数字信号处理第三版第3章

第,3,章 离散傅里叶变换（,DFT,）,目 录,引言,离散傅里叶变换的定义及物理意义,离散傅里叶变换的基本性质,频率域采样,DFT,的应用举例,3.0,引言,傅里叶,(Fourier,1768,年,3,月,21,日,1830,年,5,月,16,日,),法国数学家和物理学家，他最著名的成就是研究了傅里叶级数，傅里叶变换也以他命名。,1822,年当选为科学院秘书，发表,热的分析理论,一文。在文中首次提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数,(FS),与傅里叶变换,(FT),的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析,(FA),。,为了使,FA,应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换,(DFT),，但因计算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到,1965,年美国,Coo1y,和,Tukey,两人提出快速傅里叶变换,(FFT),之后，,FA,才真正从理论走向实践，成为大家爱不释手的一种数学工具。,1830,年,5,月,16,日病逝于巴黎。,1768,年,3,月,21,日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。毕业后在军队中教授数学。,1795,年他到巴黎高等师范教书。,1798,年随拿破仑东征，任下埃及的总督。,1801,年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。,傅里叶分析公式关系,CTPS-FS,x,(,t,),X(,n,0,),x,(,t,),CTAS-CTFT,T,0,n,0,X(),t=n,T,=,T,DTPS-DFS,x,(,n,),X(,k,0,),x,(,n,),DTAS-DFT,N,DTAS-DTFT,x,(,n,),X(),k,0,=,2,k,/N,X(k),Continuous Time Aperiodic Signals Continuous Time Fourier Transform,Continuous Time Periodic Signals Continuous Time Fourier Series,Discrete Time Periodic Signals Discrete Time Fourier Series,Discrete Time Aperiodic Signals Discrete Time Fourier Transform,四种,傅里叶分析的公式,CTPS,：,CTAS,：,DTPS,：,DTAS,：,四种,傅里叶分析的图解,（动画演示）,规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；,一个域的连续必对应另一个域的非周期。,傅里叶变换对的数据如果连续或无限，则不适合在计算机上运算。从数值计算的角度出发，我们感兴趣的是时域及频域都离散且有限的情况，这就是我们本章要研究的离散傅里叶变换。,本章内容：,离散傅里叶变换,(Discrete Fourier Transform,，简称,DFT),是数字信号处理中非常重要的一种数学变换，除了在理论上相当重要之外，因其存在有效的快速算法，故在各种数字信号处理的算法中起核心作用。本章主要讨论,DFT,的定义和物理意义、,DFT,的基本性质、频率域采样和,DFT,的应用举例。,离散傅里叶变换,3.1,离散傅里叶变换的定义及物理意义,离散傅里叶变换,定义,为：对有限长序列的傅里叶变换进行等频率间隔取样。,有限长序列离散非周期,周期连续,数字频谱,非周期离散数字频谱,DTFT,定义：,指数因子（又称旋转因子或加权因子）,例：,已知序列,x,(,n,)=,(,n,),，求它的,N,点,DFT,。,已知序列,，求它的,N,点,DFT,。,下面推导,离散傅里叶变换逆变换公式,式中,m,是哑变量，对每个确定的,n,值，当,mn,时后项分式值为,0,，当,m=n,时，后项分式值为,N,DFT,与,DTFT,和,Z,变换的关系,结论：,DFT,是有限长序列,x,(,n,),的傅里叶变换在区间,0,，,2,上的,N,点等间隔采样；,DFT,是对有限长序列,x,(,n,),进行,Z,变换后在单位圆上进行等间隔采样的采样值。,DFT,与,Z,变换和,DTFT,关系图解说明,DFT,与,Z,变换和,DTFT,关系举例说明,DFT,的隐含周期性,X,(,k,),的周期性是,W,N,k,具有周期性。,X,(,k,),的周期性可理解为对,X,(,z,),在,Z,平面单位圆上进行等间隔采样的循环。,根据傅里叶分析的周期离散性或非周期连续性可知：一个域的离散对应另一个域的周期延拓。,结论：,DFT,中,x,(,n,),与,X,(,k,),都是长为,N,点的有限长序列，存在一一对应关系。,DFT,中各有限长序列可作为周期序列的一个周期，隐含周期性。,DFT,变换实现了信号在时域和频域中的离散与有限，开辟了数字技术在频域处理信号的新途径，推进了信号处理向更深更广的领域发展。,3.2,离散傅里叶变换的基本性质,3.2.1,线性性质,设有两个有限长序列，,长度分别为,N,1,和,N,2,，,若：,则,y,(,n,),的,N,点（,N,max(,N,1,，,N,2,),）,DFT,为：,其中,X,1,(,k,),和,X,2,(,k,),分别为,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),的,N,点,DFT,。