第七章 一阶电路

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 一阶电路,一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；,重点,一阶电路的阶跃响应概念及求解。,1.,动态电路方程的建立及初始条件的确定；,7-1,动态电路及其方程初始条件,7-2,一阶电路的零输入响应,7-3,一阶电路的零状态响应,7-4,一阶电路的全响应及三要素求解,7-5,一阶电路的阶跃响应,7-6,一阶电路的冲激响应,电阻电路,+,-,u,s,R,1,R,2,（,t,=0,）,i,0,t,i,过渡期为零,K,未动作前,，电路处于稳定状态,i,= 0,u,C,= 0,i,= 0,u,C,=,U,s,K,+,u,C,U,s,R,C,i,(,t,=,0),K,接通电源后很长时间,，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,+,u,C,U,s,R,C,i,(,t,),前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,t,1,U,S,u,c,t,0,?,i,有一过渡期,电容电路,R,U,S,K,未动作前,，电路处于稳定状态,u,L,= 0, i,= 0,u,L,= 0,i,=,U,s,/R,K,接通电源后很长时间,，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,初始状态,过渡状态,新稳态,t,1,U,S,/,R,i,t,0,?,有一过渡期,(,t,=,0),电感电路,U,s,L,i,K,+,u,L,R,+,u,L,U,s,R,L,i,(,t,),U,L,Us,7-1,动态电路的方程及其初始条件,一、动态电路,含有动态元件的电路称动态电路。,特点：,当动态电路状态发生改变时（,换路,）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的,过渡过程,。,换路,电路结构、状态发生变化,支路接入或断开,电路参数变化,过渡过程产生的原因,1.,电路含有储能元件,L , C,。,2.,电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成,内因,外因,二,、,动态电路的方程,+,u,C,U,s,R,C,i,(,t,0,),应用,KVL,和元件的,VCR,得：,+,u,L,U,s,R,L,(,t ,0,),i,一阶电路,+,u,L,U,S,R,L,i,(,t,0,),C,u,C,二阶电路,一阶电路,描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,换路发生很长时间后状态,微分方程的特解,恒定或周期性激励,换路发生后的整个过程,微分方程的一般解,任意激励,（,1,）描述动态电路的电路方程为微分方程；,结论：,（,2,）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数,；,复频域分析法,时域分析法,经典法,状态变量法,数值法,卷积积分,拉普拉斯变换法,状态变量法,付氏变换,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,重点,分析方法,(1),t,= 0,与,t,= 0,的概念,认为,换路,在,t,=0,时刻进行,0,：,换路前一瞬间,0, ：,换路后一瞬间,三、电路的初始条件,初始条件为,t,= 0,时,u,，,i,及其各阶导数的值,0,0,0,t,f,(,t,),图示为电容放电电路，电容原先带有电压,U,o,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,:,R,+,C,i,u,C,(t=,0),解,:,特征根方程,：,得通解,：,代入初始条件得：,在动态电路的分析中，,初始条件是得到确定解答,的必需条件。,明确,(2),电容的初始条件,当,t,= 0,+,时,C,i,u,C,+,q,C,(0,+,),=,q,C,(0,),u,C,(0,+,) =,u,C,(0,),当,i,(,t,),为有限值时,q,C,=,Cu,C,电荷守恒,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，,则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,当,t,= 0,+,时,L,(0,+,),=,L,(0,),i,L,(0,+,) =,i,L,(0,),当,u,(,t,),为有限值时,L,=,Li,L,L,i,L,u,+,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，,则电感电流（磁链）换路前后保持不变,。