三大抽样分布课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.4 三大抽样分布,本次课教学目的：,掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论,重点难点:,三大抽样分布的构造及其抽样分布,一些重要结论,教学基本内容及其时间分配,三大抽样分布的构造性定义30分钟,定理及其三个推论以及证明70分钟,根据本节课的特点所采取的教学方法和手段:,启发式讲授，图文结合加深对三大分布的印象,引 言,有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以,标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量,在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中的“,三大抽样分布,”.,若设 是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布如表所示.,5.4.1 分布(卡方分布),问题：如何确定 的分布？,图像：,密度函数的图像,是一个只取,非负值,的,偏态分布,数字特征：,当随机变量,时，对给定的,，称满足,的,是自由度为n的卡方分布的,分位数.,5.4.2 F分布,其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.,定义5.4.2,设,独立，则称,的分布是自由度为m与n的F分布,记为,问题：如何确定 的分布？,首先，我们导出,的密度函数,第二步，我们导出,的密度函数,首先,，我们导出,的密度函数,Z的密度函数为,第二步，我们导出,的密度函数,这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。,）,有F分布的构造知，若FF(m,n),则有1/F F(n,m),故对给定,，,例5.4.1,若取m=10,n=5,=0.05,那么从附表5上查得,5.4.3 t 分布,定义,设随机变量,独立且,则称,的分布为自由度为n的t分布，记为,问题：如何确定 的分布？,由标准正态密度函数的对称性知，,从而t与-t有相同分布。,所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：,这就是自由度为的分布的密度函数。,分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布,与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态,分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。,自由度为1的分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；,1时,分布的数学期望存在且为0。,1时,分布的方差存在，且为/(-2)；,当自由度较大 时，分布可以用(0,1)分布近似,(见下页图),N(0，1)和t(4)的尾部概率比较,c=2,c=2.5,c=3,c=3.5,X,N(0,1),0.0455,0.0124,0.0027,0.000465,X,t(4),0.1161,0.0668,0.0399,0.0249,当随机变量,时称满足,的,是自由度为的分布的1-分位数。,由于分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系,譬如,。,那么从附表4 上查到,可以从附表4中查到。譬如=10,=0.05,分位数,5.4.4 一些重要结论,的样本，其样本,定理5.4.1,设,是来自正态总体,均值和样本方差分别为,和,则有,（1）,与,（2）,（3）,相互独立；,证明 记,，则有,取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为,如,令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，,其均值和方差分别为,由此，,且都服从正态,的各个分量相互独立，,分布，其方差均为,而均值不完全相同，,这证明了结论（1）,这证明了结论（2）,这证明了结论（3）,推论5.4.1 在定理5.4.1的记号下，有,将5.4.4 左端改写为,由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为n-1的t变量除以它的自由度，且分子与分母相互独立，由t分布定,义可知，tt（n-1），推论证完。,证明 由定理（2）可以推出,推论5.4.2 设,是来自,的样本，,是来自,的样本且此两样本相互独立，记,其中,则有,特别，若,，则,证明:由两样本独立可知，,与,相互独立且,由F分布定义可知FF（m-1，n-1）,推论5.4.3 在推论5.4.2的记号下，设,并记,则,证明,由,与,独立,由定理知，,独立，,相互独立，根据t分布的定义即可得到（5.4.8）.,思考题及作业题:,三大抽样分布之间的内在关系是什么？,作业题：P277,必做：1，2，5，11，13,选做：8，12,