有理函数的不定积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 有理函数的不定积分,一、有理函数的不定积分,三,、简单无理函数的不定积分,二,、三角函数有理式的不定积分,一、有理函数的不定积分,两个多项式的商表示的函数称为,有理函数,.,其中,m,、,n,都是非负整数;,a,0,a,1,a,n,及,b,0,b,1,b,n,都是实数，并且,a,0,0,b,0,0.,n m,R,(,x,)称为,真分式,；,n,m,R,(,x,)称为,假分式,.,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例如,一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和.,其中部分分式的形式为：,难点,将有理函数化为部分分式之和.,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,（2）分母中若有因式 ，其中,则分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的,待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例3,整理得,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分.,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,求 的步骤：,1.将,Q,(,x,)在实数范围内分解成一次式和二次质因式的乘积.,2.将 拆成若干个部分分式之和.,(分解后的部分分式必须是最简分式).,3.求出各部分分式的原函数,即可求得,例4,求积分,解,例5,求积分,解,例6,求积分,解,原式,例7,求积分,解,原式,注意,将有理函数分解为部分分式求积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构,特点，灵活处理，寻求简便的方法求解.,例8,求积分,解,原式,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为,三角函数有理式,.,二、三角函数有理式的不定积分,一般记为,R,(sin,x,cos,x,).,(万能代换公式),化为了,u,的有理函数的积分.,例1,求积分,例2,求积分,例3,求积分,比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故,三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换,.,例3,求积分,解,解法二,令,解法三,比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故,三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换,.,例4,求积分,说明:,通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,例5,求积分,例5,求积分,解,三、简单无理函数的不定积分,被积函数为简单根式的有理式,可通过,根式代换,化为有理函数的积分.,讨论类型(主要三种),例1,求积分,解,原式,例2,求积分,解,原式,例3,求积分,解,原式,例4,求积分,解,先对分母进行有理化,原式,1.有理函数分解成部分分式之和的积分.,(注意：必须化成真分式),四、小结,2.简单无理函数的积分.,(用,根式代换,化为有理函数的积分),3.三角函数有理式的积分.(万能代换公式),(注意：万能公式并不万能),思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,解答,分解后的部分分式必须是,最简,分式.,练习题,练习题答案,有理函数化为部分分式之和的一般方法:,例,将下列真分式分解为部分分式:,解,(1),拼凑法,(2),赋值法,(3),待定系数法,整理得,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分.,例,求积分,解,原式,