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电子科技大学,数理统计基本概念,probability,probability,第七章 抽样调查,总体、样本与统计量,常用统计分布,一、抽样调查的概念,1,、概念：是,按照随机原则,，从研究总体中抽取,部分单位进行调查，并推断总体数量特征的一种非,全面调查（运用数理统计原理，根据被抽取那部分单位的数量特征来推算总体数量特征）。,2,、特点：,抽样调查是非全面调查；,一定要遵守随机原则；,利用样本数据推算总体数量特征；,抽样调查必然产生抽样误差。,7.1,抽样调查概述,二、抽样调查的作用,1,、适用于不能或者很难进行全面调查的场合；,主要是无限总体和破坏性试验。,2,、适用于理论上能进行全面调查，但实际上,没有必要的场合；,3,、能节约人力、费用和时间，比较灵活；,4,、可以验证和修正全面调查的正确性和不足；,5,、可用于工业生产过程的质量控制；,6,、可用于某种总体的假设检验。,三,、抽样调查的几个基本概,念,以,概率论为理论基础,研究,2),研究如何合理地,分析随机数据,从而作出科学的,推断,(,称为,统计推断,).,1,）,研究如何以有效的方式,收集和整理,随机数据,;,总体,：研究对象的单位元素所组成的集合,.,个体,：组成总体的每个单位元素,.,例,1,要考察本校男生的身体情况，则将本校,的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是,一个个体,.,（一）总体,总 体 是 随 机 变 量,总体指标：根据总体标志值计算的指标。,总体指标,总体成数,总体方差：,（标准差）,总体平均数,：,（二）样本,从总体中抽取一部分,(,取,n,个,),进行观测，再依据这,n,个个体的试验,(,或观察,),的结果去推断总体的性质,.,样本,:,按照,一定的规则,从总体中抽取的一部分个体,.,抽样,：抽取样本的过程,.,样本容量,：样本中个体的数目,n .,抽样指标：根据样本总体标志值计算的指标。,抽样指标,样本成数：,样本方差：,（标准差）,样本平均数：,为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件,从民意测验看抽样,?,（,1,）,X,i,与总体同分布,；,（,2,）,X,1, X,2, , X,n,相互独立,.,从民意测验看抽样,1936,年，,Franklin Delano Rosevelt(,罗斯福,),与共和党的候选人,-,Kansas,州州长,Alfred Landon(,兰登,),竞选总统,.,绝大多数观测家认为罗斯福会是获胜者，但,文学摘要,却预测兰登会以,57,%,: 43,%,的优势获胜,.,摘要,自,1916,年以来的历届总统选举中都正确地预测出获胜的一方,但这次罗斯福以,62,%,: 38,%,的压倒优势取胜！,(,不久,文学摘要,就垮了,),#,摘要,调查的过程是将问卷寄给一千万人， 这些人的名字和地址摘自电话簿或俱乐部会员名册，这筛掉了不属俱乐部或未装电话的穷人,.,这在,1936,年前影响不大,因为穷人富翁以类,似的思考投票；但,1936,年经济正在从大萧条中恢复，故穷人选罗斯福，而富翁们选兰登,.,抽样方法和规则：,1,）抽样必须遵循随机原则,2,）抽样调查必然会产生误差，抽样误差是可以事先计算和控制的。,抽样调查的组织方式,（一）简单随机抽样,（二）类型抽样,（三）机械抽样,（四）整群抽样,（五）多阶段抽样,四、抽样调查的组织方式,（一）简单随机抽样,（二）类型抽样,（三）机械抽样,（四）整群抽样,（五）多阶段抽样,（一）简单随机抽样,1,、概念：又称纯随机抽样，是对总体,不作任何处理,，随机抽取样本单位的方法。,2,、种类：,（,1,）直接抽选法,（,2,）抽签法,（,3,）随机数字表法,3,、特点：,简单，最符合随机原则，但误差较大。