,（,3,） 电感的初始条件,L,(0,+,)=,L,(0,),i,L,(0,+,)=,i,L,(0,),q,c,(0,+,),= q,c,(0,),u,C,(0,+,) =,u,C,(0,),（,4,）换路定律,（,1,）电容电流和电感电压为有限值是换路定律,成立的条件,注意,:,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变,。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变,。,（,2,）换路定律反映了能量不能跃变,。,（,5,）电路初始值的确定,(2),由换路定律,u,C,(0,+,) =,u,C,(0,)=8V,+,-,10V,i,i,C,+,8V,-,10k,0,+,等效电路,(1),由,0,电路求,u,C,(0,),或,i,L,(0,),+,u,C,-,+,-,10V,10k,40k,u,C,(0,)=8V,(3),由,0,+,等效电路求,i,C,(0,+,),i,C,(0,)=0,i,C,(0,+,),例,1:,求,u,C,(0+),，,i,C,(0,+,),+,-,10V,i,i,C,+,u,C,-,k,10k,40k,电容开路,电容用,电压源,替代,例2.,t,= 0,时闭合开关,S.,求,i,L,(0+),，,u,L,(0,+,).,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,)=2A,0,+,等效电路：,10V,S,1,4,i,L,L,u,L,+,解：,10V,1,4,i,L,(0,+,),u,L,(0,+,),+,注意,先求,4,10V,1,i,L,(0,),由换路定律,:,电感短路,电感用,电流源,替代,求初始值的步骤,:,由换路前电路（,0-,等效电路）,（一般为稳定状态）,求,u,C,(0,),和,i,L,(0,),；,独立初始条件,2.,由换路定律得,u,C,(0,+,),和,i,L,(0,+,),。,3.,画,0,+,等效电路,。,4.,由,0,+,电路求所需各变量的,0,+,值。,非独立初始条件,b.,电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a.,换路后的电路,（取,0,+,时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向）。,例,3,：,求,k,闭合瞬间各支路电流和电感电压,解,由,0,电路得,：,由,0,+,电路得,：,i,L,+,u,L,-,L,S,2,+,-,48V,3,2,C,i,L,2,+,-,48V,3,2,+,u,C,12A,24V,+,-,48V,3,2,+,-,i,i,C,+,-,u,L,零输入响应,(Zero,input response ),：,激励,(,电源,),为零，由初始储能引起的响应。,一、,RC,电路的零输入响应,(,C,对,R,放电,),u,C,(0,)=,U,0,解形式,u,C,(,t,)=,A,e,pt,特征方程,RCp,+1=0,S(,t,=0),+,u,C,R,C,i,+,u,C,初始值,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=,U,0,A,=,U,0,7-2,一阶电路的零输入响应,令,=,RC,具有时间的量纲,称,为时间常数,.,(,欧,法,=,欧,库,/,伏,=,欧,安,秒,/,伏,=,秒,),I,0,t,i,C,O,U,0,t,u,C,O,连续函数,跃变,时间常数,的大小反映了电路过渡过程时间的长短,大,过渡过程时间长,小,过渡过程时间短,U,0,t,u,c,0,小,大,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从理论上讲,t,时,电路才能达到稳态,.,但实际上一般认为,经过,3, 5,的时间,过渡过程结束,电路已达到新的稳态,.,t,0, 2,3,4,5,U,0,0.368,U,0,0.135,U,0,0.05,U,0,0.02,U,0,0.007,U,0,电压初始值一定：,C,大,（,R,不变）,w,=0.5,Cu,2,储能大,R,大,（,C,不变,）,i=u/R,放电电流小,放电时间,长,：,电容电压衰减到原来电压,36.8%,所需的时间。,能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕,.,设,u,C,(0,+,)=,U,0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,u,C,R,+,C,例,:,已知图示电路中的,电容原本充有,24V,电压,，求,K,闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律,。