大学物理波动学

*,物理学,第五版,4-7,波的能量,*,物理学,第五版,4-8,波的干涉,*,物理学,第五版,4-9,驻波,一 波动能量的传播,波的传播是能量的传播，传播过程中,，,介质中的质点运动，具有动能,，,介质形变具有势能,.,p,W,k,W,1,波的能量,媒质质元能量是如何变化的？,能量传播的规律如何？,这里要搞清：,1.,质点振动的速度和加速度,（,1,）,v,是质点的振动速度,与波速,u,不同。,反之亦然,（,3,）,a,与,v,的位相差为,（,2,）,v,与,y,的位相差为,18,以棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播,.,振动动能,x,O,弹性势能,l,l,F,F,杨氏,模量,质元长度,d,x,伸长量,d,y,体积,d,V,x,O,体积元的总机械能,讨 论,(,1,),在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是,同相位,的,.,x,y,(2),其周期为波动周期的一半。,E,k,、,E,P,同时达到最大,同时达到最小,（平衡位置处）,（最大位移处）,速度小,形变小,速度大,形变大,(3),任一体积元都在不断地接收和放出能量，机械能不守恒,.,平均讲来，体积元的能量密度保持不变，,即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播；,能量密度：,单位体积介质中的波动能量,平均,能量密度：能量密度在一个周期内的平均值,二 能流和能流密度,能流：,单位时间内垂直通过某一面积的能量,.,平均能流：,u,d,t,S,单位：,焦耳,/,秒，瓦，,Js,-1,，,W,能流密度,(,波的强度,)I:,通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流,.,S,u,w,P,=,u,d,t,S,换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。,例,1,证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数,.,证,介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等,.,即,故,例,2,：,一球面波源的功率为,100W,，,则距波源,10,m,处，波的平均能流密度,I,是多少？,解：,（,W m,-,2,）,对如图的平面简谐波,t,时刻的波形曲线,下列各结论哪个是正确的,?,y,x,A,B,C,B,处,质元的振动动能减小,则其弹性势能必增大,;,答：质元的振动动能和弹性势能是同相位的 ，同时增大，同时减少。,错,错,A,处,质元回到平衡位置的过程中,它把自己的能量传给相邻的质元,其能量逐渐减小,;,答：在平衡位置质元的振动动能和弹性势能最大，所以,A,处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大。,B,处,质元振动动能增大,则波一定沿,x,负方向传播,;,x,答：,B,处,质元振动动能增大,则它将向平衡位置移动，作图可知波一定沿,x,负方向传播,;,对,B,处,质元振动动能减小,则,C,处,质元振动动能一定增大,;,答：,B,处,质元振动动能减小,可知波一定沿,x,正方向传播，作图，看出,C,处,质元远离平衡位置，则振动动能一定减少。,错,A,B,C,x,A,B,C,C,处,质元,t,时刻波的能量(动能与势能之和),是,10J,则在,(,t,+,T,),时刻,(,T,为周期,),该处质元振动动能一定是,5J;,答：,动能与势能在任意时刻都相等，又,t,时刻波的能量,与在,(,t,+,T,),时刻,(,T,为周期,),的能量应该相同，所以在,(,t,+,T,),时刻,C,处质元振动动能一定是,5J;,对,介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前,.,一 惠更斯原理,核心是子波。根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面，就可以确定下一时刻的波阵面。,子波,波阵面,包络,新的波,阵面,子波波源,波前,子波,O,适用于任何波动过程,适用于任何介质（均匀的，非均匀的）,几何作图法,利用惠更斯原理可解释波的折射、反射和衍射。,1,、波的反射定律,2,、波的折射定律,3,、波的衍射,波在传播过程中遇到障碍物，而发生偏离原方向传,播，,能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播,.,二 波的衍射,当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。,衍射现象是波动特征之一。