,（二）类型抽样,1,、概念：又称分类抽样，是先对总体各单位按一定,标志加以分类,，然后再从各类中按随机原则抽取样本单位的方法。,2,、种类：,（,1,）类型比例抽样,（,1,）不等比例抽样,3,、特点：,把分组法与随机抽样有机结合，提高了样本的代表性，误差较小。,（三）,机械抽样,1,、概念：又称等距抽样或系统抽样，是先对总体按,一定顺序加以排列,，然后按一定的间隔抽取样本单位的方法。,2,、种类：,（,1,）按排队标志与研究目的是否有关分：,按无关标志机械抽样，按有关标志机械抽样,（,2,）按抽样单位抽选的方法不同分为,随机起点等距抽样、半距起点等距抽样、对称等距抽样,3,、特点：,简便易行，但容易出现系统误差。,（四）整群抽样,1,、概念：是先对总体按某一标志分为若干群或组，然后，,以群为抽样单位,抽取样本的方法。,2,、特点：,方便节约费用，但误差较大。,（五）多阶段抽样,1,、概念：样本不是一次性抽取，而是分两个或两个以上阶段。,2,、特点：,节约人力和物力；,可以以现成的行政区域、组织系统作为划分各阶段的依据。,五、抽样方法,（一）重复抽样,特点：,N,保持不变，各单位中选的机会均等。,（二）不重复抽样,特点：,N,逐渐减小，各单位中选的机会逐渐提高。,六、统计量,统计量：,样本的不含任何未知参数的函数。,总 体 是 随 机 变 量,统计量 是 随机变量,(,或向量）,样 本 是 随 机 向 量,样本均值,：,样本方差,：,常见统计量：,样本,k,阶原点矩,：,样本,k,阶中心矩,：,统称,样本矩,抽样误差的意义,纯随机抽样抽样平均误差的计算,分类抽样抽样平均误差的计算,机械抽样抽样平均误差的计算,整群抽样抽样平均误差的计算,7.2,抽样误差,一、抽样误差的意义,（,一）抽样误差的,概念,抽样误差是指样本指标与总体指标之间数量上的差,别,，用符号表示为：,抽样误差的来源为：,统计调查误差,登记性误差,代表性误差,随机误差,偏 差,抽样平均误差：所有抽样实际误差的平均数或,所有可能出现的样本指标的标准差。,抽样实际误差：一个样本指标与总体指标之间的数量差别。,（,二）影响抽样平均误差的因素,1,、总体,标志变动度（,2,或,）：与抽样,平均误差,呈正比关系。,2,、抽样单位数（,n):,与抽样平均误差呈反方向变化。,3,、抽样组织方式。,4,、抽样方法。,（,三）抽样平均误差的概念简例,以,平均数抽样平均误差为例,例,有四个工人，各人每月产量分别是,40,，,50,，,70,，,80,件，现在随机从其中抽取,2,人，并求平均加工零件数，用以代,表,4,人总体的平均产量水平。,为方便说明问题，先计算出,4,人的月平均产量为：,1,、重复抽样：样本配合数,=44=16,2,、不重复抽样：样本配合数,=43=12,很明显，重复抽样平均误差大于不重复抽样平均误差。,（四）抽样平均误差的的意义,1,、可以衡量抽样调查的准确性；,2,、是抽样推断和估计的基本根据。,重复抽样抽样平均误差计算表,序号,样本变量,样本平均数,离差,离差平方,1,2,3,4,40,，,40,40,，,50,40,，,70,40,，,80,40,45,55,60,-20,-15,-5,0,400,225,25,0,5,6,7,8,50,，,40,50,，,50,50,，,70,50,，,80,45,50,60,65,-15,-10,0,5,225,100,0,25,9,10,11,12,70,，,40,70,，,50,70,，,70,70,，,80,55,60,70,75,-5,0,10,15,25,0,100,225,13,14,15,16,80,，,40,80,，,50,80,，,70,80,，,80,60,65,75,80,0,5,15,20,0,25,225,400,合计,2000,不重复抽样抽样平均误差计算表,序号,样本变量,样本平均数,离差,离差平方,1,2,3,40,，,50,40,，,70,40,，,80,45,55,60,-15,-5,0,225,25,0