与角平分线有关的辅助线(经典加深)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,与角平分线有关的辅助线,台州市书生中学,对应边相等、对应角相等,全等形,角平分线,SSS,、,SAS,、,ASA,、,AAS,；,HL,全等三角形,性,质,定义,应用,判,定,全等三角形知识体系,既然全等三角形的对应边和对应角都相等。那么今后在,证明线段（边）和角相等,的问题中，,全等,就将被作,为一个基本方法,来使用（但请注意,不是唯一,的方法），,学以致用,生活中的对称,轴对称,等腰三角形,等边三角形,轴对称图形,用坐标表示轴对称,利用轴对称变换作图,：,作轴对称图形,轴对称知识体系,线段的垂直平分线,如图，,ABCDEF,，,（,1,）若,BAC=70,，,F=80,，则,B=,（,2,）若,AB=6,，,DF=4,则,EF,的长度可取下列各数中的哪个值？（）,（,A,）,1,（,B,）,2,（,C,）,9,（,D,）,11,（,3,）若,ABC,的面积为,24,，则,DEF,的面积为,（）若,AG,是,ABC,的一条中线，,DH,是,DEF,的一条中线，且,AG=5,，则,DH=,30,C,24,70,80,5,B,A,C,D,E,F,6,4,G,H,例：已知，,AC,、,BD,相交于,O,，,BO=DO,，,CO=AO,，过,O,任作一直线,EF,分别交,BC,、,AD,于,E,、,F,，求证：,OE=OF,。,O,F,E,D,C,B,A,BO=DO,，,BOC=DOA,（对顶角相等）,CO=AO,BOC DOA,（,SAS,）,B=D,（全等三角形的对应角相等）,OB=OD,，,BOE=DOF,BOE DOF,（,ASA,）,OE=OF,（全等三角形的对应边相等）,证明,：,在,BOE,与,DOF,中,B=D,在,BOC,与,DOA,中,例题讲解,须两次全等。,如图，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,BD=CD,求证：,B=C,证明：作DEAB，DF AC，垂足分别为EF,AD平分,BAC，,DEAB，DF AC,DEDF，,BEDCFD90,在BDE和CDF中,BDCD,DEDF,BDE,CDF,B=C,F,E,例题讲解,如图，,B,C,90,，,E,是,BC,中点，,DE,平分,ADC,，求证,（,1,）,AE,平分,DAB,，（,2,）,AB,CD,AD,，,（,3,）,AE,DE,。,证明：作,EF AD,垂足为,F,DE,平分,ADC,EF,AD,，,C,90,EF,EC,E,是,BC,中点,EC,EB,EF,EB,EF,AD,，,B,90,AE,平分,DAB,活学活用,例4.如图，ABCD,，AE平分 DAB，DE平分ADC。,求证：ABCDAD,E,是BC中点,.,证明：在,DA,上截取,DF,DC,，连结,EF,辅助线做法一：向角的两边作垂线段（利用角平分线性质），自角平分线一点，是一种常见的。,概括归纳,归纳：当题目的条件出现于某个角的平分线时，可在这个 角的两边截取相等的线段，利用角的轴对称性构造全等三角形，也是一种常用的辅助线。,例,3.,如图所示，在四边形,ABCD,中，,ABAD,，,AC,平分,BAD,；,B ADC,互补,求证：,CD,BC,证明：作CE AD，交AD延长线于E,作CF AB，垂足为F,AC平分 BAC，CE AD，CF AB,CECF，CEDCFB90,B与 ADC互补,B ADC180,CDEADC180,CDE B,在CED和CFB中,CEDCFB,CDE B,CECF,CED,CFB,CDBC,例,5.,如图所示，在四边形,ABCD,中,AB AD,，,AC,平分,BAD,，,B,与,D,互补。,求证：,CD,BC,。,证明：在AB上截取AEAD，连结CE,AC平分BAD,DAC BAC,在ADC和AEC中,ADAE,DAC BAC,ACAC,ADC,AEC,CDCE，D AEC,B与D互补,BD 180,AEC CEB 180,CEB B,CE,CB,CD,BC,例,6.,如图，点,P,是,ABC,的角平分线,AD,上任一点，且,ABAC,。,求证：,PB,PCAB,AC,例,7.,如图所示，,ABCD,，,E,是,BC,中点，,DE,平分,ADC,求证：,AE,平分,BAD,。,B,C,A,D,F,E,例8：如图，ABAC，A90，BD平分 ABC，,CEBD，交BD的延长线为E。,求证：BD2CE,例,9,：已知：如图，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,，,CDAD,D,为垂足，,ABAC,。,求证：,2=1+B,A,B,C,E,D,2,1,3,归纳,:,利用角的轴对称性作角平分线的垂线，构造一对全等,三角形（等腰三角形），又是与角平分线有关的一种,添加辅助线的方法。,小结,1.,全等三角形和轴对称的基础知识,2.,与角平分线有关的辅助线（常见有三种）。,:,（,1,）基于角平分线的性质作辅助线。,（,2,）基于以角平分线为对称轴而作的辅助线。,（,3,）基于等腰三角形的“三线合一”性质而作的辅 线。,三.用坐标表示轴对称,小结：,在平面直角坐标系中，关于,x,轴对称的点,横坐标相等,纵坐标互为相反数.,关于,y,轴对称的点,横坐标互为相反数,纵坐标相等.,点（x,y）,关于,x,轴对称的点的坐标为_,.,点（x,y）,关于,y,轴对称的点,的坐标为,_,.,(x,y),(x,y),4,、轴对称的性质：,关于某直线对称的两个图形是全等形。,如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。,轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。,如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。,1,、什么叫线段垂直平分线？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的,垂直平分线,，,也叫,中垂线。,2,、线段垂直平分线有什么性质？,线段垂直平分线上的点,与这条线段的两个端点的距离相等,（纯粹性）。,你能画图说明吗？,线段的垂直平分线,3.,逆定理,：,与一条线段两个端点距离相等的点，,在线段的垂直平分线上,。（完备性）,利用轴对称变换作图：,如图：要在燃气管道,L,上修建一个泵站，分别向,A,、,B,两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？,A,B,L,P,等边三角形,1.,等边三角形的,性质：,等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于,60,0,。,2,、等边三角形的判定：,三个角都相等的三角形是等边三角形。,有一个角是,60,0,的等腰三角形是等边三角形。,3.,在直角三角形中，如果一个锐角等于,30,0,，,那么它,所对的直角边等于斜边的一半。,