排列组合常用策略讲义

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,解排,列,列组,合,合问,题,题的,常,常用,策,策略,从,n,个不,同,同元,素,素中,任取,m,个元,素,素,按照,一,一定,的,的顺,序,序排,成,成一,列,列,叫做,从,从,n,个不,同,同元,素,素中,取,取出,m,个元,素,素的,一,一个,排,排列,.,2.,组合,的,的定,义,义,:,从,n,个不,同,同元,素,素中,任取,m,个元,素,素,并成,一,一组,叫做,从,从,n,个不,同,同元,素,素中,取,取出,m,个元,素,素的,一,一个,组,组合,.,3.,排列,数,数公,式,式,:,4.,组合,数,数公,式,式,:,1.,排列,的,的定,义,义,:,排列,与,与组,合,合的,区,区别,与,与联,系,系,:,与顺,序,序有,关,关的,为,为排,列,列问,题,题,与顺,序,序无,关,关的,为,为组,合,合问,题,题,.,一.,特,特殊,元,元素,和,和特,殊,殊位,置,置优,先,先策,略,略,例1.由0,1,2,3,4,5可,以,以组,成,成多,少,少个,没,没有,重,重复,数,数字,五位,奇,奇数.,解:,由,由于,末,末位,和,和首,位,位有,特,特殊,要,要求,应,该,该优,先,先安,排,以,以免,不,不合,要,要求,的,的元,素,素占,了,了这,两,两个,位,位置,先排,末,末位,共,共有_,然后,排,排首,位,位共,有,有_,最后,排,排其,它,它位,置,置共,有,有_,由分步计数原理得,=288,位置,分,分析,法,法和,元,元素,分,分析,法,法是,解,解决,排,排列,组,组合,问,问题,最,最常,用,用也,是,是最,基,基本,的,的方,法,法。,7种,不,不同,的,的花,种,种在,排,排成,一,一列,的,的花,盆,盆里,若,两,两种,葵,葵花,不,不种,在,在中,间,间，,也,也不,种,种在,两,两端,的,的花,盆,盆里,，,问有,多,多少,不,不同,的,的种,法,法？,练习,题,题,二.,相,相邻,元,元素,捆,捆绑,策,策略,例2.7人,站,站成,一,一排,其,其中,甲,甲乙,相,相邻,且,且丙,丁,丁相,邻,共,共,有,有多,少,少种,不,不同,的,的排,法,法.,甲,乙,丙,丁,由分步计数原理可得共有,种不同的排法,=480,解：,要求,某,某几,个,个元,素,素必,须,须排,在,在一,起,起的,问,问题,可,以,以用,捆绑,法,法来,解,解决,问,问题.,练习,题,题,5,个男,生,生,3,个女,生,生排,成,成一,排,排,3,个女,生,生,要排,在,在一,起,起,有多,少,少种,不,不同,的,的排,法,法,?,共有,=4320,种不同的排法,.,三.,不,不相,邻,邻问,题,题插,空,空策,略,略,例3.一,个,个晚,会,会的,节,节目,有,有4,个,个舞,蹈,蹈,2个,相,相声,3,个,个,独唱,舞,蹈,蹈节,目,目不,能,能连,续,续出,场,场,则,则节,目,目的,出,出,场顺,序,序有,多,多少,种,种？,解:,分,分两,步,步进,行,行第,一,一步,排,排2,个,个相,声,声和3个,独,独唱,共,共,有种，,第二步将4舞蹈插入第一步排,好的6个元素中间包含首尾两个空位共有,种,不同的方法,由分步计数原理,节目的,不同顺序共有,种,相,相,独,独,独,元素,不,不相,邻,邻问,题,题可,先,先把,没,没有,位,位置,要,要求,的,的元,素,素进,行,行排,队,队再,把,把不,相,相邻,元,元素,插,插入,中,中间,和,和两,端,端,某班,新,新年,联,联欢,会,会原,定,定的5个,节,节目,已,已排,成,成节,目,目单,，,，开,演,演前,又,又增,加,加了,两,两个,新,新节,目,目.,如,如果,将,