条件概率与随机事

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,条件概率与乘法公式,条件概率,Conditional Probability,抛掷一颗骰子,观察出现的点数,A=出现的点数是奇数，,B=出现的点数不超过3，,若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率,即事件 B 已发生，求事件,A,的概率（）,A,B 都发生，但样本空间,缩小到只包含的样本点,设，为同一个随机试验中的两个随机事件,且（），则称,为在事件发生的条件下，事件发生的,条件概率,定义,条件概率,Conditional Probability,Sample space,Reduced sample space given event B,条件概率,P(A|B),的样本空间,概率,P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在,P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，,B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。,（2）样本空间不同，在,P(A|B)中，事件B成为样本,空间；在P（AB）中，样本空间仍为 。,因而有,例,设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,设表示取得一等品，表示取得合格品，则,（1）,因为100 件产品中有 70 件一等品，所以,（2）,方法1：,方法2：,因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以,例,考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）,=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),解,于是得,=(男,男),(男,女),则=(男,男),(男,女),(女,男),=(男,男)，,设 =“有男孩”，,=“第一个是男孩”,=“有两个男孩”，,故两个条件概率为,乘法法则,推广,一批产品中有 4%的次品，而合格品中一等品占 45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率,设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品是合格品，则,于是,所以,解,解,一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求 (1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率,设表示第一次取得白球,表示第二次取得白球,则,（2）,（3）,（1）,练一练,全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求,练一练,某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”,则,所求概率为,全概率公式,与,贝叶斯公式,解,一、全概率公式,因为 ,，且与,互不相容，所以,0.6,一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率,例,A=第一次取到白球,全概率公式,设,1,，,2,，.，,n,构成一个完备事件组，且(,i,)0，i1，2，.，n，则对任一随机事件，有,全概率公式,例,设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率,解,设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是,1,，,2,，,3,，,4,，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：,95.50.520.151.50.110.05,0.4825,贝叶斯公式 Bayes Theorem,后验概率,设A,1,，A,2,，,A,n,构成完备事件组，且诸P（A,i,）0),B为样本空间的任意事件，P（B）0,则有,(k=1,2,n),证明,贝叶斯公式 Bayes Theorem,例,设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为 5%，4%，2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率,解,设,1,，,2,，,3,分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品 显然，,1,，,2,，,3,构成完备事件组依题意，有,(,1,)25%,(,2,)=35%,(,3,)40%,(|,1,)5%,(|,2,)4%,(|,3,)2%,(,1,|),甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？,解,设B=“从乙箱中取出白球”，,A=“从甲箱中取出白球”，,练一练,利用Bayse公式,爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是,否携带爱滋病病毒.设这种试验的,假阴性,比例为5%,（即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴,性），,假阳性,比例为1%（即在不携带病毒的人中，,有1%的试验结果为阳性）.据统计人群中携带病毒,者约占1，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该,人携带爱滋病毒的概率.（P27练习33）,讨论,（贝叶斯公式）,符号引入：“携带病毒”为A，“实验呈阳性”为B，则,求,已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。,练一练,解：设A=“男子”，B=“女子”,C=“这人有色盲”,