周期信号傅里叶级数分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2周期信号傅里叶级数分析,主要内容,三角函数形式的傅氏级数,指数函数形式的傅氏级数,两种傅氏级数的关系,频谱图,函数的对称性与傅里叶级数的关系,周期信号的功率,傅里叶有限级数与最小方均误差,一三角函数形式的傅里叶级数,是一个完备的正交函数集,t,在一个周期内，,n,=0,1,.,由积分可知,1.三角函数集,在满足,狄氏条件,时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,2级数形式,狄利克雷（Dirichlet）条件,条件3:在一周期内，信号绝对可积。,条件2：,在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。,条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。,例1,不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。,例2,不满足条件2的一个函数是,对此函数，其周期为1，有,在一周期内，信号是绝对可积的(,T,1,为周期),说明,与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数,F,n,都是有限值，因为,例3,周期信号 ，周期为1，不满足此条件。,例3-2-1,求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。,周期锯齿波的傅里叶级数展开式为,直流,基波,谐波,其他形式,余弦形式,正弦形式,关系曲线称为幅度频谱图；,关系曲线称为相位频谱图。,可画出,频谱图。,周期信号频谱具有,离散性、谐波性、收敛性,。,幅度频率特性和相位频率特性,二指数函数形式的傅里叶级数,1复指数正交函数集,2级数形式,3系数,利用,复变函数的正交特性,说明,三两种系数之间的关系及频谱图,利用欧拉公式,相频特性,幅频特性和相频特性,幅频特性,频谱图,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线,请画出其幅度谱和相位谱。,例3-2-2,化为余弦形式,三角函数形式的频谱图,三角函数形式的傅里叶级数的谱系数,化为指数形式,整理,指数形式的傅里叶级数的系数,谱线,指数形式的频谱图,三角形式与指数形式的频谱图对比,三角函数形式的频谱图,指数形式的频谱图,四总结,（1）周期信号,f,(,t,)的傅里叶级数有两种形式,（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质,（2）两种频谱图的关系,（4）引入负频率,(1)周期信号,f,(,t,)的傅里叶级数有两种形式,三角形式,指数形式,(2)两种频谱图的关系,单边频谱,双边频谱,关系,(3)三个性质,注意：,冲激函数序列的频谱不满足收敛性,周期单位冲激序列的频谱,分析：,狄氏条件,是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即,满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。,(4)引入负频率,五函数的对称性与傅里叶级数的关系,偶函数,奇函数,奇谐函数,偶谐函数,注：指交流分量,1偶函数,信号波形相对于纵轴是对称的,2,奇函数,3奇谐函数,f,(,t,)的傅氏级数偶次谐波为零，即,若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，,此时波形并不发生变化：,4偶谐函数,f,(,t,)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量,六周期信号的功率,这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;,表明：,周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；,也就是说，时域和频域的能量是守恒的。,绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。,证明,对于三角函数形式的傅里叶级数,平均功率,对于指数形式的傅里叶级数,总平均功率=各次谐波的平均功率之和,七傅里叶有限级数与最小方均误差,误差函数,方均误差,