将这,两,两个,新,新节,目,目插,入,入原,节,节目,单,单中,，,，且,两,两个,新,新节,目,目不,相,相邻,，,，那,么,么不,同,同插,法,法的,种,种数,为,为（,）,）,30,练习,题,题,四.,定,定序,问,问题,倍,倍缩,空,空位,插,插入,策,策略,例4.7,人,人排,队,队,其,其中,甲,甲乙,丙,丙3,人,人顺,序,序一,定,定共,有,有多,少种,不,不同,的,的排,法,法,解:,（,空位,法,法）设,想,想有7把,椅,椅子,让,让除,甲,甲乙,丙,丙以,外,外,的四人就,坐,坐共有种方法，,其,其余的三,个,个,位置甲乙,丙,丙共有种坐法，,则,则共有种,方法,1,思考:可,以,以先让甲,乙,乙丙就坐,吗,吗?,（插入法)先排甲,乙,乙丙三个,人,人,共有1种排法,再,把其余4,四,四人依次插入共有方法,4*5*6*7,(倍缩法)对于某,几,几个元素,顺,顺序一定,的,的排列,问题,可,先,先把这几,个,个元素与,其,其他元素,一,一起,进行排列,然后用,总,总排列数,除,除以这几个元,素之间的,全,全排列数,则共有不,同,同排法种,数,数,是：,定序问题,可,可以用倍,缩,缩法，还,可,可转化为,占,占位插,入模型处,理,理,10人身,高,高各不相,等,等,排成,前,前后排，,每,每排5人,要求从,左,左至右身,高,高逐渐增,加,加，共有,多,多少排法,？,？,期中安排,考,考试科目,9,门,语文要在,数,数学之前,考,有多少种,不,不同的安,排,排顺序,?,练习题,五.圆排,列,列问题线,排,排策略,例6.5人围桌,而,而坐,共,有,有多少种,坐,坐法?,解：,围桌而坐,与,与,坐成一排,的,的不同点,在,在于，坐,成,成,圆形没有,首,首尾之分,，,，所以固,定,定一人,A,并从,此位置把,圆,圆形展成,直,直线其余4人共有_,种排法即,A,B,C,E,D,D,A,A,B,C,E,（5-1)！,一般地,n,个不同元素作圆形排列,共有(,n-1)!,种排法.如果从,n,个不同元素中取出,m,个元素作圆形排列共有,练习题,6颗颜色,不,不同的钻,石,石，可穿,成,成几种钻,石,石圈,120,六.重排,问,问题求幂,策,策略,例5.把6名实习,生,生分配到7个车间,实,实习,共,有,有,多少种不,同,同的分法,解:完成,此,此事共分,六,六步:把,第,第一名实,习,习生分配,到车间有种分法.,7,把第二名实习生分配,到车间也有7种分法，,依此类推,由分步计,数原理共有 种不同的排法,一般地,n,不同的元,素,素没有限,制,制地安排,在,在,m,个位置上,的,的排列数,为,为,种,种,n,m,1. 某,班,班新年联,欢,欢会原定,的,的5个节,目,目已排成,节,节目单，,开,开演前又,增,增加了两,个,个新节目.如果将,这,这两个节,目,目插入原,节,节目单中,，,，那么不,同,同插法的,种,种数为（,）,）,42,2. 某8层大楼,一,一楼电梯,上,上来8名,乘,乘客人,他,他们,到各自的,一,一层下电,梯,梯,下电,梯,梯的方法,（,）,）,练习题,七,.,排列组合,混,混合问题,先,先选后排,策,策略,例,6.,有5个不,同,同的小球,装入4,个,个不同的,盒,盒内,每盒至少,装,装一个球,共有多,少,少不同的,装,装,法.,解:第一,步,步从5个,球,球中选出2个组成,复,复合元共,有_种,方,方法.再,把,把5个元,素,素(包含,一,一个复合,元素)装,入,入4个不,同,同的盒内,有,有_种方,法,法.,根据分步,计,计数原理,装,装球的方,法,法共有_,解决排列,组,组合混合,问,问题,先,选,选后排是,最,最基本,的指导思,想,想.,练习题,一个班有6名战士,其中正,副,副班长各1人,现从中选4人完成,四,四种不同,的,的任务,每,每人,完成一种,任,任务,且,正,正副班长,有,有且只有1人,参加,则,不,不同的选,法,法有_ 种,192,八.