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按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,科技與社會,變異量數(measures of variation),葉玉賢,本章重點,1.變異量數的探討（四分位差）,2.變異數與標準差(Standard Deviation,SD或簡稱S),3.相對差異係數：變異係數,變異量數的探討,變異量數的探討,變異量數,(measures of variability),的意義：,（,1),變異量數是用來了解團體分數的,分散,情形的指標，數值越大，團體分數分散越大，變異越大。,（,2),變異量數是用來表示一群數值散佈的範圍，也可反映出平均數代表性的大小。,（,3),教育學術領域中，通常把變異量數分為：絕對變異量數,（有單位的：例如全距、四分位差、平均差、標準差、變異數）,相對變異量數,（無單位的：例如變異係數、標準分數）,例如：探討全校男同學體重的變異程度。,練習：,Example:,班的數學分數（共10人）,20,35,50,50,65,65,65,80,90,100,=520 X=52,班的數學分數（共10人）,50,50,50,50,50,50,52,52,58,58,=520 X=52,集中量數變異量數的差異,(分散情形不同，集中情形相同),變異數,S,變異量數的種類,全距,四分差,平均差,標準差與變異數,何謂全距？,全距（Range）是指群體全部數值的變動範圍，是計算變異量數的最簡單方式、粗造且壟統的指標。,（一）定義：全距是指團體中,最大值與最小值的差,，可用（讀做omega）表示。,（二）全距是表示分散情形最簡陋的方式，適用於,等距變數,，而不適用於次序變數。,（三）公式,=X,H,-X,L,例子：假定X,H,=75，X,L,=32，則全距有兩種表達方式：,=X,H,-X,L,=7532=43,=X,H,-X,L,=75.531.5=44,全距特性：,1.只考慮最大值與最小值，容易忽略其他數值的分散情形；,2.容易受極端分數的影響，故十分不穩定；,3.全距是變異量數中最簡易的方法，計算簡單明瞭。,4.抽樣個數越多，全距越大，反之，全距越小。,四分(位)差的概念,四分差（Q）指的是團體中最中間的50%的人分數的一半，我們要取的是次數分配中的那一個25%的距離到底是多少？,Q,1,=1/4 N的分數，Q,2,=2/4 N的分數（Md），Q,3,=3/4 N的分數。,四分位差不是一個點，而是一個距離。,公式：,四分(位)差的概念,（四）在已歸類資料時的公式：,L,1,=第一四分位數所在組的真正下限,F,1,=L,1,以下的累積次數,f,Q1,=第一四分位數所在組的次數,h=組距,N=總人數,四分位差的演算,例子：55名學生成就測驗表，試求這55學生的：,變異數與標準差,變異量數的概念-標準差(Standard Deviation,SD),所謂標準差，是指用(X-,)的方式來表示分數分散的情況。,在算出標準差之前，需算出離均差平方和（sum of square of deviation from the mean,簡稱SS），代表每一個分數與平均數的距離量數。,SS=,(X-,)=,x,（離均差平方和）,S=,x/n,（變異數）,SD=,x/n,從標準差公式的涵義可知下列幾項事實,當團體人數只有一人，S,S=0，因為沒有個別差異存在，所以就沒有變異數或標準差的存在。,當團體中的所有人分數都相同的時候，S,S=0，因為此時每個分數。,個團體中至少要有兩個人存在，並且其中一人的分數與其他分數不相等時，S,S才會存在，且大於。,變異數與標準差,（一）為了解團體裡分散的情形，最好的方法就是計算所有分數到平均數的距離。,（二）然而平均數位於所有數值的中間位置，必須,去除掉負號,才能了解確切的分散情形。,（三）除了使用絕對值觀念的平均差（AD）以外，我們還可以將每一個 加以平方並總加成 ，這就是,離均差平方和,（sum of square of deviation from the mean,SS）,（四）如果我們再把SS除以總次數N，則可得到變異數S,2,（variance），再將之開根號，便可得到標準差SD（standard deviation）。,該班學生的智育成績的變異情形？（未歸類）,72,73,79,81,81,82,85,85,85,87,87,89,89,90,90,91,91,91,91,92,92,92,92,93,93,93,93,94,94,94,95,95,95,95,96,96,96,97,98,請求該班智育成績中的,1.,=,2.X=,3.Q=,4.SD=,標準差(SD)的計算舉例.1,甲組,乙組,X,X,Y,Y,90,8100,90,8100,85,7225,75,5625,80,6400,75,5625,75,5625,75,5625,70,4900,75,5625,65,4225,65,4225,變異數與標準差,變異數與標準差,計算公式：,因為：,所以：,變異數與標準差,例一：當X=14、12、9、17、8時，試求其標準差。（朱經明，2007：46，表4-3）,例二：七名學生參加一項測驗，得分為3，4，8，9，11，12，16，試求此測驗的變異數與標準差各為多少？,解答：SS=17.71、SD=4.21,變異數與標準差,離均差平方和、變異數及標準差的關係（圖4-2）,離均差平方和（,SS,）即指這七個正方形面積的,總面積,，面積愈大代表團體的分數愈參差不齊。,變異數可視為七個正方形面積的,平均面積,。,標準差則是平均面積正方形的,長度,距離。,變異數與標準差,變異數與標準差,團體各分數加,c,，所得變異數仍與原來變異數相等（平均數改變、變異數不變）。,證明：,團體各分數乘,c,，所得變異數為原來變異數之,c,2,倍（平均數變,c,倍，變異數變,c,2,倍）,證明：,比較：各種變異量數的適用時機：,適用變項：適用等距變項：全距、標準差、平均差。,適用次序變項：四分差,快速與簡易：全距,四分差 平均差標準差,穩定性：標準差平均差四分差全距,極端值：出現極端值時，使用四分差比較佳,相對差異係數：變異係數,相對差異係數（Coefficient of Relative Variation,）（或稱為變異係數,Coefficient of variation,CV）,意義：表示標準差的大小與平均數的大小相比起來佔平均數的多少百分比。,我們想要知道甲乙兩個團體中，哪一個團體的個別差異比較大，這時，除了運用平均數以外，我們可以比較他們的標準差。但是，如果若要比較大學生的身高與小學生的身高，此時這樣的比較沒有意義，而需要運用相對差異係數，再來進行比較。,變異係數只能用在描述統計，不能用在推論統計,公式：,相對差異係數的運算,練習：,1.,崑山科大電機系男生學生的體重，M=70,SD=6.5，崑山科大附設幼稚園男性學生體重，M=40,SD=2，求男大學生與男幼童的相對差異係數？,2.某個班上成年男子共有150名，身高的平均數為167cm，標準差為5cm，體重的平均數為61kg，標準差為6kg，試求該班成年男子身高體重的相對差，並解釋此結果的意義。,
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