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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.1,几类不同增长的,函数模型,学习目标,:,1,、利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异,;,2,、结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义,;,3,、体会数学在实际问题中的应用价值。,1859,年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。,1950,年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中，,人们从巴西引入了多发黏,液瘤病，以对付迅速繁殖,的兔子。整个,20,世纪中期，,澳大利亚的灭兔行动从未,停止过。,“,指数爆炸,”模型,例,1:,假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一,：每天回报,40,元；,方案二,：第一天回报,10,元，以后每天比前一天,多回报,10,元；,方案三,：第一天回报,0.4,元，以后每天的回报比,前一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,?,投资方案选择原则：,(1),比较三种方案每天回报量；,(2),比较三种方案一段时间内的累计回报量,.,投入资金相同，回报量多者为优,分析,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第,x,天所得回报为,y,元，则,方案一：每天回报,40,元；,y,=40 (,x,N,*),方案二：第一天回报,10,元，以后每天比前一,天多回报,10,元；,y,=10,x,(,x,N,*),方案三：第一天回报,0.4,元，以后每天的回报,比前一天翻一番。,y,=0.42,x,-1,(,x,N,*),x,/,天,方案一,方案二,方案三,y,/,元,增长量,/,元,y,/,元,增长量,/,元,y,/,元,增长量,/,元,1,40,10,0.4,2,40,20,0.8,3,40,30,1.6,4,40,40,3.2,5,40,50,6.4,6,40,60,12.8,7,40,70,25.6,8,40,80,51.2,9,40,90,102.4,30,40,300,214748364.8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,10,10,10,10,10,10,10,10,0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8,25.6,51.2,107374182.4,我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：,40,80,120,160,y,2,4,6,8,10,12,x,o,y,=40,y,=10,x,累计回报表,结论：,投资,14,天，应选择方案一；,投资,58,天，应选择方案二；,投资,9,天,(,含,9,天,),以上，应选择方案三。,天数,方案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,30,一,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,二,10,20,30,40,50,60,70,80,90,300,三,0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8,25.6,51.2,102.4,214748364.8,例,2,、某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y(,单位：万元,),随着销售利润,x(,单位：万元,),的增加而增加，但资金数不超过,5,万元，同时奖金不超过利润的,25%,。现有三个奖励模型：,y=0.25x,，,y=log,7,x+1,，,y=1.002,x,，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,(1),、由函数图象可以看出，它在区间,10,1000,上递增，而且当,x=1000,时，,y=log,7,1000+14.555,所以它符合奖金不超过,5,万元的要求。,模型,y=log,7,x+1,(2),、再计算按模型,y=log,7,x+1,奖励时，奖金是否不超过利润的,25%,，即当,x 10,1000,时，是否有,成立。,令,f(x)=log,7,x+1-0.25x,，,x 10,1000,.,利用计算机作出函数,f(x),的图象，由图象可知它是递减的，因此,f(x)f(10)-0.31670,即,log,7,x+10.25x,所以，当,x 10,1000,，,例,2,、某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y(,单位：万元,),随着销售利润,x(,单位：万元,),的增加而增加，但资金数不超过,5,万元，同时奖金不超过利润的,25%,。现有三个奖励模型：,y=0.25x,，,y=log,7,x+1,，,y=1.002,x,，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,(1),、由函数图象可以看出，它在区间,10,1000,上递增，而且当,x=1000,时，,y=log,7,1000+14.555,所以它符合奖金不超过,5,万元的要求。,模型,y=log,7,x+1,(2),、再计算按模型,y=log,7,x+1,奖励时，奖金是否不超过利润的,25%,，即当,x 10,1000,时，是否有,成立。,令,f(x)=log,7,x+1-0.25x,，,x 10,1000,.,利用计算机作出函数,f(x),的图象，由图象可知它是递减的，因此,f(x)f(10)-0.31670,即,log,7,x+11),，,y,=log,a,x,(,a,1),和,y,=,x,n,(,n,0),都是增函数。,(2),、随着,x,的增大，,y,=,a,x,(,a,1),的增长速度越来越快，会远远大于,y,=,x,n,(,n,0),的增长速度。,(3),、随着,x,的增大，,y,=log,a,x,(,a,1),的增长速度越来越慢，会远远小于,y,=,x,n,(,n,0),的增长速度。,总存在一个,x,0,，当,x,x,0,时，就有,:,log,a,x,kx,x,n,a,x,练习,:,1.,当,x,越来越大时，增长速度最快的是,(),D,2.,一次实验中，,x,y,函数关系与下列哪类函数最接近,(),x,1,2,3,4,5,6,y,0.25,0.49,0.76,1,1.26,1.51,A,3.,一次实验中，,x,y,函数关系与下列哪类函数最接近,(),t,1.99,3.0,4.0,5.1,6.12,u,1.5,4.04,7.5,12,18.01,C,4.,函数 与 交点个数,(),5.,时有,(),B,A,【,总一总,成竹在胸,】,几种常见函数的增长情况：,常数函数,一次函数,指数函数,对数函数,没有增长,直线上升,指数爆炸,“,慢速”增长,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,演算,推理,下课,
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