数学物理方程主要内容

,数学物理方程与特殊函数,第,1,章,典型方程和定解条件的推导,数学物理方程与特殊函数,第,1,章,典型方程和定解条件的推导,数学物理方程与特殊函数,第,1,章,典型方程和定解条件的推导,数学物理方程主要内容,三种基本方程、五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数,通解法,行波法（达朗贝尔公式）,分离变量法,(Fourier,级数法,),积分变换法,格林函数法,波动方程,热传导,拉普拉斯方程,贝塞尔函数,勒让德函数,叠加原理,齐次化原理,三种基本问题,初值问题,边值问题,混合问题,回顾一：,哈密尔顿算子或梯度算子，读作,nabla,拉普拉斯算子,一些常见符号,与梯度算子有关的场论运算,平面上的拉普拉斯算子,(4),按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和 变系数微分方程,；,(5),按自由项是否为零分为,齐次方程,和,非齐次方程,(1),按自变量的个数，分为二元和多元方程,；,(2),按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和,非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程,；,(3),按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶,和高阶微分方程,；,回顾二：,偏微分方程的一般分类,判断下列方程类型：,一阶线性,三阶拟线性,一阶非线性,Warm-up,调和方程,：,热传导方程：,波动方程：,回顾三：三类典型偏微分方程,琴弦的振动；,杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等,热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动,空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布,或,1.3,定解条件和定解问题,通解和特解,定解条件,定解问题,第一章 偏微分方程定解问题,1.5,叠加原理和齐次化原理（冲量原理）,7,举例,（设未知函数为二元函数）,1.,2.,作变量代换,解为：,解为：,1.2.1,通解与特解,为任意函数,为任意函数,8,举例,（未知函数为二元函数）,4.,3.,解为：,变换,解为：,例 验证,是方程,的解，其中,f,g,是任意两个二阶,连续可微函数，,a,为正常数。,解：,故,移项即证。,例：二维,Laplace,方程 的一些特解：,特解,中心对称解：,周期称解：,多项式称解：,什么是定解问题？,泛定方程,：,描述某类物理现象共同规律的数学表达 式,偏微分方程,（,比如，波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等等）。,注,-,它的解可含任意函数，因而不能用来确定或反映一个真实的物理过程。,定解条件,：,伴随一个完整的物理过程发生的具体条件，一般包括,初始条件,与,边界条件,。,初始条件：,用来说明某一具体物理现象,初始状态的条件,。,边界条件,：,用来说明某一具体物理现象,边界上的约束情况的条件,。,注,：初始条件的个数与方程中出现的未知函数,u,对时间变量,t,的导数的阶数有关。,边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,其他条件,：,能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。,定解问题：,泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定解问题，即,定解问题,=,泛定方程,+,定解条件,。,基本概念,初始时刻的温度分布：,B,、热传导方程的初始条件,C,、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,不含初始条件，只含边界条件条件,A,、波动方程的初始条件,1,、初始条件,描述系统的初始状态,系统各点的初位移,系统各点的初速度,1.3,定解条件,(2),自由端：弹性杆,x=,a,端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2,、边界条件,描述系统在边界上的状况,A,、波动方程的边界条件,(1),固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3),弹性支承端：在,x,=,a,端受到弹性系数为,k,的弹簧的支承。,或,或：,B,、热传导方程的边界条件,(1),第一类（,Dirichlet,）边界条件,(,设,S,为给定区域,V,的边界,),(2),第二类（,Neumann,）边界条件,(3),第三类（,Robin,）边界条件,牛顿冷却定律,：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。,热交换系数；周围介质的温度,(,齐次边界条件,),（齐次，表示绝热）,热场,1,、定解问题,定解问题的概念,(1),初始问题,（,Cauchy,问题）,=,泛定方程,+,初始条件,：,只有初始条件，没有边界条件的定解问题；,(2),边值问题,=,泛定方程,+,边界条件,：,没有初始条件，只有边界条件的定解问题；,(3),混合问题,=,泛定方程,+,初始条件,+,边界条件,：,既有初始条件，也有边界条件的定解问题。,波动方程,输运方程,拉普拉斯方程,泊松方程,第一类边界条件,第二类,第三类,周期性,边界条件,有界性,条件,演化方程,稳定方程,线性边界条件,自然边界条件,初始状态,初始速度,泛定方程,边界条件,初始条件,定解问题,2,、定解问题的适定性,一个定解问题是否能够反映实际，从数学的角度看主要是三个方面的问题：,解的存在性,:,在给定的定解条件下，,定解问题是否有解,?,解的唯一性,:,在给定的定解条件下，定解问题的,解若存在，是否唯一,?,解的稳定性,：,当定解条件,及方程中的参数,有微小变动时，解是否有相应的微小变动,。如果当,定解条件及方程中的参数有微小变化时，其解仅有微小的变动,则称该定解问题的解是,稳定的,，否则称它的解是,不稳定的,。因为定解条件中的一些已知量，通常总是利用实验得到的数据，不可避免地会有一定的误差，所以人们自然会关心定解条件的微小扰动是否会导致解的变化很大。,定解问题的适定性（,存在,+,唯一,+,稳定,）：,如果一个定解问题存在唯一的稳定解，则此问题是,适定的,。否则就称它为,不适定的,。,由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题,来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题,的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到不适定的问题。,例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的,温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什么样的,温度分布才能达到此目的？,这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题,的反问题。,通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的,一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分,方程的一个重要的研究方向。,线性方程的解具有有限（无限）叠加特性,1.5.1,叠加原理：,物理上，,几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加,。利用此原理，可以把一个复杂的线性问题分解成若干个简单线性问题来求解。,-,设 满足方程,为常数，而级数,收敛，且能够逐项微分两次，则 满足方程 ，若级数,收敛,。,另，参见课本,230,页的（,积分）叠加原理,3,。,叠加原理的,应用,应用：,齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；,非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；,两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。,多个,非齐次方程的解的线性组合情况类似。,一维非齐次波动方程的,cauchy,问题：,考虑,无界弦的强迫振动问题,（,A,）,（,B,）解记为,（,C,）,解记为,由叠加原理可知,（可由达朗贝尔公式给出）,1.5.2,齐次化原理（冲量原理）,一维非齐次波动方程的,cauchy,问题：,考虑,无界弦的强迫振动问题,（,A,）,（,B,）解记为,（,C,）,解记为,由叠加原理可知,（可由达朗贝尔公式给出）,1.5.2,齐次化原理（冲量原理）,（,D,）,由达朗贝尔公式，可得问题（,D,）的解为,定理（,齐次化原理,1,）设 是问题（,D,）的 解，则,是问题（,C,）的解。,另参见课本,231-233,页。,注,：,齐次化原理的作用就是将,非齐次方程,的定解问题的求解,转化为齐次方程,的定解问题的求解。,设 满足柯西问题,其中，为关于自变量 的常系数线性偏微分算子。则,柯西问题,的解为,齐次化原理,2,作 业,#1,DUE Next Wednesday,March 11,第一章习题，,234-236,页，,1(1),，,4,6,8,10,更正,：题,6,中 ，即 是 的函数。,