傅里叶级数(数学)

单击此处编辑母版标题样式,一、三角级数 三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,10.7,傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,一、三角级数 三角函数系的正交性,三角级数,形如,的级数称为三角级数,其中,a,0,a,n,b,n,(,n,1,2,),都是常数,.,1,cos,x,sin,x,cos,2,x,sin 2,x, ,cos,nx,sin,nx,三角函数系,三角函数系的正交性,三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在,上的积分等于零, 而,任何两个相同的函数的乘积在,上的积分不等于零,.,提示,:,a,0,p,=,0,+,+,0,提示,:,a,n,p,=,0,+,+,0,提示,:,二、函数展开成傅里叶级数,傅里叶系数,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,且能展开成三角级数,:,且假定三角级数可逐项积分,则,b,n,p,=,0,+,+,0,二、函数展开成傅里叶级数,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,且能展开成三角级数,:,且假定三角级数可逐项积分,则,系数,a,0,a,1,b,1,叫做函数,f,(,x,),的傅里叶系数,.,傅里叶系数,傅里叶级数,三角级数,称为傅里叶级数,其中,a,0,a,1,b,1, ,是傅里叶系数,.,然而,函数,f,(,x,),的傅里叶级数是否一定收敛,?,如果它收敛,它是否一定收敛于函数,f,(,x,),?,一般来说,这两个问题的答案都不是肯定的,.,一个定义在,(,),上周期为,2,的函数,f,(,x,),如果它在一个周期上可积,则一定可以作出,f,(,x,),的傅里叶级数,.,定理,(,收敛定理 狄利克雷充分条件,),设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,如果它满足,:,(1),在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,(2),在一个周期内至多只有有限个极值点,则,f,(,x,),的傅里叶级数收敛,并且,当,x,是,f,(,x,),的连续点时,级数收敛于,f,(,x,),;,当,x,是,f,(,x,),的间断点时,级数收敛于,.,傅里叶级数,三角级数,称为傅里叶级数,其中,a,0,a,1,b,1, ,是傅里叶系数,.,例,1,设周期为,2,的函数,f,(,x,),在,),上的表达式为,将,f,(,x,),展开成傅里叶级数,.,解,所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道,f,(,x,),的傅里叶级数收敛,.,当,x,k,时傅里叶级数收敛于,当,x,k,时级数收敛于,f,(,x,),.,解,所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道,f,(,x,),的傅里叶级数收敛,.,因为傅里叶系数为,所以,f,(,x,),的傅里叶级数展开式为,(,x,例,2,设周期为,2,的函数,f,(,x,),在,),上的表达式为,将,f,(,x,),展开成傅里叶级数,.,周期延拓,设,f,(,x,),只在,上有定义,我们可以在,),或,(,外补充函数,f,(,x,),的定义,使它拓广成周期为,2,的周期函数,F,(,x,),在,(,),内,F,(,x,),f,(,x,),.,延拓前,y,=,f,(,x,),延拓后,y,=,F,(,x,),解,所给函数在区间,上满足收敛定理的条件,并且拓广为周期函数时,它在每一点,x,处都连续,因此拓广的周期函数的傅里叶级数在,上收敛于,f,(,x,),.,例,3,将函数,展开成傅里叶级数,.,所以,f,(,x,),的傅里叶级数展开式为,因为傅里叶系数为,解,所给函数在区间,上满足收敛定理的条件,并且拓广为周期函数时,它在每一点,x,处都连续,因此拓广的周期函数的傅里叶级数在,上收敛于,f,(,x,),.,例,3,将函数,展开成傅里叶级数,.,三、正弦级数和余弦级数,奇函数与偶函数的傅里叶系数,a,n,0 (,n,0,1,2,),b,n,0 (,n,1,2,),.,当,f,(,x,),为奇函数时,f,(,x,)cos,nx,是奇函数,f,(,x,)sin,nx,是偶函数,故傅里叶系数为,当,f,(,x,),为偶函数时,f,(,x,)cos,nx,是偶函数,f,(,x,)sin,nx,是奇函数,故傅里叶系数为,正弦级数和余弦级数,如果,f,(,x,),为奇函数,那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数,如果,f,(,x,),为偶函数,那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数,例,4,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,它在,),上的表达式为,f,(,x,),x,.,将,f,(,x,),展开成傅里叶级数,.,解,所给函数满足收敛定理的条件,因此,f,(,x,),的傅里叶级数收敛,.,当,x,(2,k,1),(,k,0,1,2,),时,傅里叶级数收敛于,当,x,(2,k,1),(,k,0,1,2,),时,傅里叶级数收敛于,f,(,x,),.,f,(,x,),的图形,和函数的图形,解,所给函数满足收敛定理的条件,因此,f,(,x,),的傅里叶级数收敛,.,当,x,(2,k,1),(,k,0,1,2,),时,傅里叶级数收敛于,f,(,x,),.,因为,f,(,x,),在,(,),上是奇函数,其,傅里叶级数是正弦级数,而,所以,f,(,x,),的傅里叶级数展开式为,(,x,例,4,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,它在,),上的表达式为,f,(,x,),x,.,将,f,(,x,),展开成傅里叶级数,.,当,x,(2,k,1),(,k,0,1,2,),时,傅里叶级数收敛于,例,5,将周期函数 展开成傅里叶级数,其中,E,是正的常数,.,解,函数,u,(,t,),在整个数轴上连续,满足收敛定理的条件,因此,u,(,t,),的傅里叶级数处处收敛于,u,(,t,),.,因为,u,(,t,),是周期为,2,的偶函数,其,傅里叶级数是余弦级数,所以,u,(,t,),的傅里叶级数展开式为,而,所以,u,(,t,),的傅里叶级数展开式为,而,(,t,在端点,x,0,及,x,处,级数的和为零,.,(0,x,例,6,将函数,f,(,x,),x,1(0,x,),分别展开成正弦级数和余弦级数,.,解,