《数值积分法》PPT课件

,单击此处编辑母版标题样式,湖南商学院,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6.1.2数值积分法 隐式公式的应用,将问题(6-1)微分方程两边由x,i,到x,i+1,积分，得,(6-8),按照梯形求积公式(4-5)，右边积分等于,略去最后项，用y,m,替代y(x,m,)，得,(6-9),湖南商学院,1,这称为,梯形法,。注意 ，梯形法的局部截断误差(略去的项)可写为,故知梯形法是二阶方法。由式(6-9)知，梯形法是单步法，隐式法。,例6-2 用梯形法求解例6-1问题。,解 按梯形法(6-9)，,这是y,i+!,的方程；解之得,湖南商学院,2,令i=04得y,0,=1,y,1,=0.98250,y,2,=0.96595,y,3,=0.95026,y,4,=0.93537,y,5,=0.92120。同真解比较，它比前述方法均准确。,例6-1中微分方程是线性方程。隐式法(6-6)，(6-9)应用于线性方程时，y,i+1,容易直接解出。对非线性微分方程，一般很难由隐式方程直接解y,i+1,。这时为确定y,i+1,，通常用,迭代法。例如对梯形法(6-9)，简单迭代公式为,(6-10),由于函数f(x,y)满足本章开始所提条件，迭代函数,满足条件,（6-11）,湖南商学院,3,可见h充分小时 ，故按迭代收敛定理,必收敛，当 。,当然，为确定y,i+1,，也可利用牛顿迭代法：,(6-12),不过通常还是用简单迭代(6-10)，只是为尽快求得y,i+1,，一般按欧拉法给定迭代初值,(6-13),此时由于收敛较快，往往只迭代一次，即令,(6-14),湖南商学院,4,按公式(6-13),(6-14)确定y,i+1,的方法称,预测-校正法,，,称y,i+1,的,预测值,， 称y,i+1,的,校正值,。,这种预测-校正法也可写成公式,(6-15),或者改写为,(6-16),后者常称为,改进欧拉法,.,湖南商学院,5,方程(6-8)右边的积分，也可用其他积分近似式代替，从而,得出常微分方程初值问题的其他数值解法。例如取x,i,x,i-1,，x,i-k,为节点作被积函数的插值多项式，由x,i,到x,i+1,积分，可得积分近似式，用它代替方程(6-8)右边，可得求解初值,(6-1)的,阿达姆斯,(Adams),显式公式,(6-17),其中f,j,=f(x,j,y,j,)，其局部截断误差,类似的，取 为节点，可得,阿达姆斯隐式,公式,(6-18),湖南商学院,6,它的局部截断误差,系数的具体数值见表 6-1和表6-2。,比较表6-1和表6-2可见，对同一k，,说明隐式法的局部截断误差比对应显式法的小。,改变微分方程(6-1)的积分区间，可得类似于(6-8)的其他积分方程。利用积分近似式,代替积分，又可得到求解问题(6-1)的其他,数值解法。例如，由x,i-1,到x,i+1,积分方程(6-1),两边，得,湖南商学院,7,右边积分利用辛蒲生求积公式(4-6)近似,替代，可得辛蒲生公式,(6-19),局部截断误差,湖南商学院,8,