直角三角形全等的判定

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,1.2,直角三角形,第一章 三角形的证明,第,2,课时 直角三角形全等的判定,情境引入,学习目标,1,探索并理解直角三角形全等的判定方法,“,HL,”,（难点）,2,会用,直角三角形全等的判定方法,“,HL,”,判定两个直角三角形全等（重点）,SSS,SAS,ASA,AAS,旧知回顾,:,我们学过的判定三角形全等的方法,导入新课,如图,，,Rt,ABC,中,，,C =90,，,直角边是,_,、,_,，,斜边是,_.,C,B,A,AC,BC,AB,思考：,前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？,A,B,C,A,B,C,1.,两个直角三角形中，,斜边,和,一个锐角,对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,2.,两个直角三角形中，有,一条直角边,和,一锐角,对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,3.,两个直角三角形中，,两直角边,对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,口答,：,动脑想一想,如图，已知,AC=DF,，,BC=EF,，,B=E,，,ABC,DEF,吗？,我们知道，证明三角形全等不存,在,SSA,定理,.,A,B,C,D,E,F,问题：,如果这两个三角形都是直角三,角形，即,B=E=90,，,且,AC=DF,，,BC=EF,，现在能,判定,ABC,DEF,吗？,A,B,C,D,E,F,直角三角形全等的判定（,“,斜边、直角边,”,定理）,一,讲授新课,任意画出一个,Rt,ABC,使,C,=90,.,再画一个,Rt,A,B,C,，,使,C,=90 ,B,C,=,BC,A,B,=,AB,把画好的,Rt,A,B,C,剪下来，放到,Rt,ABC,上，它们能重合吗？,A,B,C,作图探究,画图方法视频,（点击文字播放）,画图思路,（,1,）先画,M,C,N=90,A,B,C,M,C,N,画图思路,（,2,）在射线,CM,上截取,BC=BC,M,C,A,B,C,N,B,M,C,画图思路,（,3,）以点,B,为圆心，,AB,为半径画弧，交射线,CN,于,A,M,C,A,B,C,N,B,A,画图思路,（,4,）连接,AB,M,C,A,B,C,N,B,A,思考：,通过上面的探究，你能得出什么结论？,知识要点,“,斜边、直角边,”,判定方法,文字语言：,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,（简写成,“,斜边、直角边,”,或,“,HL,”,）,.,几何语言：,A,B,C,A ,B,C ,在,Rt,ABC,和,Rt,ABC,中，,Rt,ABC,Rt,ABC,(HL).,“,SSA,”,可以判定两个直角三角形全等，但是,“,边边,”,指的是斜边和一直角边，而,“,角,”,指的是直角,.,AB=AB,BC=BC,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“,”,，全等的注明理由：,（,1,）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）,（,2,）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）,（,3,）一个锐角和斜边对应相等； （ ）,（,4,）两直角边对应相等； （ ）,（,5,）一条直角边和斜边对应相等 （ ）,HL,SAS,AAS,AAS,判一判,典例精析,例,1,如图，,AC,BC,，,BD,AD,，,AC,BD,，,求证：,BC,AD,.,证明：,AC,BC,，,BD,AD,，,C,与,D,都是直角,.,AB,=,BA,AC,=,BD,.,在,Rt,ABC,和,Rt,BAD,中，, Rt,ABC,Rt,BAD,(HL).,BC,AD,.,A,B,D,C,应用,“,HL”,的前提条件是在直角三角形中,.,这是应用,“,HL,”,判定方法的书写格式,.,利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路,.,变式,1,：,如图，,ACB,=,ADB,=90,，,要证明,ABC,BAD,，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由,.,（,1,）,（ ）,（,2,）,（ ）,（,3,）,（ ）,（,4,）,（ ）,A,B,D,C,AD=BC, DAB= CBA,BD=AC, DBA= CAB,HL,HL,AAS,AAS,如图，,AC,、,BD,相交于点,P,ACBC,，,BDAD,，垂足分,别为,C,、,D,AD=BC.,求证：,AC=BD.,变式,2,HL,AC=BD,Rt,ABD,Rt,BAC,如图：,ABAD,，,CDBC,，,AB=CD,判断,AD,和,BC,的位置,关系,.,变式,3,HL,ADB=,CBD,Rt,ABD,Rt,CDB,AD,BC,例,2,如图，已知,AD,，,AF,分别是两个钝角,ABC,和,ABE,的高，如果,AD,AF,，,AC,AE.,求证：,BC,BE.,证明：,AD,，,AF,分别是两个钝角,ABC,和,ABE,的高，且,AD,AF,，,AC,AE,，,RtADC,RtAFE(HL),CD,EF.,AD,AF,，,AB,AB,，,RtABD,RtABF(HL),BD,BF.,BD,CD,BF,EF.,即,BC,BE.,方法总结：,证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“,HL”,公理就是直角三角形独有的判定方法所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件,例,3,：,如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度,AC,与右边滑梯水平方向的长度,DF,相等，两个滑梯的倾斜角,B,和,F,的大小有什么关系？,解：在,RtABC,和,RtDEF,中,BC=EF,AC=DF , RtABC,RtDEF,(HL).,B=DEF,(,全等三角形对应角相等,)., DEF+F=90,B+F=90.,1.,判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）,A.,两条直角边对应相等,B.,斜边和一锐角对应相等,C.,斜边和一条直角边对应相等,D.,两个锐角对应相等,D,A,当堂练习,2.,如图，在,ABC,中，,ADBC,于点,D,，,CEAB,于点,E,，,AD,、,CE,交于点,H,，已知,EH,EB,3,，,AE,4,，,则,CH,的长为（ ）,A,1 B,2 C,3 D,4,4.,如图，在,ABC,中，已知,BD,AC,，,CE,AB,，,BD,=,CE,.,求证：,EBC,DCB,.,A,B,C,E,D,证明：,BD,AC,，,CE,AB,，,BEC,=,BDC,=90 ,.,在,Rt,EBC,和,Rt,DCB,中，,CE=BD,，,BC=CB,，, Rt,EBC,Rt,DCB,(HL).,3.,如图，,ABC,中，,AB=AC,，,AD,是高，则,ADB,与,ADC,（填,“,全等”或“不全等”），根据,（用简写法）,.,全等,HL,A,F,C,E,D,B,5.,如图，,AB=CD, BF,A,C,DE,AC,AE=CF.,求证：,BF=DE,.,证明,:,BF,AC,DE,AC, ,BFA,=,DEC,=90 .,AE=CF,，,AE+EF=CF+EF,.,即,AF=CE,.,在,Rt,ABF,和,Rt,CDE,中,，,AB=CD,AF=CE, Rt,ABF,Rt,CDE,(HL,).,BF=DE,.,如图，,AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF,.,求证：,BD,平分,EF.,A,F,C,E,D,B,G,变式训练,1,AB=CD,AF=CE,.,Rt,ABF,Rt,CDE,(HL,).,BF=DE,Rt,GBF,Rt,GDE,(AAS,).,BFG,=,DEG,BGF,=,DGE,FG=EG,BD,平分,EF,如图，,AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF,.,想想：,BD,平分,EF,吗,?,变式训练,2,C,AB=CD,AF=CE,.,Rt,ABF,Rt,CDE,(HL,).,BF=DE,Rt,GBF,Rt,GDE,(AAS,).,BFG,=,DEG,BGF,=,DGE,FG=EG,BD,平分,EF,6,.,如图，有一直角三角形,ABC,，,C,90,，,AC,10cm,，,BC,5cm,，一条线段,PQ,AB,，,P,、,Q,两点分别在,AC,上和过,A,点且垂直于,AC,的射线,AQ,上运动，问,P,点运动到,AC,上什么位置时,ABC,才能和,APQ,全等？,【分析】,本题要分情况讨论：,(1)Rt,APQ,Rt,CBA,，此时,AP,BC,5cm,，可据此求出,P,点的位置,(2)Rt,QAP,Rt,BCA,，此时,AP,AC,，,P,、,C,重合,解：,(1),当,P,运动到,AP,BC,时，,C,QAP,90.,在,Rt,ABC,与,Rt,QPA,中，,PQ,AB,，,AP,BC,，,Rt,ABC,Rt,QPA,(HL,),，,AP,BC,5cm,；,能力拓展,(2),当,P,运动到与,C,点重合时，,AP,AC,.,在,Rt,ABC,与,Rt,QPA,中，,PQ,AB,，,AP,AC,，,Rt,QAP,Rt,BCA,(HL,),，,AP,AC,10cm,，,当,AP,5cm,或,10cm,时，,ABC,才能和,APQ,全等,【方法总结】,判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解,课堂小结,“,斜边、直角边,”,内容,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,.,前提条件,在直角三角形中,使用方法,只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）,