线性方程与常数变易法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2 线性方程与常数变易法,/Linear ODE and variation of constants Method/,本节要求,/Requirements/,熟练掌握,线性方程,和,伯努利方程,的求解方法,。,了解,黎卡提方程,的简单性质及其求解方法,。,内容提要,/Constant Abstract/,一、,一阶线性微分方程,/First-Order Linear ODE/,(2.2.1),的方程称为,一阶线性微分方程,(即关于 是线性的),其中,为,x,的已知函数。当,时，,称为,齐次线性方程,;,当,时，称为,非齐次线性方程,。,形如,一般形式,(2.2.2),2.2,Linear ODE and variation of constants Method,（1）,齐次,线性方程,/Homogenous Linear ODE/,解法,:,分离变量，得:,积分，得:,.(2.2.2),2.2,Linear ODE and variation of constants Method,得,因为,为(2.2.2)的解,所以其通解为:,.(2.2.3),其中c为任意常数。,满足初始条件,的解是,.(2.2.3),2.2,Linear ODE and variation of constants Method,由公式(2.2.3)得，所求特解为:,由公式(2.2.3)得，所求通解为：,解,例1,的通解,并求满足条件 的特解,试求微分方程,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,（2）,非齐次线性方程,/,Non-Homogenous Linear ODE/,采用,常数变易法,求解,设想方程,有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为,x,的待定函数,即设,.(2.2.4),(2.2.3),方程的解。,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,上式代入方程(2.2.1)，得:,即:,积分得:,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,代入(2.2.4),.(2.2.5),得:,同时，方程满足初始条件,的特解为:,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方,程特解。,非齐次线性方程通解的结构：,通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。,由(2.2.5)得:,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,常数变易法,这种将常数变易为待定函数的方法,通常称为,常数变易法,.,一阶非齐线性微分方程的通解,或,例2,解,1)先求对应的齐次方程通解,2)用常数变易法求方程通解,设,是方程的解，代入原方程，得,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,说明：,对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,例3,解,1)转换变量位置,2)用公式求方程通解,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,有时方程关于,x,为,y,的函数，方程关于,于是仍可以根据上面的方法求解。,注意:,不是线性的，但如果视,是线性的，,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,解,方程可以改写为:,练习,故通解为:,即:,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,二、可化为线性方程的方程,1 伯努利方程,/Bernoulli ODE/,2*黎卡提方程,/Riccati ODE/,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,1 伯努利方程,/,Bernoulli ODE/,形如,的方程称为伯努利方程，其中,它通过变量代换可化为线性方程。,解法,：,将方程(2.2.6)的各项同乘以,得:,令,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,用上式求解后，代入原变量,便得原方程的通解。,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,例4,将方程改写为:,解,故,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,2 黎卡提方程,/Riccati ODE/,形如,的方程称为,黎卡提方程,。,特点,:,在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分,形示表示，,如果先由观察法或其他方法知道它的一个特,解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,解法,若方程有一特解为,设,则,化为伯努利方程。,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,由观察看出,是方程的一个特解，于是,令,，则得,解,故原方程的通解为,例,5,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,例6,试求,形如,的特解,解此微分方程。,解,设,代入方程得:,所以,故,是方程的一个特解。,令,于是方程化为伯努利方程,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,故原方程的通解为,2.2,Linear ODE and variation of constants Method,例7,