元素,相,相同问题,隔,隔板策略,例,7.,有10个,运,运动员名,额,额，在分,给,给7个班,，,，每,班至少一,个,个,有多,少,少种分配,方,方案？,解：因为10个名,额,额没有差,别,别，把它,们,们排成,一排。相,邻,邻名额之,间,间形成,个,个空隙。,在个空,档,档中选,个,个位置插,个,个隔板，,可把名额,分,分成份,，,，对应地,分,分给个,班级，每,一,一种插板,方,方法对应,一,一种分法,共有_种分法,。,。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,将,n,个相同的,元,元素分成,m,份（,n，m,为正整数,）,）,每份,至,至少一个,元,元素,可,以,以用,块,块隔,板,板，插入,n,个元素排,成,成一排的,个,个,空,空隙中，,所,所有分法,数,数为,m-1,n-1,练习题,10个相,同,同的球装5个盒中,每盒至,少,少一个，,有,有多少装,法,法？,九.,平,平,均,均,分,分,组,组,问,问,题,题,除,除,法,法,策,策,略,略,例,8.6,本,不,不,同,同,的,的,书,书,平,平,均,均,分,分,成,成3,堆,堆,每,每,堆,堆2,本,本,共,共,有,有,多,少,少,分,分,法,法,？,？,解:,分,分,三,三,步,步,取,取,书,书,得,得,种,种,方,方,法,法,但,但,这,这,里,里,出,出,现,现,重,复,复,计,计,数,数,的,的,现,现,象,象,不,不,妨,妨,记,记6,本,本,书,书,为,为,ABCDEF,若,第,第,一,一,步,步,取,取,AB,第,二,二,步,步,取,取,CD,第,三,三,步,步,取,取,EF,该,分,分,法,法,记,记,为,为(,AB,CD,EF),则,中,中,还,还,有,有,(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共,有,有,种,种,取,取,法,法,而,而,这,些,些,分,分,法,法,仅,仅,是,是(,AB,CD,EF),一,种,种,分,分,法,法,故,故,共,共,有,种,种,分,分,法,法,。,。,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (,n,为均分的组数)避免重复计数。,1,.,将13,个,个,球,球,队,队,分,分,成,成3,组,组,一,一,组,组5,个,个,队,队,其,其,它,它,两,两,组,组4,个,队,队,有,有,多,多,少,少,分,分,法,法,？,？,2.,某,校,校,高,高,二,二,年,年,级,级,共,共,有,有,六,六,个,个,班,班,级,级,，,，,现,现,从,从,外,外,地,地,转,转,入,入4,名,名,学,学,生,生,，,，,要,要,安,安,排,排,到,到,该,该,年,年,级,级,的,的,两,两,个,个,班,班,级,级,且,且,每,每,班,班,安,安,排,排2,名,名,，,，,则,则,不,不,同,同,的,的,安,安,排,排,方,方,案,案,种,种,数,数,为,为_,练,习,习,题,题,十.,合,合,理,理,分,分,类,类,与,与,分,分,步,步,策,策,略,略,例,9.,在,一,一,次,次,演,演,唱,唱,会,会,上,上,共,共10,名,名,演,演,员,员,其,其,中,中8,人,人,能,能,够,唱,唱,歌,歌,5,人,人,会,会,跳,跳,舞,舞,现,现,要,要,演,演,出,出,一,一,个,个2,人,人,唱,唱,歌2人伴舞,的,的节目,有,多,多少选派方,法,法?,解：,10演员中,有,有5人只会,唱,唱歌，2人,只,只会跳舞,3人为全能,演,演员。