,解,:,这是一个求一阶,RC,零输入响应问题，有：,i,3,K,3,+,u,C,2,6,5F,i,2,i,1,+,u,C,4,5F,i,1,t 0,等效电路,分流得：,二、,RL,电,路的零输入响应,其解答形式为：,i,(,t,) =,A,e,pt,由特征方程,Lp,+,R,=0,得,由初值,i,(0,+,)=i,(0,)=,I,0,得,i,(0,+,)=A=,I,0,U,S,R,1,i,L,S,(,t,=0),L,u,L,+,R,(1),i,L,u,L,以同一指数规律衰减到零；,(,2),衰减快慢取决于,L,/,R,。,量纲,：,亨/欧=韦/安*欧=韦/伏=伏*秒/伏=秒,令,=,L,/,R,RL,电路的时间常数,3,5,过渡过程结束。, R,I,0,t,u,L,O,I,0,t,i,L,O,大,过渡过程时间长,小,过渡过程时间短,电流初值,i,(0),一定,：,L,大,W=Li,2,/2,起始能量大,R,小,P=Ri,2,放电过程消耗能量小,放电慢,大,能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕,.,设,i,L,(0,+,)=,I,0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,i,L,+,u,L,R,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,)=35/0.2=175 A=,I,0,u,V,(0,+,)=,875,kV,!,例,1,.,现象：电压表烧坏,!,L,=0.4H,V,R,V,5k,35V,S(,t,=0),i,L,u,V,+,R,=0.2,i,L,预防措施,：,L,=0.4H,35V,S(,t,=0),R,=0.2,D,例,2:,t,=0,时,开关,K,由,1,2,，,求,电感电压和电流及开关两端电压,u,12,。,解：,i,L,K(,t,=0),+,24V,6,H,3,4,4,6,+,u,L,2,1,2,t 0,i,L,+,u,L,R,小结：,1.,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是一个指数衰减函数。,2.,衰减快慢取决于时间常数,.,RC,电路 ：,=,RC,RL,电路,：,=,L,/,R,R,为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,3.,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,4.,一阶电路的零输入响应和初值成正比。,零状态响应,(,Zero,state response,),：,储能元件初始能量为零，在激励,(,电源,),作用下产生的过渡过程。,(2),求特解,u,C,= U,S,一、,RC,电路的零状态响应,(1),列方程：,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,齐次方程通解,非齐次,方程特解,强制分量,(,与输入激励的变化规律有关，,某些激励时,强制分量,为,电路的稳态解，此时强制分量称为,稳态分量,),u,R,u,C,(0,)=0,S(,t,=0),+,u,C,U,S,R,C,i,+,7-3,一阶电路的零状态响应,u,C,(0,+,)=,A+U,S,= 0,A=,U,S,(3),求齐次方程通解,u,C,“,自由分量,(,暂态分量，,变化规律由电路参数和结构决定,),(4),求全解,(5),定常数,U,S,U,S,u,C,u,C,强制分量,(,稳态,),自由分量,(,暂态,),u,c,t,O,t,i,O,能量关系,：,电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，,一部分储存在电容中，且,W,C,=,W,R,充电效率为,50%,U,S,R,C,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成,电场能量储存在电容中。,结论,：,例,:,t,=0,时,开关,K,闭合，已知,u,C,（,0,）,=0,，,求,（,1,）电容电压和电流，（,2,）,u,C,80V,时的充电时间,t,1,。,解,:,500,10,F,+,-,100V,K,+,u,C,i,(1),这是一个,RC,电路零状态响应问题，有：,（,2,）设经过,t,1,秒，,u,C,80V,二、,RL,电路的零状态响应,u,R,U,S,L,S (,t,=0),+,u,L,R,+,i,L,i,L,(0,)=0,t,u,L,U,S,t,i,L,0,0,例,1:,t,=0,时,开关,K,打开，求,t0,后,i,L,、,u,L,的变化规律,。