排列组合二项式1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,排列和组合的区别和联系：,名 称,排 列,组 合,定义,种数,符号,计算,公式,关系,性质,，,从,n,个不同元素中取出,m,个元,素，,按一定的顺序,排成一列,从,n,个不同元素中取出,m,个元,素，,把它并成,一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,解决排列组合综合性问题的一般过程如下,:,1.,认真审题弄清要做什么事,2.,怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还,是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多,少步及多少类。,3.,确定每一步或每一类是排列问题,(,有序,),还是,组合,(,无序,),问题,元素总数是多少及取出多,少个元素,.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交,叉，因此必须掌握一些常用的解题策略,(,三,),、常用解题方法及适用题目类型,直接法：,特殊元素法、特殊位置法（两者适用某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的位置）,、,捆绑法（两个或两个以上的元素必须相邻）、,插空法（两个或两个以上的元素必须不相邻）,隔板法,（相同的元素分成若干部分，每部分至少一个）,及,分组问题,.,间接法,（排除法）,优化,190,页,（八）住店法,188,页,解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：,一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客人”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,例,9,七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）,A.B.C D.,分析：因同一学生可以同时夺得,n,项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作,7,家“店”，五项冠军看作,5,名“客人”，每个“客人”有,7,种住宿法，由乘法原理得 种。,注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？,用分步计数原理看，,5,是步骤数，自然是指数。,练习：,（,1,）把,4,个不同的小球放入,3,个分别标有,13,号的盒子中，允许有空盒子的放法有多少种？,（,2),将,4,封信全部投入,3,个邮筒，可以随意投，有多少种不同的投法？,例,6,有,4,名男生，,3,名女生。,3,名女生,高矮互不等，,将,7,名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高,排列，有多少种排法？,（五）,189,页,-,例,2,顺序固定问题用“除法”,对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数,.,所以共有 种。,分析：先在,7,个位置上作全排列，有 种排法。其中,3,个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只,对应一种排法，,（六）分排问题用“直排法”,把,n,个元素排成若干排的问题，若没有其他,的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理,.,例,7,七人坐两排座位，第一排坐,3,人，第二排坐,4,人，则有多少种不同的坐法？,分析：,7,个人，可以在前后排随意就坐，再无,其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以,不同的坐法有 种,.,（,1,）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？,或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，,所以,两排可看作一排来处理,不同的坐法有 种,（,2,）,八个人排成两排，有几种不同排法？,练 习,6,八,.,排列组合混合问题先选后排策略,例,8.,有,5,个不同的小球,装入,4,个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装,法,.,解,:,第一步从,5,个球中选出,2,个组成复合元共,有,_,种方法,.,再把,5,个元素,(,包含一个复合,元素,),装入,4,个不同的盒内有,_,种方法,.,根据分步计数原理装球的方法共有,_,例,2,:,3,名医生和,6,名护士被分配到,3,所学校为学生体检，每校分配,1,名医生和,2,名护士，不同的分配方法共有多少,?,解法一,：首先，将,3,名医生分配到,3,所学校，每校,1,名，不同的分配方法有,A,3,3,种；,其次，将,6,名护士分配到,3,所学校，每校,2,名，不同的分配方法有,C,6,2,C,4,2,C,2,2,种；,由分步计数原理，共有,A,3,3,C,6,2,C,4,2,C,2,2,540,种,“先选后排”法,十,.,元素相同问题隔板策略,例,10.,有,10,个运动员名额，在分给,7,个班，每,班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为,10,个名额没有差别，把它们排成,一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，,可把名额分成份，对应地分给个,班级，每一种插板方法对应一种分法,共有,_,种分法。