空间向量的数乘运算(公开课)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.2 空间向量的数乘运算,回 顾,a,O,b,结论：,空间任意两个向量,都可,平移,到同一个平面内，成为,同一平面内的向量.,因此凡是,涉及,空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论,仍适用,于它们.,b,a,一、空间向量的数乘：,2、空间向量的数乘的性质,（1）当,时，,与,同向,（2）当,时，,与,反向,1、定义：,实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘,（3）当,时，,3、空间向量的数乘的运算律,（3）数乘结合律：,（1）数乘分配律1：,（2）数乘分配律2：,1、定义：,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做,共线向量,二、空间中的共线向量,（或平行向量）,（3）非零共线向量的传递性：,（1）零向量与任一向量共线，,（4）空间共线向量定理：,对空间任意两个向量,有且只有一个实数 ，,使,思考1：为什么要强调,思考2：这个定理有什么作用？,1、判定两个向量是否共线,2、判定三点是否共线,O,A,B,P,a,若P为A,B中点,则,向量参数表示式,推论:,如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式,其中向量 叫做直线 的方向向量.,若,则A、B、P三点共线。,A、B、P三点共线,结论1:,三、共面向量:,1.平行于同一平面的向量,叫做,共面向量,.,注意：,空间任意两个向量是共面的,，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,d,b,a,c,由,平面向量基本定理,知，如果 ，,是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ，使,如果空间向量 与两不共线向量 ，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如果 ，那么向量 与向量 ,有什么位置关系？,C,2.共面向量定理：,如果两个向量,，,不共线,，,则向量 与向量 ，共面的充要,条件是,存在实数对,x,y,使,推论,:,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使,C,对空间任一点O,有,填空：,1-,x,-,y,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.,由此可判断空间任意四点共面,共面向量定理的剖析,如果两个向量,a,，,b,不共线,向量,c,与向量,a,，,b,共面,存在唯一的一对实数x，y，使,c,x,a,y,b,c,x,a,y,b,向量,c,与向量,a,，,b,共面,(性质),(判定),P、A、B、C 四点共面,结论2:,解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得,例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？,练习3.,下列说法正确的是：,(A),平面内的任意两个向量都共线,(B),空间的任意三个向量都不共面,(C),空间的任意两个向量都共面,(D),空间的任意三个向量都共面,例2(,课本例,)如图，已知平行四边形,ABCD,从平,面,AC,外一点,O,引向量,求证：,四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,EG/,平面,AC,.,例2(课本例)已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC,/,平面EG.,证明：,四边形ABCD为,（）,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,例2,(课本例),已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC,/,平面EG。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,由知,A,M,C,G,D,B,例3:,如图,已知空间四边形ABCD中，,向量,若M为BC的中点，,G为BCD的重心，试用 表示下列向,量：,例4,平行六面体中,点,MC,=2,AM,A,1,N,=2,ND,设,AB,=,a,AD,=,b,AA,1,=,c,试用,a,b,c,表示,MN,.,分析:要用,a,b,c,表示,MN,只要结合图形,充,分运用空间向量加法,和数乘的运算律即可.,A,B,C,D,A,1,B,1,D,1,C,1,M,N,解:,连,AN,则MN=MA+AN,MA=AC=(,a,+,b,),1,3,1,3,AN=AD+DN=ADND,=（2,b,+,c,),1,3,=（,a,+,b,+,c,),1,3,MN=MA+AN,例4,平行六面体中,点,MC,=2,AM,A,1,N,=2,ND,设,AB,=,a,AD,=,b,AA,1,=,c,试用,a,b,c,表示,MN,.,A,B,C,D,A,1,B,1,D,1,C,1,M,N,共线向量,共面向量,定义,向量所在直线互相平行或重合,平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,定理,推论,运用,判断三点共线，或两向量平行,判断四点共面，或三向量共面,小结,共面,