分类加法计数原理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分类加法计数原理,计数,实际生活需要,汽车,火车,杭州,北京,1,2,3,杭州,北京,1,2,3,种,2,种,3+2=5,种,引例,1,从杭州到北京，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，汽车有,3,班，火车有,2,班，那么一天中，乘坐这些交通工具从杭州到北京共有多少种不同的走法？,用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？,N=26,10=36,引例,2,编一个号码可以分成两类,引例,3,两个袋子里分别装有,40,个不同的红球，,60,个不同的白球，从中任取一个球，有多少种取法？,40,个,60,个,取一个球可以分成两类，,一类是从装红球的袋子里取出一个红球，有,40,种取法,另一类是从装白球的袋子里取出一个白球，有,60,种取法,因此取法种数共有,40+60=100,种,分类加法计数原理,完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有,m,种不同的方法，在第二类方案中有,n,种不同的方法。那么完成这件事共有,N,m+n,种不同的方法。,例：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，,A,B,两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：,A,大学,B,大学,生物学 数学,化学 会计学,医学 信息技术学,物理学 法学,工程学,如果这名同学只能选一个专业，那么他有多少中选择？,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,N=5+4=9,选择一个专业,例：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，,A,B,两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：,A,大学,B,大学,生物学 数学,化学 会计学,医学 信息技术学,物理学 法学,工程学,如果这名同学只能选一个专业，那么他有多少中选择？,在这个例题中，如果数学也是,A,大学的强项专业，则,A,大学共有,6,个专业可以选择，,B,大学有,4,个专业可以选择，那么用分类计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为,6+4=10,，对吗？,完成这件事的两类办法中的各种方法是互不相同的,无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,N=6+4-1=9,1.,如图所示的是一个电路图,从左到右可通电的线路共有,(,),.,A,.,4,条,B,.,5,条,C,.,6,条,D,.,9,条,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,N=3+2=5,2.,现有一年级的学生,3,名，二年级的学生,5,名，三年级的学生,4,名,.,从中任选,1,人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？,N=3+5+4=12,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,完成一件事，有,n,类办法,.,在第,1,类办法中有,m,1,种不同的方法，在第,2,类方法中有,m,2,种不同的方法，,，在第,n,类方法中有,m,n,种不同的方法，则完成这件事共有,种不同的方法,N=m,1,+m,2,+m,n,2,）要适当根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，并对每类方法计数,.,1,）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此称分类加法计数原理。,说明,例：在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个,?,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,组成个位数字大于十位数字的两位数,分析个位数字,可分以下几类,:,个位数字是,9,则十位数字可以是,1,2,3,8,中的一个,故有,8,个,;,个位数字是,8,则十位数字可以是,1,2,3,7,中的一个,故有,7,个,;,同理,个位数字是,7,的有,6,个,;,个位数字是,6,的有,5,个,;,个位数字是,2,的只有,1,个,.,由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有,1,+,2,+,3,+,4,+,5,+,6,+,7,+,8,=,36(,个,),不易回答,将个位数字比十位数字大的两位数一一写出,:,12,13,14,15,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