几类不同增长的函数模型-2课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,第,57,页,3.2.1 几类不同增长的函数模型,自 学 导 引,1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数及幂函数增长的差异.,2.结合实际体会直线上升,指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.,课,前,热,身,三种函数模型的性质,函数性质,y=a,x,(a1),y=log,a,x(a1),y=x,n,(n0),在(0,+)上的增减性,增长的速度,相对平稳,图象的变化,随x增大逐渐与y轴平行,随x增大逐渐与x轴平行,随n值而不同,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,名 师 讲 解,三种增长函数模型的比较,1.指数函数和幂函数.,一般地,对于指数函数y=a,x,(a1)和幂函数y=x,n,(n0),通过探索可以发现,在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,a,x,会小于x,n,但由于a,x,的增长快于x,n,的增长,因此总存在一个x,0,当xx,0,时,就会有a,x,x,n,.,(2)对数函数和幂函数.,对于对数函数,y=log,a,x(a1),和幂函数,y=x,n,(n0),在区间,(0,+,),上,随着,x,的增大,log,a,x,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与,x,轴平行一样,尽管在,x,的一定变化范围内,log,a,x,可能会大于,x,n,但由于,log,a,x,的增长慢于,x,n,的增长,因此总存在一个,x,0,当,xx,0,时,就会有,log,a,x1),y=log,a,x(a1)和y=x,n,(n0)都是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=a,x,(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x,n,(n0)的增长速度,而y=log,a,x(a1)的增长速度则会越来越慢,因此总存在一个x,0,当xx,0,时,就会有log,a,xx,n,a,x,.,典 例 剖 析,题型一 一次函数模型,例1:为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如下图所示:,(1)分别求出通话费y,1,y,2,与通话时间x之间的函数关系式;,(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.,分析:由图形可知,函数关系是线性关系,因此,可以用一次函数解决该实际问题.,解:(1)由图象可设y,1,=k,1,x+29,y,2,=k,2,x,把点B(30,35)C(30,15)分别代入得,(2)令y,1,=y,2,规律技巧:函数的图象是表示函数的三种方法之一,正确识图、用图、译图是解决函数应用问题的基本技能和要求.本例通过识图,用待定系数法求得一次函数解析式,然后利用解析式解决了实际问题.,变式训练1:某厂为了尽快解决职工住房困难问题,鼓励个人购房和积累建房基金,决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金,办法如下:,每月工资,公积金,1000元以下,不交纳,1000元至2000元,交纳超过1000元部分的5%,2000元至3000元,1000元至2000元部分交纳5%,超过2000元部分交纳10%,3000元以上,1000元至2000元部分交5%,2000元至3000元交10%,3000元以上部分交15%,设职工每月工资为x元,交纳公积金后实得数为y元,求y与x之间的关系式.,解:当0x1000时,y=x;,当1000x2000时,y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50;,当2000x3000时,y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%)=0.9x+150;,当x3000时,y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+(x-3000)(1-15%)=0.85x+300.,因此y与x的关系可用分段函数表示如下:,题型二 指数函数模型,例2:某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:,(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;,(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);,(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).,(1.012,10,=1.127,1.012,15,=1.196,1.012,16,=1.210),分析:采用归纳法先让自变量取一些特殊值或较简单的值,列出相应的函数式,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数关系式.,解:(1)1年后该城市人口总数为,y=100+1001.2%=100(1+1.2%).,2年后该城市人口总数为,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%),2,.,3年后该城市人口总数为,y=100(1+1.2%),2,+100(1+1.2%),2,1.2%,=100(1+1.2%),2,(1+1.2%),=100(1+1.2%),3,.,x年后该城市人口总数为,y=100(1+1.2%),x,(xN).,(2)10年后人口数为100(1+1.2%),10,112.7(万).,(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%),x,=120,x=log,1.012,1.2016(年).,因此,大约16年以后该城市人口将达到120万人.,规律技巧:在实际问题中,常常得到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,可以用公式y=N(1+p)x表示,解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.,变式训练2:1995年我国人口总数是12亿,如果人口的年自然增长率控制在1.25%,问哪一年我国人口总数将超过14亿?,解:设x年后人口总数超过14亿,依题意,得,12(1+0.012 5),x,=14,即(1+0.012 5),x,两边取对数,得xlg 1.012 5=lg 14-lg 12,所以x12.4.,答:13年后,即2008年我国人口总数超过14亿.,题型三 对数函数模型,例3:2004年12月26日,印尼发生强烈地震,继而引发海啸,印尼地震监测机构最初公布的报告称,这次地震的震级为里氏6.8级,而美国地质勘探局测定的震级为里氏8.9级,已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为,(lgE-11.4),那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级的地震释放能量的多少倍?