,三 波的干涉,1,波的传播规律,独立性：,两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰,.,波的叠加性：,在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成,.,能分辨不同的声音正是这个原因,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为,波的干涉现象,.,2,波的干涉,波频率相同，振动方向相同，位相差恒定,例,水波干涉 光波干涉,某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵消,.,(,2,),干涉现象,满足干涉条件的波称相干波,.,(,1,),干涉条件,波源振动,点,P,的两个分振动,(,3,),干涉现象的定量讨论,*,定值,*,由于 ，所以合振动的强度为：,合振幅最大,当,合振幅最小,当,位相差 决定了合振幅的大小,.,讨 论,干涉加强（相长）,干涉减弱（相消）,位相差,加强,减弱,称为波程差,（波走过的路程之差）,则,如果 即相干波源,S,1,、,S,2,同位相,将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，则有,当,时（半波长偶数倍）,合振幅最大,当,时（半波长奇数倍）,合振幅最小,干涉的波程差条件,例,1,如图所示，,A,、,B,两点为同一介质中两相干波源,.,其振幅皆为,5 cm,，频率皆为,100 Hz,，但当点,A,为波峰时，点,B,恰为波谷,.,设波速为 ，试写出由,A,、,B,发出的两列波传到点,P,时干涉的结果,.,15 m,20 m,A,B,P,设,A,的相位较,B,超,前,点,P,合振幅,解,(m),15 m,20 m,A,B,P,一 驻波的产生,1,现象,特点：媒质中各质点都作,振幅各不相同,的稳定振动。波形并没有传播。,2,条件 两列振幅相同的相干波相向传播,3,驻 波 的 形 成,二 驻波方程,正向,负向,振幅 ？,驻波方程,讨论,(,1,),振幅 随,x,而异,与时间无关,当,处为波节,位置：,相邻波节间距：,参与波动的每个点振幅恒定不变，不同质元的振幅不同。,处为波腹,当,相邻波腹间距：,x,y,波节,波腹,振幅包络图,(,2,),相位分布,相邻两波节间各点振动相位相同,一波节两侧各点振动相位相反,（,3,）,驻波中没有净能量传递,能流密度,结论：,波形不动,分段振动,(,驻波,),边界条件,驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生在两介质交界面上，在交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性质,.,波疏介质,波密介质,介质分类,波密,介质,较大,波疏,介质,较小,波疏介质 波密介质,当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射到波疏介质时形成,波节,.,入射波与反射波在此处的相位时时,相反,即反射波在,分界处,产生 的相位,跃变,，相当于出现了半个波长的波程差，称,半波损失,.,三 相位跃变,（半波损失）,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成,波腹,.,入射波与反射波在此处的相位时时,相同,，即反射波在分界处,不,产生相位,跃变,.,波密介质 波疏介质,四 驻波的能量,A,B,C,波节,波腹,位移最大时,平衡位置时,各质点位移达到最大时,动能为零，势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。,势能集中在波节,。当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。,动能集中在波腹,。,驻波的能量,能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播,五 振动的简正模式,两端,固定,的弦线形成,驻,波时，波长 和弦线长 应满足,两端,固定,的弦振动的简正模式,一端,固定,一端,自由,的弦振动的简正模式,例题,： 位于,A,、,B,两点的两个波源，振幅相等，频率都是,100,赫兹，相差为,，其,A,、,B,相距,30,米，波速为,400,米,/,秒，求,: AB,连线之间因相干涉而静止的各点的位置。,解：,如图所示，取,A,点为坐标原点，,A,、,B,联线为,X,轴，取,A,点的振动方程,:,相干相消的点需满足：,可见在,A,、,B,两点是波腹处。,例,如图,一列沿,x,轴正向传播的简谐波方程为,(m),（,1,）,在,1,，,2,两种介质分界面上点,A,与坐标原点,O,相距,L,=2.25 m,.,已知介质,2,的波阻大于介质,1,的波阻,反射波与入射波的振幅相等,求：,（,1,）,反射波方程,;,（,2,）,驻波方程,;,（,3,）,在,OA,之间波节和波腹的位置坐标,.,y,L,O,A,x,1,2,解,(,1),设反射波方程为,由式,（,1,）,得,A,点的入射振动方程,（,2,）,y,L,O,A,x,1,2,（,3,）,A,点的反射振动方程,由式,（,2,）,得,A,点的反射振动方程,由式,（,3,）,和式,（,4,）,得：,舍去,（,4,）,所以反射波方程为：,(m),（,3,）,（,2,）,（,2,）,（,3,）,令,令,得波节坐标,得波腹坐标,练习：,已知入射波和反射波在,t=0,的波形图,画出,t=T/4,，,t=T/2,，,t=3T/4,，,t=T,波形图及与之相应的驻波图,练习,波长为,的平面简谐波沿,x,正向传播如图已知,Q,处振动方程为,波在,M,处遇一波密媒质反射面,且假设反射波振幅仍为,A,。 求：,（,1,）该平面简谐波方程；,（,2,）反射波方程；,（,3,）驻波方程。,37,解,:,（,1,）以,Q,为参考点,37,（,2,）,以,P,为参考点，波由,所需时间,+,?,整理后得,反射波为,38,（,3,）,波腹,共,10,个波腹,入射波与反射波叠加成驻波，方程为,39,