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返回,后页,前页,2,连续函数的性质,在本节中,我们将介绍连续函数的局,一、连续函数的局部性质,四、一致连续性,三、反函数的连续性,二、闭区间上连续函数的性质,这些性质是具有分析修养的重要标志.,部性质与整体性质.熟练地掌握和运用,返回,一、连续函数的局部性质,所谓连续函数局部性质就是指:,连续(左连续或右连续),则可推知,f,在点,x,0,的某,号性、四则运算的保连续性等性质.,个局部邻域,(左邻域或右邻域)内具有有界性、保,故,|f,(,x,)|,的一个明确的上界.,证,注意:我们在证明有界性时,而不是用术语,定理,4.2,（局部有界性）,则,定理,4.3,（,局部保号性）,则对任意一个满足,证,注,在具体应用保号性时,我们经常取,于是证得,定理,4.4,（连续函数的四则运算）,此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得,也是连续函数.,我们知道,常函数,与线性函数 都是,R 上,到,具体过程请读者自行给出.,的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数,同理,有理函数,(分母不为零)同样是连续函数.,下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下,定理,4.5,是不变的.,证,于是,对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定,请大家仔细观察定理4.5 的证明,看看此时究竟哪,理的认识.,里通不过.,应用定理,4.5,就得到所,(*)式相应的结论仍旧是成立的.,则有,改为,需要的结论.,事实上,只要补充定义,（,或者重新定义）,上述,(1),和,(2),究竟有什么本质的区别呢?请读者作,例1,解,合，所以,出进一步的讨论.,例2,解,例3,解,所以,均有,使得对一切,存在,0,D,x,D,x,在本节中将研究,f,在,二、闭区间上连续函数的性质,定义,1,若,点,的最大值不存在,最小值为零.注意:,既无最大值,又无最小值.,定理,4.6,（最大、最小值定理）,例如,符号函数,的最大值为1,最小值为-1;,的最大值为1,最小值为-1;函数,(其上确界为1,下确界为,-,1,),这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的,推论,这是因为由定理,4.6,可知,值,从而有上界与下界,于是,f,(,x,),在,a,b,上,是有,虽然也是连续函数,但是,内涵,在今后的学习中有很广泛的应用.,界的.,这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性,定理,4.7,（介值性定理）,上连续,则(至少)存在一点,质有着根本的区别,.,从几何上看,当连续曲线,从水平直线,的一侧穿到另一侧时,两者至少有一个交点.,推论,（,根的存在性定理）,应当注意,此推论与定理4.7是等价的.于是,只要,则至少存在一点,使,下面用确界定理来证明上述推论,大家要注意学习,证明了推论,也就完成了定理4.7 证明.,确界定理的使用方法.,(,E,为图中,x,轴上的红,证,不妨设,并设,零点.证明如下：,的最大值就是函数的,线部分)从几何上看,E,因为,所以,又,E,是有界的,故由确,我们来否定下面两种情形:,1.,由,f,(,x,)在点 是,连续的,根据保号性,存在,界定理,存在，显然,2.,同样根据保号性,同时由,x,0,=,sup,E,对上述,d,存在,排除了上面两种情形后,就推得,由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下,下面再举一些应用介值性定理的例题.,设 在 上连续,那么它的最大值,M,与最,结论:,小值,m,存在,并且,证,先证存在性：,由极限的保号,使,使得,(读作,r,的,n,次算术根).,例,3,则存在唯一的正数,连续，,我们只需证明,严格递增,即可.事实上，,即,例,4,求证:,再证唯一性:,证,即,任意的实数,r,f,(,x,),=,r,至多有有限个解.证明：,证,与,的解至多为有限个.,例5,设,在区间,内满足介值性,并且对于,在 内连续.,1.,由介值性条件不难证明：,即,2.如果解为空集,任意取,证,不妨设,f,(,x,)严格增,那么,就是反,上连续,且与,f,(,x,)有相同的单调性.,定理4.8,若函数,f,(,x,)在,上严格单调且连续,则反函数,三、反函数的连续性,函数的定义域.,1.,(证明见定,理1.2).,2.,(如图所示),每一,对应,任给,取,对应,请读者类似地证明该函数在端点的连续性.,这就说明了,上连续.,对于任意的正数,且严格增.关于其它的反三角函数,均可得到在定义域内连续的结论.,例6,因此它的反函数,上也是连续,严格增.,例7,连续且严,在上亦为连续且,格增,那么其反函数,在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要,只要就有,四、一致连续性,任意的正数,使得对任意,存在,定义2.,设,为定义在区间,I,上的函数,如果对于,则称 在区间,I,上一致连续.,的概念.,首先来看两个例题.,例8,证,证,首先我们根据一致连续的定义来叙述,f,(,x,)在区,例9,但仍有,确实不是一致,连续的.,总有,间,I,上不一致连续的定义：,试问,函数 在区间,I,上一致连续与 在区,间,I,上连续的区别究竟在哪里？,仅与,有关.,对于任意正数,所得,答:(1)首先,对于,如果 在区间,I,上连续，,那么,不仅与,有关,而且还与所讨论的点,而 在区间,I,上一致,连续.那么,在例8中,显然,关.,过程中有一个正下界(当然,(2)函数,f,(,x,)在每一点 连续,下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质.,区间,I,上就一致连续了.,这个下界只与,有关,而与,x,0,无关),则此时,f,(,x,)在,上连续,则,上一致连续.,这个定理告诉我们:定义在闭区间上的函数,连,例10,设区间,的右端点为,区间,的左端,定理,4.9,（一致连续性定理）,若函数,f,在闭区间,上一致连续,在区间,上也一致连续.,证明：若,分别在,点也为,续和一致连续是等价的.,连续，所以分别存在 使得,当,当,则对于任意的,证,对任意的,因为,在,上一致,此时自然有,有以下两种情形：,注意到,可得,综上，证得,在区间,上一致连续.,注,例10的条件,是重要的.比如,在区间,与区间,上分别一致连续,但在,区间 1,3 上不连续,当然也不一致连续.,例11,设,上连续,并且,证明,上一致连续.,证,因为,所以对任意的正数,存在,又,上连续,故由定理4.9可知,f,(,x,),上一致连续.因此对上述,，,存在正数,使对任意,只要,必有,现对任何,讨论如下.,情形2.注意到,所以若情形1 不成立,必然有,于是,
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