(已知10,0.15,=1.413),解:由于是里氏8.9级的地震释放的能量为,里氏6.8级的地震释放的能量为,故所求结果为,10,3.15,=10,3,10,0.15,=1413.,规律技巧:当函数模型给定后,只需对问题进行定量分析,套用现成的公式即可解决问题.,变式训练3:我们知道燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数单位m/s,其中x表示燕子的耗氧量.,(1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位;,(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?,解:(1)由题意知当燕子静止时,它的速度为0,代入函数关系式可得:x=10,即燕子静止时的耗氧量为10个单位.,(2)将耗氧量x=80代入关系式得,即当耗氧量是80个单位时,飞行速度是15 m/s.,易 错 探 究,例4:某商品在最近30天内的单价f(t)(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系式为f(t)=t+10,某经销商日销售量g(t)(单位:件)与时间t(单位:元)的函数关系式为g(t)=-t+35.求这种商品日销售金额y(元)的最大值.,错解:由题意得,日销售金额,y=f(t)g(t)=(t+10)(-t+35),=-t,2,+25t+350,错因分析:题目中的条件应为正整数,而错解中忽略了t的取值条件,当,时取得最大值是不合题意的.,正解:由题意得,日销售金额,y=f(t)g(t)=(t+10)(-t+35),=-t,2,+25t+350,0t30且tN,*,.,当t=12或13时,y取得最大值,且最大值为506元.所以这种商品的日销售金额的最大值为506元.,技 能 演 练,基础强化,1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ),A.一次函数B.二次函数,C.指数型函数D.对数型函数,解析:一次函数匀速增长,二次函数和指数型函数都是开始增长慢,以后增长越来越快,只有对数型函数增长先快后慢.,答案:D,2.一辆匀速行驶的火车90 min行驶180 km,则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( ),A.y=2tB.y=120t,C.y=2t(t0)D.y=120t(t0),答案:D,解析:90 min=1.5 h, y=,t=120t(t0),故选D.,3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则xy之间的函数关系为( ),解析:特殊值法,取x=100代入选择支,只有A正确.,答案:A,4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( ),解析:将题中所给三个数据代入解析式知,函数,较为接近.,答案:C,5.甲乙两人沿着同一方向去B地,途中两人的速度都是v,1,或v,2,(v,1,v,2,).甲一半的路程使用速度v,1,另一半的路程使用速度v,2,;乙一半的时间使用速度v,1,另一半的时间使用速度v,2,.关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有下面4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程),则其中可能正确的图示分析为( ),A.(1)B.(3),C.(1)或(4)D.(1)或(2),解析:v,1,v,2,甲一半的路程使用速度v,1,另一半的路程使用v,2,则甲到B地所用时间长一些,因此图(1)图(2)可能正确.,答案:D,6.三个变量y,1,、y,2,、y,3,随变量x的变化情况如下表:,X,1.00,3.00,5.00,7.00,9.00,11.00,y,1,5,135,625,1715,3645,6655,y,2,5,29,245,2189,19685,177149,y,3,5.00,6.10,6.61,6.95,7.20,7.40,其中x呈对数函数型变化的变量是,_,呈指数函数型变化的变量是,_,呈幂函数型变化的变量是,_,.,y3,y2,y1,7.工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a0.5,x,+b,现已知该厂今年1月份2月份生产该产品分别为1万件1.5万件.则此工厂3月份该产品的产量为,_,万件.,解析:把x=1,y=1和x=2,y=1.5,代入y=a0.5,x,+b得,y=-20.5,x,+2.当x=3时,y=-20.5,3,+2=1.75.,答案:1.75,8.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km部分按0.4 元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是,_,答案:,解析:当0100时,y=0.5100+(x-100)0.4,=0.4x+10.,y=0.5x,(0100).,能力提升,9.把长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形和圆的面积之和最小,正方形的周长应为多少?,解:设正方形周长为x,正方形与圆的面积之和为S.,则正方形的边长为圆周长为1-x,圆半径为,则S,S有最小值,此时,正方形的周长为,10.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:,其中x是仪器的月产量.,(1)将利润表示为月产量的函数f(x).,(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润).,解:(1)设月产量为x台,则总成本为20000+100x,依题意可得:,(2)当0x400时,f(x)=(x-300),2,+25000.,当x=300时,f(x)的最大值为25000;,当x400时,f(x)=60000-100x是减函数.,f(x)60000-10040025000,每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元.,品味高考,11.(08湖北)已知函数f(x)=x,2,+2x+a,f(bx)=9x,2,-6x+2,其中xR,a,b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为,_,.,解析:f(x)=x,2,+2x+a,f(bx)=(bx),2,+2bx+a,又f(bx)=9x,2,-6x+2,比较对应项系数可得,b,2,=9,2b=-6,a=2,a=2,b=-3,f(ax+b)=f(2x-3)=0即,(2x-3),2,+2(2x-3)+2=0,即4x,2,-8x+5=0.,=(-8),2,-445=-160.,方程f(ax+b)=0无解.,12.(北京春)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的每辆每月需要维护费50元.,(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?,(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?,