向量法-求二面角的大小

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量法-求二面角的大小,空间向量法-求二面角的大小,“空间向量法”-求二面角的大小，这个方法在这几年高考解题中经常被不少考生运用,运用“,空间向量法”-求,“二面角的大小”的,解题,基本步骤,：,空间向量法-求二面角的大小,建立空间直角坐标系；,求出所需各点的坐标；,求出两个平面的法向量；,求出两个法向量的夹角；,写出所求二面角的大小,。,空间向量法-求二面角的大小,建立,空间直角,坐标系,；,求出,所需各点的,坐标,；,求出,两个平面的,法向量,；,求出,两个法向量的,夹角,；,写出,所求二面角的,大小,。,运用“,空间向量法”-求,“二面角的大小”的,解题步骤,：,空间向量法-求二面角的大小,建,系；,求,坐标；,求,法向量；,求,夹角；,得,结论,。,运用“,空间向量法”-求,“二面角的大小”的,解题步骤,：,设,a=,(,x,y,z,)，则,x,2,+y,2,+z,2,|,a,|,=,设,A(x,1,y,1,z,1,),B(x,2,y,2,z,2,),则,=,AB,(x,2,-x,1,y,2,-y,1,z,2,-z,1,),设,a,=,(,a,1,a,2,a,3,)，,b,=,(,b,1,b,2,b,3,)，,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,3,b,3,a,b,a,b,=,0,空间向量法的直角坐标运算的,常用公式:,则,a,b,=,(1),(2),(3),(4),(5),n,1,n,2,|,n,1,|,|,n,2,|,cos,=,【,例,1,】如图，在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD，AF,=,AB,=,BC,=,FE,=,AD.,(1)求二面角A-CD-E的余弦值.,B,D,C,F,E,2,1,A,【,例,1,】如图，在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD，AF,=,AB,=,BC,=,FE,=,AD.,(1)求二面角A-CD-E的余弦值.,A,B,D,C,F,E,2,1,【,例,1,】如图，在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD，AF,=,AB,=,BC,=,FE,=,AD.,(1)求二面角A-CD-E的余弦值.,A,1,1,1,1,2,B,D,C,F,E,2,1,K,A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).,解：,以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系,设AD=2,则,B,A,D,C,z,y,x,F,E,设 平面ACD的一个法向量为,n,1,=,(x,1,y,1,z,1,),平面CDE的一个法向量为,n,2,=,(x,2,y,2,z,2,),另外,AF,=,(0,0,1),(0,-1,1),CE,=,DE,=,(-1,0,1),由 ,得,n,2,CE,=,0,n,2,DE,=,0,又,AF,平面,ABCD,AF,是平面,ACD,的一个法向量,n,1,=,(0,0,1).,-,x,2,+,z,2,=,0,-,y,2,+,z,2,=,0,得,x,2,=,z,2,y,2,=,z,2,令z,2,=,1,则,n,2,=,(1,1,1),1,1,1,1,1,【,例,1,】如图，在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD，AF,=,AB,=,BC,=,FE,=,AD.,(1)求二面角A-CD-E的余弦值.,2,1,n,1,n,2,|,n,1,|,|,n,2,|,cos,=,1,3,1,=,3,3,=,由条件知,二面角A-CD-E为锐角，,所求二面角的余弦值为,3,3,2,1,1,【,练习,1,】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥,S-ABCD,中,ABC=90,O,SA,面,ABCD，SA=AB=BC=,1,AD=.,(,1,)求面,SCD,与面,SBA,所成二面角的正切值,.,2,1,A,B,C,D,S,A,B,C,D,S,1,1,1,2,1,【,练习,1,】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥,S-ABCD,中,ABC=90,O,SA,面,ABCD，SA=AB=BC=,1,AD=.,(,1,)求面,SCD,与面,SBA,所成二面角的正切值,.,2,1,【,练习,1,】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥,S-ABCD,中,ABC=90,O,SA,面,ABCD，SA=AB=BC=,1,AD=.,(,1,)求面,SCD,与面,SBA,所成二面角的正切值,.,2,1,A,B,C,D,S,1,1,1,2,1,z,x,y,A,B,C,D,S,1,1,1,2,1,z,x,y,(,1,)解:,以点,A,为原点,建立如图的空间直角坐标系 A,-,x,yz,得:,A(0,0,0),B(0,1,0),C(,1,1,0),S(0,0,1,),设 平面SCD的一个法向量为,n,1,=,(x,1,y,1,z,1,),由 ,得,n,1,SC,=,0,n,1,SD,=,0,另外,SC,=,(,1,1,-,1,),SD,=,(,0,-,1,),2,1,得,y,1,=-,z,1,x,1,=,2,z,1,令z,1,=,1,则,n,1,=,(2,-1,1),x,1,+,y,1,-,z,1,=,0,x,1,-,z,1,=,0,2,1,平面SBA的一个法向量为,n,2,=,(x,2,y,2,z,2,),又,BC,平面,SBA,BC,是平面,SBA,的一个法向量.,BC,=,(,1,0,0,),n,2,=,(1,0,0),D(,0,0),2,1,【,练习,1,】如下图,在底面是直角梯形的四棱锥,S-ABCD,中,ABC=90,O,SA,面,ABCD，SA=AB=BC=,1,AD=.,(,1,)求面,SCD,与面,SBA,所成二面角的正切值,.,2,1,n,1,n,2,|,n,1,|,|,n,2,|,cos,=,6,2,=,1,=,3,6,得 tan,q,=,2,2,所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是,2,2,设,所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为,q,由图形知q是锐角,cos,q,=,3,6,【,练习,2,】,已知点,E,、,F,分别是正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,BB,1,、,CC,1,上的点,且,BE,1,=2EB,CF=2FC,1,.,(,1,)求面,AEF,与面,ABC,所成二面角的正切值,.,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,B,D,C,P,M,A,N,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,A,B,D,C,P,M,(,1,)证明:,PA,底面,ABCD,N,为,BC,的中点,.,PA,AN,又 菱形,ABCD,ABC=60,O,.,AN,AD,AN,平面,PAD,又,PA,AD=A,N,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,A,B,D,C,P,M,(,2,)分析:,N,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,A,B,D,C,P,M,(,2,)分析:,N,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,A,B,D,C,P,M,(,2,)分析:,N,?,平面,AMC,或,C,?,平面,AMN,N,?,平面,APC,或,C,?,平面,AMN,或,平面,C?,?,平面,AMN,平面,N,?,平面,APC,N,F,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,A,B,D,C,P,M,(,2,)分析:,N,?,平面,AMC,则,N,E,平面,APC,E,或,C,?,平面,AMN,N,?,平面,APC,或,C,?,平面,AMN,平面,N,AC,平面,APC,或,平面,C?,?,平面,AMN,平面,N,AC,平面,APC,=,AC,作,N,E,AC,于,E,则,N,F,AM,作,EF,AM,于,F,N,FE,是二面角,C-AM-N,的一个,平面角,N,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,F,A,B,D,C,P,M,E,(,2,)解:,PA,底面,ABCD,N,为,BC,的中点,.,PA,底面,ANC,又,M,为,PC,的中点,PA,平面,AMC,底面,ANC,平面,AMC,又,底面,ANC,平面,AMC=AC,则,NE,平面,APC,作,NE,AC,于,E,则,NF,AM,作,EF,AM,于,F,NFE,是二面角,C-AM-N,的一个平面角.,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,N,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,F,A,B,D,C,P,M,E,(,2,)解:,NFE,是二面角,C-AM-N,的一个平面角.,菱形,ABCD,的边长为,2,ABC=60,O,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,在,NFE,中,可得:,tan,NFE=,AM,AQ,NE=,3,2,3,4,2,EF=,=,3,2,3,4,2,=,6,3,二面角,C-AM-N,的大小是,arctan,6,3,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,N,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,A,B,D,C,P,M,(,2,)分析:,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,如何 运用”,空间向量法,”,求二面角,C-AM-N,的大小?,N,(,2,)求二面角,C-AM-N,的大小,.,(,1,)证明:,AN,平面,PAD,.,A,B,D,C,P,M,N,(,2,)解:,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,2,的菱形,ABC=60,O,PA,底面,ABCD,PA=2,M,N,分别为,PC,BC,的中点,.,以点,A,为原点,建立如图的空间直角坐标系,A,-,x,yz,空间向量法-求二面角的大小,建,系,;,求,坐标,;,求,法向量,;,求,夹角,;,得,结论,.,小结,运用这个方法解题的五个,基本步骤,：,本节课学习了：求,“二面角的大小”的一个方法,“,空间向量法”,F,【,练习,3,】如图,在四棱锥,P-ABC