+3,、,-3,、,+4,、,-2,、,0+3,、,-2,、,+1,、,-1,、,0,第二组：,-1,、,0,、,+8,、,+2,、,-,3-,7,、,0,、,+1,、,-2,、,-1,求两组观测值的中误差，并比较其精度。,6.3.1,中误差,down,up,解：,由于,m,1,m,2,说明第一组观测值的离散程度小于第二组，故前者的观测精度高于后者。,6.3.2,相对误差,down,up,把误差的绝对值与观测值之比称为,相对误差,。相对误差的分子应化为,1,，即用,1/N,表示。,相对误差：,相 对 中 误 差,相 对 真 误 差,相对容许误差,相对中误差分别为：,K,1,=0.02/100=1/5000,例如，分别丈量,100,米和,200,米的两段距离，中误差均为,2cm,，,比较两者的观测成果质量？,K,2,=0.02/200=1/10000,相对误差不能评定角度测量的误差，因为角度误差与测角大小无关。,6.3.3,容许误差,down,up,通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值，称为,极限误差,，即,:,m,极,=3m,实践中，也常用两倍的中误差作为,容许误差,，即,:,m,容,=2m,区间 概率,（,-,，,+,）,68.3%,（,-2,，,+2,）,95.5%,、,（,-3,，,+3,）,99.7%,6-4,误差传播定律,6.4.1,线性函数的中误差,6.4.2,一般函数的中误差,Home,三种特殊函数：,（,1,）倍数函数的中误差：,Z=,kx,m,=k,m,或,m,=km,（,2,）和差函数的中误差：,Z=x,+x,+x,3,+,x,n,m,=m,+m,m,（,3,）算术平均值的中误差,6.4.1,线性函数的中误差,证明：,6.4.1,线性函数的中误差,down,up,Z=k,x,k,x,k,x,n,(k,k,k,为 常数,x,x,x,为相互独立的可直接观测量,1,，,2,n,为其对应的真误差,m,1,，,m,2,，,m,n,为其对应的中误差）,上式对应的真误差关系式为：,Z=k,k,k,n,现对这些独立观测量观测了,n,次，则：,Z=k,11,11,k,21,21,k,n1,n1,Z=k,12,12,k,22,22,k,n2,n2,Z=k,13,13,k,23,23,k,n3,n3,Z=k,1n,1n,k,2n,2n,k,nn,nn,（,1,）对上面,n,个式子两边分别平方再求和，得：,（,2,）将上式的两边分别除以观测次数,n,，,则：,（,3,）根据偶然误差的性质，上式的最后一项随,n,的增加而趋向于零，上式可写为：,（,4,）根据中误差的定义，上式即为：,6.4.1,线性函数的中误差,解：,(,首先判断是倍数函数，还是和差函数,),L=l,1,+l,2,+l,3,+l,4,m,=4m,=0.0004,米,m,=,0.02,米,【,例,1】,丈量布匹,4,米，以尺长为,1,米的尺子进行丈量四次，设每次丈量的中误差为,0.01,米，问丈量,4,米的中误差为多少？,6.4.1,线性函数的中误差,【,例,2】,丈量布匹,4,米，以尺长为,1,米的尺子丈量一次后，再以,1,米布为基础折叠三次得到,4,米长的布匹，问量这,4,米长布匹的中误差为多少？,解：,L=4 l,mL,=4 m=0.04,米,6.4.2,一般函数的中误差,设一般函数为：,Z=f(x,1,x,2,x,n,),(x,1,x,2,x,n,为相互独立的可直接观测量；,1,2,n,为其对应的真误差；,m,1,，,m,2,，,m,n,为其对应的中误差；）,我们已经求出一般线性函数的中误差公式，可将上式线性化以后，在利用,线性函数中误差,公式求出一般函数的中误差公式,习题,1,、什么是误差，有哪些种类，他们的定义和特性都是什么？评定观测值的精度指标都有什么？,2,、丈量布匹,4,米，以尺长为,1,米的尺子进行丈量四次，设每次丈量的中误差为,0.01,米，问丈量,4,米的中误差为多少？,3,、丈量布匹,4,米，以尺长为,1,米的尺子丈量一次后，再以,1,米布为基础折迭三次得到,4,米长的布匹，这,4,米长布匹的中误差为多少？,4,、已知倾斜距离及中误差分别为：,L=50,米，,mL=0.05,米，倾斜角及其中误差分别为：,=15,m=30,求水平距离,D,的中误差,m,。,习题,5,、附和水平路线如图，,A,，,B,两点高程已知,L1=2km,L2=6km,L3=4km,已知每公里高差中误差为,1mm,，求（,1,）,h1,，,h2,，,h3,的高差中误差；（,2,）求经闭和差调整后,1,，,2,两点中误差；（,3,）闭合差分配后,1,，,2,点高程中误差。,6,、,A,B,C,为一条直线上的三点，现对,AB,距离进行,5,次等精度观测，其值为,41.12,，,41.10,41.14,41.08,41,16,对,BC,距离进行三次观测，其值为,29.71,29.70,29.69,求,AC,的距离和相对中误差。,7,、对某五边行内角进行,6,次等精度观测，个角观测一个测回，其闭合差为：,-40,，,+28,，,+35,，,-47,，,-51,，,-21,。求：（,1,）角度闭合差的测角中误差。（,2,）每个角的测角中误差。,