,解,:,这是一个,RL,电路零状态响应问题，先化简电路，有：,i,L,K,+,u,L,2H,R,80,10A,200,300,i,L,+,u,L,2H,10A,R,eq,t,0,t,= 0,时闭合开关,S.,求,u,c,、,i,1,的零状态响应。,u,i,C,i,1,2,i,1,+,+,2V,+,1,1,1,0.8F,u,C,S,u,C,(V),t,1.5,O,例,2.,解法,1:,解法,2:,戴维南等效,.,i,1,2,i,1,+,+,2V,+,1,1,1,0.8F,u,C,S,+,1.5V,+,0.25,1,0.8F,u,C,S,小结：,1.,一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时，由输入激励引起的响应。解答有二个分量,:,u,C,=,u,C,+u,C,2.,时间常数与激励源无关。,3.,线性一阶网络的零状态响应与激励成正比。,7-4,一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,以,RC,电路为例，电路微分方程：,1.,全响应,全响应,解答为,：,u,C,(,t,) =,u,C,+,u,C,特解,u,C,= U,S,通解,=,RC,i,S(,t,=0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,u,C,(0,)=,U,0,u,C,(0,+,)=,A+U,S,=U,0,A=U,0,-,U,S,由初始值定,A,强制分量,(,稳态解,),自由分量,(,暂态解,),2.,全响应的两种分解方式,u,C,-,U,S,U,0,暂态解,u,C,U,S,稳态解,U,0,u,c,全解,t,u,c,0,全响应,=,强制分量,(,稳态解,)+,自由分量,(,暂态解,),着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应,=,零状态响应,+,零输入响应,着眼于因果关系,便于叠加计算,零输入响应,零状态响应,S(,t,=0),U,S,C,+,R,u,C,(0,)=,U,0,S(,t,=0),+,U,S,C,+,R,u,C,(0,)=,U,0,S(,t,=0),U,S,C,+,R,u,C,(0,)= 0,零状态响应,零输入响应,t,u,c,0,U,S,零状态响应,全响应,零输入响应,U,0,例,1:,t,=0,时,开关,K,打开，求,t0,后的,i,L,、,u,L,解,:,这是一个,RL,电路全响应问题：,i,L,K(,t,=0),+,24V,0.6H,4,+,u,L,8,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,或求出稳态分量：,全响应：,代入初值有：,6,2,A,A=4,例,2:,t,=0,时,开关,K,闭合，求,t0,后的,i,C,、,u,C,及电流源两端,的电压。,解,:,这是一个,RC,电路全响应问题，有：,+,10V,1A,1,+,u,C,1,+,u,1,稳态分量：,全响应：,A=,10,1F,+,u,3.,三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：,令,t,= 0,+,其解答一般形式为：,特解,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。,用,0,+,等效电路求解,用,t,的稳态,电路求解,直流激励时：,A,注意,：,电路换路以后的稳态电路的值,：,初始值：,若为独立初始条件，根据换路定理求,若为非独立,初始条件,，则要求解,0+,时刻的等效电路来求得初始值。,：,RC,电路,=,RC,RL,电路,=L/R,其中,R,为将,L,或,C,断开电路无源化后的等效电阻,全响应小结,:,1.,全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质,;,2.,零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；,3.,零输入响应,与零状态响应均满足齐性原理，但全响应不满足。,例,1,：已知：,t,=0,时开关闭合求换路后的,Uc,(,t,),。,1A,2,1,3F,+,-,u,C,t,u,c,2,(V),0.667,0,解,:,例,2:,t,=0,时,开关闭合，求,t0,后的,i,L,、,i,1,、,i,2,解：,三要素为：,i,L,+,20V,0.5H,5,5,+,10V,i,2,i,1,应用三要素公式,例,3.,已知：电感无初始储能,t,= 0,时合,S,1,t,=0.2s,时合,S,2,。,0 t 0.2s,解,i,10V,1H,S,1,(,t,=0),S,2,(,t,=0.2s),3,2,求换路后的电感电流,i,(,t,),。,i,t,(s),0.2,5,(A),1.26,2,0,例,4:,已知：,t,=0,时开关由,12,，求换路后的,u,C,(,t,),。