,29,34,35,36,37,38,39,45,46,47,48,49,56,57,58,59,67,68,69,78,79,89,.,按十位数上的数字分别是,1,2,3,4,5,6,7,8,的情况分成,8,类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有,8,个,7,个,6,个,5,个,4,个,3,个,2,个,1,个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有,8,+,7,+,6,+,5,+,4,+,3,+,2,+,1,=,36(,个,),注：当分类不易说明时，多数是需要进行分类讨论,例：,A,与,B,是,I=,1,2,3,4,的子集,若,A,B=,1,2,则称,(,A,B,),为,一个理想配集,若将,(,A,B,),与,(,B,A,),看成不同的,“,理想配集,”,则符合,此条件的,“,理想配集,”,的个数是,(,),.,A,.,4B,.,8C,.,9D,.,16,对子集,A,进行分类讨论,.,当,A,是二元集,1,2,时,B,可以,1,2,3,4,1,2,4,1,2,3,1,2,共,4,种情况,;,当,A,是三元集,1,2,3,时,B,可以为,1,2,4,1,2,共,2,种情况,;,当,A,是三元集,1,2,4,时,B,可以为,1,2,3,1,2,共,2,种情况,;,当,A,是四元集,1,2,3,4,时,此时,B,为,1,2,共,1,种情况,.,根据分类加法计数原理,共有,4,+,2,+,2,+,1,=,9,种情况,故符合此条件的,“,理想配集,”,有,9,个,.,枚举法,例,:,将,A,B,C,D,四名同学按一定顺序排成一排,要求自左向右排列,且,A,不排在第一,B,不排在第二,C,不排在第三,D,不排在第四,试写出,他们四个人所有不同的排法,.,由此可知,四个人共有,9,种不同的排法,.,【,方法指导,】,按照排列的要求,排在第一的只能是排除,A,以外的三个,因此可分为三类,.,【,解析,】,因为,A,不排在第一,所以第一只能排,B,C,D,中的一个,据此可分为三类,:,树状图法,例：射击,8,枪,其中,4,枪命中,恰有,3,枪连中的情况有多少种,?,第,1,枪中,第,2,枪中,第,3,枪中,第,4,枪中,第,5,枪中,第,6,枪中,第,7,枪中,第,8,枪中,分析：,3,枪连中有以下几种情况,若第,1,2,3,枪连中,则命中的另一枪应处于第,5,6,7,8,枪的位置,有,4,种情况,如下表,:,若第,2,3,4,枪连中,则命中的另一枪应处于第,6,7,8,枪的位置,有,3,种情况,若第,3,4,5,枪连中,则命中的另一枪应处于第,1,7,8,枪的位置,有,3,种情况,;,若第,4,5,6,枪连中,则命中的另一枪应处于第,1,2,8,枪的位置,有,3,种情况,;,若第,5,6,7,枪连中,则命中的另一枪应处于第,1,2,3,枪的位置,有,3,种情况,;,若第,6,7,8,枪连中,则命中的另一枪应处于第,1,2,3,4,枪的位置,有,4,种情况,.,故共有,4,+,3,+,3,+,3,+,3,+,4,=,20,种情况,.,框图法,当堂检测：,1,、甲、乙、丙三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过,4,次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？,2,、同室,4,个人各写一张贺卡，放在一起，再取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不同的方法？,分析：,（,1）根据题意画出树状图，由树状图即可求得经过4次传球后，,球仍回到甲手中的不同传球的方法,分析,（,2,）进行分类讨论：,甲取得乙卡时，人、卡分配方案如下表，,有,3种分配方案，.,.,注：在次数不是很多的情况下，操作类问题通常可以用画出树状图或框图，对于有限制条件的抽取，选取问题的计数，当数目不大时，也可用枚举法。,2,.,应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点,:,(1),明确题目中所指的,“,完成一件事,”,指的是什么事,怎样才算是完成这件事,.,(2),完成这件事的,n,类办法中的各种方法是互不相同的,无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,.,(3),确立恰当的分类标准,这个,“,标准,”,必须满足,:,完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类办法,;,分属于不同两类办法中的两种方法不能相同,即不重复,无遗漏,.,完成一件事，有,n,类办法,.,在第,1,类办法中有,m,1,种不同的方法，在第,2,类方法中有,m,2,种不同的方法，,，在第,n,类方法中有,m,n,种不同的方法，则完成这件事共有,种不同的方法,N=m,1,+m,2,+m,n,小结：,1,、分类加法计数原理,3,、在次数不是很多的情况下，操作类问题通常可以用画出树状图或框图，对于有限制条件的抽取，选取问题的计数，当数目不大时，也可用枚举法。,