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,将,n,个相同的元素分成,m,份（,n,，,m,为正整数）,每份至少一个元素,可以用,m-1,块隔板，插入,n,个元素排成一排的,n-1,个空隙中，所有分法数为,例,5,:,从,6,个学校中选出,30,名学生参加数学竞赛,每校至少有,1,人,这样有几种选法,?,分析,:,问题相当于把,30,个相同的球放入,6,个不同盒子,(,盒子不能空的,),有几种放法,?,这类问题可用“隔板法”处理,.,小结：把,n,个相同元素分成,m,份，每份至少,1,个元素，问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”,.,共有：,十四,.,构造模型策略,例,14.,马路上有编号为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,的,九只路灯,现要关掉其中的,3,盏,但不能关,掉相邻的,2,盏或,3,盏,也不能关掉两端的,2,盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：把此问题当作一个排队模型在,6,盏,亮灯的,5,个空隙中插入,3,个不亮的灯,有,_,种,一排,10,个座位，有,7,个座位有人座，每个座位上都有,1,人，,现空出,3,个座位，,但两端的座位不空,，且空出的座位不能,有,2,个或,3,个,相连，求不同的空位方式有几种,?,练习,4,某城新建的一条道路上有,12,只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）,（,A,）,种（,B,）,种（,C,）,种 （,D,）,种,解：,练习,3,:9,件不同的玩具，按下列方案有几种分法？,1.,甲得,2,件，乙得,3,件，丙得,4,件，有多少种分法？,2.,一人得,2,件，一人得,3,件，一人得,4,件，有多少种分法？,3.,每人,3,件，有多少种分法？,4.,平均分成三堆，有多少种分法？,5.,分为,2,、,2,、,2,、,3,四堆，有多少种分法？,解：,例,3,:,有,6,本不同的书，分成,3,堆,.,（,1,）如果每堆,2,本，有多少种分法？,（,2,）如果分成一堆,1,本，一堆,2,本，一堆,3,本，有多少种分法？,分析,:,这与例,2,不同，区别在于把,6,本不同的书分给甲、乙、丙,3,人，每人,2,本，相当于把,6,本不同的书先分成,3,堆，再把分得的,3,堆分给甲、乙、丙,3,人,.,例,3,:,有,6,本不同的书，分成,4,堆,.,（,3,）如果一堆,3,本，其余各堆各,1,本，有多少种分法？,（,4,）如果每堆至多,2,本，至少,1,本，有多少种分法？,引申：,分成甲、乙、丙三组，一组,4,人，一组,3,人，一组,2,人；,分成甲、乙、丙三组，每组,3,人,.,9,人分成甲、乙、丙三组，甲组,4,人，乙组,3,人，丙组,2,人；,分成三组，每组,3,人；,引申：分成三组，一组,5,人，另两组各两人；,点评：局部均分无序问题易出错,.,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式,右边的多项式叫做,(+b),n,的,，,其中 （,k,0,1,2,n,）叫做,，,叫做二项展开式的通项，用,T,k+1,表示，该项是展开式的第,项，展开式共有,_,项,.,展开式,二项式系数,k+1,n+1,二项式定理,:,一般地，对于,n N*,有,分析：,解,:,二项式系数的性质,2,二项式系数的性质,（,1,）对称性,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,（,1,）,二项式系数的三个性质,:,（,2,）,数学思想：,函数思想。,二项式系数之和,:,最 值,:,当 时，二项式系数是逐渐增大的，,由对称性知,它的后半部是逐渐减小的。,当,n,是,偶数,时，,中间的一项,取得,最大,时 ；,当,n,是,奇数,时，,中间的两项,，相等，,且,同时,取得,最大,值。,增减性,:,系数性质,即,例,1.,下面二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上,（,1,）,(a+b),20,第,项的二项式系数最大，是,.,（,2,）,(a+b),19,第,项的二项式系数最大，是,；,10,、,11,11,例,4,、若 的展开式中，所有奇数项,的系数之和为,1024,，求它的中间项,.,解：展开式中各项的二项式系数与该项的,的系数相等,由,已知可得：,2,n-1,=1024,解得,n=11,，,有两个中间项分别为,T,6,=462x,-4,，T,7,=462x,解：,设,展开式各项系数和为,1,注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为,1,上式是恒等式，所以当且仅当,x=1,时，,(2-1),n,=,=,（,2-1,）,n,=1,例,8.,的展开式的各项系数和为,_,例题讲解,解,:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第,11,项,即,所以它们的比是,例题讲解,例,1,计算并求值,解,(1):,将原式变形,例,1,计算并求值,解,:,(2),原式,样本的频率分布直方图,作样本频率分布直方图的步骤：,（,1,）求极差；,（,2,）决定组距与组数,;(,组数极差,/,组距,),（,3,）将,数据分组；,（,4,）列,频率分布表（分组，频数，频率）；,（,5,）,画频率分布直方图。,