,2A,4,1,0.1F,+,u,C,+,4,i,1,2i,1,8V,+,1,2,解,:,三要素为：,4,+,4,i,1,2i,1,u,+,1.,定,义,2.,延迟单位阶跃函,数,S,+,u,C,U,S,R,C,i,t,(,t,),O,t,(,t,),O,t,0,一、单位阶跃函数,(Unit step function),7-5,一阶电路的阶跃响应,t,= 0,合闸,i,(,t,) =,I,s,I,s,K,u,(,t,),K,E,u,(,t,),u,(,t,),（,1,）在电路中模拟开关的动作,t,= 0,合闸,u,(,t,) =,E,3.,单位阶跃函数的作用,（,2,）延迟一个函数,t,f,(,t,),0,t,f,(,t,),0,t,0,（,3,）起始一个函数,t,f,(,t,),0,t,0,4.,用单位阶跃函数表示复杂的信号,例,1,：,(,t,),t,f,(,t,),1,0,1,t,0,t,f,(,t,),0,t,0,-,(,t-t,0,),例,2,：,1,t,1,f,(,t,),0,2,4,3,例,4,：,1,t,1,f,(,t,),0,例,3,：,1,t,1,f,(,t,),0,2,4,3,例,5,：,t,1,u,(,t,),0,2,已知电压,u,(t,),的波形如图，试画出下列电压的波形。,t,1,u,(,t,),0,2,2,t,1,u,(,t,),0,1,1,t,1,u,(,t,),0,1,u,(,t,),t,1,0,2,1,二、一阶电路的阶跃响应,u,C,(0,)=0,+,u,C,U,S,(,t,),R,C,i,+,u,C,(0,)=0,S(,t,=0),+,u,C,U,S,R,C,i,+,t,i,O,U,S,u,C,t,O,激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。,延时阶跃响应,:,激励在,t=t,0,时加入，,则响应从,t=t,0,开始。,u,C,(,t,0,)=0,+,u,C,U,S,(,tt,0,),R,C,i,+,U,S,u,C,t,O,t,0,t,i,O,t,0,注意：,零状态网络的阶跃响应为,y,(,t,),(,t,),时，,则延时,t,0,的阶跃响应为,y,(,t-t,0,) (,t-t,0,).,非零状态网络的阶跃响应按全响应的方法求解,结论：,二者的区别,!,当电路的激励为单位阶跃,(,t,) V,或,(,t,) A,时，相当于将电路在,t,= 0,时接入,1V,或,1A,的直流源，因此单位阶跃响应和直流激励响应相同,10k,10k,10,(,tt,0,),+,100,F,例,1.,求阶跃响应,i,C,.,10k,10k,u,S,+,i,C,100,F,0.5,10,t,(s),u,S,(V),0,解,:,10k,10k,10,(,t,),+,100,F,10k,等效,10k,10k,+,10,(,t,)V,100,F,5k,5,(,t,) V,+,100,F,10k,10,(,t-t,0,)V,+,100,F,分段表示为：,分段表示为,t,(s),i,C,(mA,),0,1,0.632,0.5,波形,0.368,另解：,例,2.,已知,:,u,(,t,),如图示,i,L,(0)= 0,。,求,:,i,L,(,t,) ,并,画波形 .,解：,0 ,t,1,i,L,(0,+,)=0,t, 0,i,L,(,t,)=0,i,L,(,)=1A,i,L,(,t,) = 1,e,t,/ 6,A,=,5/,(1/5)=6 s,u,(,t,),1,2,1,2,0,t,(s),(V),+,u,(,t,),1,5,5,H,i,L,方法一：用分段函数表示,+,1V,1,5,5,H,i,L,1 2,i,L,(2,+,)=,i,L,(2,-,)= 2 - 1.846,e,-,( 2,-,1,)/ 6,=0.437 A,i,L,(,)=2A,i,L,(,t,) = 0.437,e,(,t,2,)/ 6,A,=6 s,=6 s,+,2V,1,5,5,H,i,L,1,5,5,H,i,L,u,(,t,)=,(,t,)+,(,t,1)2,(,t,2),(,t,),(1,e,t,/ 6,),(,t,),(,t,1),(1,e,(,t,1) / 6,),(,t,1),2,(,t,2),2(1,e,(,t,2) / 6,),(,t,2),i,L,(,t,) = (1,e,t,/ 6,),(,t,)+,(1,e,(,t,1) / 6,),(,t,1),2(1,e,(,t,2) / 6,),(,t,2) A,0,0.154,0.437,1,2,t,(,s,),i,L,(,t,),(A),解法二：用全时间域函数表示,(,叠加,),u,(,t,),1,2,1,2,0,t,(s),(V),本章要点,一、基本概念,换路过程，时间常数；换路定律,二、响应分解：,零状态响应与零输入响应；自由分量与强制分量；暂态分量与稳态分量,三、一阶分析方法,经典法：,RC,、,RL,一阶电路响应求解,三要素法：,