,例,:,已知,k,=0,1,k,9,求其,10,点,I DFT,。,3.2.2,循环移位性质,循环,(,圆周,),移位：,一个长为,N,的有限长序列的圆周移位定义为：,将,x,(,n,),以,N,为周期进行周期延拓，将得到的序列,右,移,m,位，此时移出主值区间的序列值又依次从左侧进入主值区间。故可想象为：将序列,x,(,n,),逆排在一个,N,等分的圆周上，序列右移，圆周逆转（同方向移动）。过程演示：,圆周移位,时域圆周移位定理：,时域圆周移位，则频域移相。,频域圆周移位定理：,频域圆周移位，则在时域调制。,3.2.3,循环卷积定理,循环,(,圆周,),卷积,：,设序列,h,(,n,),和,x,(,n,),的,长度分别为,N,和,M,，则,h,(,n,),和,x,(,n,),的,L,点圆周卷积定义为：,式中,L,max(,N,，,M,),循环,卷积的计算,：,补,0,对齐；一顺一反；反排顺转；相乘相加。分别取,n,=0,1,2,即得全部,y(n,),值。,循环,卷积的计算的过程演示：,圆周卷积与线性卷积,说明：,圆周卷积本身并无实际的物理意义，但满足卷积定理。当满足一定条件时可以用圆周卷积实现线性卷积，故在计算机中，借助圆周卷积可提高线性卷积的运算速度。,循环卷积定理,3.2.4,复共轭序列的,DFT,应用：,如果,x,(,n,),是实序列，则,X,(,k,),圆周共轭对称，求,X,(,k,),时只要知道一半数目的,X,(,k,),即可。,3.2.5,DFT,的共轭对称性,任何有限长序列,x,(,n,),都可以表示成共轭对称分量,x,ep,(,n,),和共轭反对称分量,x,op,(,n,),之和：,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,),共轭对称序列,x,ep,(,n,),定义为,:,共轭反对称序列,x,op,(,n,),定义为,:,DFT,的共轭对称性,若,x,(,n,),的实部及虚部是,x,r,(,n,),及,x,i,(,n,),，即：,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),则：,其中：,X,(,k,),的共轭对称分量,X,(,k,),的共轭反对称分量,如果,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,),则：,其中：,3.3,频率域采样,设任意序列,x,(,n,),存在,Z,变换,且,X,(,z,),的收敛域包含单位圆。,2,）将,X,(,k,),进行,IDFT,得到,长度为,N,的有限长序列,x,N,(,n,),即：,x,N,(,n,)=,IDFT,X,(,k,),3,）可以推导：,x,N,(,n,),是,原序列,x,(,n,),以,N,为周期进行周期延拓取主值的结果。,1,）在单位圆上对,X,(,z,),进行等间隔采样,N,点得到,x,(,n,),以,N,为周期延拓取主值的混叠现象,频域采样定理,如果序列,x,(,n,),的长度为,M,，则只有当频域采样的点数,N,M,时，才可由频域采样值,X,(,k,),恢复原序列,x,(,n,),，否则会产生时域混叠现象。,下面推导用频域采样值,X,(,k,),表示,X,(,z,),的内插公式：,3.4 DFT,的应用举例,DFT,的广泛应用是在其快速算法,FFT,出现之后，主要应用在卷积和相关的具体计算，及用,DFT,近似计算信号的傅里叶变换。本节介绍,DFT,的两个重要应用：一是用,DFT,计算卷积；二是用,DFT,对连续信号或序列进行谱分析。,3.4.1,用,DFT,计算线性卷积,补零至,L,求,FFT,补零至,L,求,FFT,求IFFT,LN+M-1,利用圆周卷积计算线性卷积的条件是：,LN+M-1,演示：,混叠现象,用,DFT,计算线性卷积时的,可能问题：,如果,当,x,(,n,),与,h,(,n,),都较长且,长度差不多时，,FFT,算法优点明显。如果,x,(,n,),长度比,h,(,n,),长度大得多时，,h,(,n,),要补很多零值，这时,FFT,的优点表现不出来；而且要等,x,(,n,),全部输入完后才能计算输出，导致延时很大。,线性卷积的重叠相加法：动画演示,（,重叠相加法,）,线性卷积的重叠保留法：动画演示,（,重叠保留法,）,学习参考：,徐庆征,彭丽,.,基于,MATLAB,的分段卷积计算,J.,苏州科技学院学报,(,工程技术版,),2006,(02),解决办法：,将长序列分段处理（重叠相加法和重叠保留法）。,3.4.2,用,DFT,对信号进行谱分析,可行性分析：,演示,DFT,对,FT,逼近的全过程,信号频谱分析的,基本流程：,可能的问题及解决办法：,混叠现象、截断效应、栅栏效应。,学习参考：,张登奇,杨慧银,.,信号的频谱分析及,MATLAB,实现,J.,湖南理工学院学报,(,自然科学版,),2010,(03),结论：,离散信号的频谱与连续信号的频谱只相差一个,1/T,常数，,DFT,值可较好地反映信号的频谱趋势，可以用来分析信号的频谱。,第,3,章 复习,作业：,P105 T16,、,T18,1,、,DFT,的定义,（,DFT,的定义与计算、,I DFT,的推导与计算）,2,、,DFT,与,Z,变换和傅里叶变换的关系,（采样与插值的关系）,3,、,DFT,的性质,（线性性质与卷积定理）,4,、频率域采样,（频域采样定理）,5,、,DFT,的应用,（计算卷积与分析频谱）,再见,