,以只会唱歌的5人是否,选上唱歌人员为标准进行研究,只会唱,的,5人中没有人选上唱歌人员共有_,种,只会唱的,5人中只有1人选上唱歌人,员_种,只会唱的,5人中只有2人,选上唱歌人员有_ 种，由分类计数,原理共有_种。,+,+,本题还有如,下,下分类标准,：,：,*以3个全能,演,演员是否选,上,上唱歌人员,为,为标准,*以3个全能,演,演员是否选,上,上跳舞人员,为,为标准,*以只会跳舞,的,的2人是否,选,选上跳舞人,员,员为标准,都可经得到,正,正确结果,解含有约束,条,条件的排列,组,组合问题，,可,可按元素,的性质进行,分,分类，按事,件,件发生的连,续,续过程分,步，做到标,准,准明确。分,步,步层次清楚,，,，不重不,漏，分类标,准,准一旦确定,要,要贯穿于解,题,题过程的,始终。,从4名男生,和,和3名女生,中,中选出4人,参,参加某个座,谈,谈,会,会，若这4,人,人中必须既,有,有男生又有,女,女生，则不,同,同的选法共,有,有_,34,练习题,十一.正难,则,则反总体淘,汰,汰策略,例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这,十,十个数字中,取,取出三,个数，使其,和,和为不小于10的偶数,不同的,取法有多少,种,种？,解：这问题,中,中如果直接,求,求不小于10的偶数很,困难,可用,总,总体淘汰法,。,。,这十个数字中有5,个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有_,只含有1个偶数的取法有_,和为偶数的取法共有_,再淘汰和小,于,于10的偶,数,数共_,符合条件的,取,取法共有_,9,013,015,017,023,025,027,041,045,043,+,- 9,+,有些排列组,合,合问题,正,面,面直接考虑,比,比较复杂,而,而它的反面,往,往往比较简,捷,捷,可以先,求,求出它的反,面,面,再从整,体,体中淘汰.,我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、,副班长、团,支,支部书记至,少,少有一人在,内,内的,抽法有多少,种,种?,练习题,十二.构造,模,模型策略,例1,0.,马路上有编,号,号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的,九只路灯,现,现要关掉其,中,中的3盏,但,但不能关,掉相邻的2,盏,盏或3盏,也,也不能关掉,两,两端的2,盏,求满足,条,条件的关灯,方,方法有多少,种,种？,解：把此问,题,题当作一个,排,排队模型在6盏,亮灯的5个,空,空隙中插入3个不亮的,灯,灯,有_,种,种,一些不易理,解,解的排列组,合,合题如果能,转,转化为,非常熟悉的,模,模型，如占,位,位填空模型,，,，排队,模型，装盒,模,模型等，可,使,使问题直观,解,解决,练习题,某排共有10个座位，,若,若4人就坐,，,，每人左右,两边都有空,位,位，那么不,同,同的坐法有,多,多少种？,120,某城市的街,区,区由12个,全,全等的矩形,区,区组成,其中实线表,示,示马路，从,A,走到,B,的最短路,径有多少种,？,？,练习题,B,A,十三.实际,操,操作穷举策,略,略,例15.设,有,有编号1,2,3,4,5的五个,球,球和编号,1,2,3,4,5,的五个盒子,现将5个,球,球投入这五,个盒子内,要,要求每个盒,子,子放一个球,，,，并且,恰好有两个,球,球的编号与,盒,盒子的编号,相,相同,.,有多少投法,解：,从5个球中,取,取出2个与,盒,盒子对号有_,种,种,还剩下3球3盒序号不,能,能对应，,利用实际,操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒,3,号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,3号盒,4号盒,5号盒,3,4,5,十一.实际,操,操作穷举策,略,略,例15.设,有,有编号1,2,3,4,5的五个,球,球和编号,1,2,3,4,5,的五个盒子,现将5个,球,球投入这五,个盒子内,要,要求每个盒,子,子放一个球,，,，并且,恰好有两个,球,球的编号与,盒,盒子的编号,相,相同,.,有多,少,少投,法,法,解：,从5,个,个球,中,中取,出,出2,个,个与,盒,盒子,对,对号,有,有_,种,种,还剩,下,下3,球,球3,盒,盒序,号,号不,能,能对,应,应，,利用实际,操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒,3,号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,同理,3,号球装5号盒时,4,5号球有也,只有1种装法,由分步计数原理有,2,种,对于,条,条件,比,比较,复,复杂,的,的排,列,列组,合,合问,题,题，,不,不易,用,用,公式,进,进行,运,运算,，,，往,往,往利,用,用穷,举,举法,或,或画,出,出树,状,状,图会,收,收到,意,意想,不,不到,的,的结,果,果,练习,题,题,同一,寝,寝室4人,每,人,人写,一,一张,贺,贺年,卡,卡集,中,中起,来,来,然后,每,每人,各,各拿,一,一张,别,别人,的,的贺,年,年卡,，,，则,四,四张,贺年,卡,卡不,同,同的,分,分配,方,方式,有,有多,少,少种,？,？,(9),2.,给,给图,中,中区,域,域涂,色,色,要,要求,相,相邻,区,区,域不,同,同色,现,有,有4,种,种可,选,选颜,色,色,则,则,不同,的,的着,色,色方,法,法有_,种,种,2,1,3,4,5,72,1.,从,从4,名,名男,生,生和3名,女,女生,中,中选,出,出4,人,人参,加,加某,个,个座,谈,谈会,，,，若,这,这4,人,人中,必,必须,既,既有,男,男生,又,又有,女,女生,，,，则,不,不同,的,的选,法,法共,有,有_,34,练习,题,题,2.,3成,人,人2,小,小孩,乘,乘船,游,游玩,1,号,号船,最,最多,乘,乘3,人,人,2,号船,最,最多,乘,乘2,人,人,3号,船,船只,能,能乘1人,他,们,们任,选,选,2只,船,船或3只,船,船,但,但小,孩,孩不,能,能单,独,独乘,一,一只,船,船,这3,人,人共,有,有多,少,少乘,船,船方,法,法.,27,小结,本节,课,课，,我,我们,对,对有,关,关排,列,列组,合,合的,几,几种,常,常见,的,的解,题,题策,略,略加,以,以复,习,习巩,固,固。,排,排列,组,组合,历,历来,是,是学,习,习中,的,的难,点,点，,通,通过,我,我们,平,平时,做,做的,练,练习,题,题，,不,不难,发,发现,排,排列,组,组合,题,题的,特,特点,是,是条,件,件隐,晦,晦,，,不易,挖,挖掘,，,，题,目,目多,变,变，,解,解法,独,独特,，,，数,字,字庞,大,大，,难,难以,验,验证,。,。同,学,学们,只,只有,对,对基,本,本的,解,解题,策,策略,熟,熟练,掌,掌握,。,。根,据,据它,们,们的,条,条件,我,们,们就,可,可以,选,选取,不,不同,的,的技,巧,巧来,解,解决,问,问题.对,于,于一,些,些比,较,较复,杂,杂的,问,问题,我,们,们可,以,以将,几,几种,策,策略,结,结合,起,起来,应,应用,把,把复,杂,杂的,问,问题,简,简单,化,化，,举,举一,反,反三,，,，触,类,类旁,通,通，,进,进而,为,为后,续,续学,习,习打,下,下坚,实,实的,基,基础,。,。,