,4,5,6,50,，,40,50,，,70,50,，,80,45,60,65,-15,0,5,225,0,25,7,8,9,70,，,40,70,，,50,70,，,80,55,60,75,-5,0,15,25,0,225,10,11,12,80,，,40,80,，,50,80,，,70,60,65,75,0,5,15,0,25,225,合计,1000,二、纯随机抽样平均误差的计算,（,一）平均数抽样平均误差的计算,1,、重复抽样,根据数理统计证明：在纯随机重复抽样条件下，抽样平均,误差与全及总体的标准差成正比，与样本总体单位数的平方根,成反比，利用此关系可得出重复抽样平均数抽样误差的计算公,式为：,总体标准差的来源,1,、过去调查所得资料，选多个方差中最大的,2,、用样本标准差代替总体标准差：,用,s,代替,。,3,、用小规模调查资料,4,、用估计资料,2,、不重复抽样,其中，（,1,n/N,）是修正系数。,（二）成数抽样平均误差的计算,假定，某一现象有两种表现，具有一种表现的单位数为,N,1,，,变量值为,1,，不具有该种表现的单位数为,N,0,，变量值为,0,，则,平均数、方差分别为：,2,、不重复抽样平均误差,1,、重复抽样平均误差,三、分类抽样平均误差的计算,关键问题是影响抽样平均误差的主要因素：,组内方差,，,计算抽样平均误差时用平均组内方差。,总体：用 表示，样本：用 表示。,（一）平均数抽样平均误差的计算,1,、重复抽样,:,2,、不重复抽样,:,其中，平均组内方差为：,总体平均组内方差：,样本平均组内方差：,例：,假定用分类比例抽样方式，从山区、丘陵、平原三种类型的,200,亩耕地上抽取,10,块（每块,1,亩，亩产量见下表）进行抽样调查，用来推断全部耕地的平均亩产量，求平均亩产量的抽样平均误差。,三、分类抽样平均误差的计算,分类抽样平均数抽样平均误差计算表,类型,抽样地块数,亩产量（斤）,x,i,组平均亩产（斤）,山区,2,300,320,310,-10,10,100,100,丘陵,3,390,420,450,420,-30,0,30,900,0,900,平原,5,600,600,700,750,800,690,-90,-90,10,60,110,8100,8100,100,3600,12100,解：（,1,）计算各组内方差：,（,2,）计算平均组内方差：,（,3,）计算抽样平均误差：,（二）成数抽样平均误差计算,2,、不重复抽样,:,1,、重复抽样,:,其中，平均组内方差为：,总体平均组内方差：,样本平均组内方差：,仍用上述资料计算成数的抽样平均误差。,假设亩产,450,斤以上为高产田，不到,450,斤的为低产田，计算高产田所占比重的抽样平均误差。,分类抽样成数抽样平均误差计算表,类型,抽样地块数,高产田地块数,高产田所占比重（,p,i,),1-p,i,p,i,(1-p,i,),山区,2,0,0,1,0,丘陵,3,1,0.33,0.67,0.2211,平原,5,5,1,0,0,三、分类抽样平均误差的计算,解：（,1,）计算平均组内方差：,（,2,）计算抽样平均误差：,三、分类抽样平均误差的计算,四、机械抽样平均误差的计算,机械抽样一般都用不重复抽样。,无关标志排队机械抽样类似于简单随机抽样，计算公式为：,有关标志排队机械抽样类似于分类抽样，计算公式为：,五、整群抽样平均误差的计算,其中：,R,：总体群数；,r,：样本群数；总体或样本平均,数群间方差的计算公式为：,关键问题是影响抽样平均误差的主要因素：,群间方差,，,总体：用 表示。,整群抽样一般都用不重复抽样，需要修正系数。,（一）平均数抽样平均误差的计算,（二）成数抽样平均误差的计算,其中：,R,：总体群数；,r,：样本群数；总体或样本成数,群间方差的计算公式为：,数 理 统 计 的 引 入,某厂生产的一批产品中次品率为,p,。从中抽取,10,件产品装箱。,1,）没有次品的概率,2,）平均有几件,次品,概,率,3,）为以,0.95,的概率保证箱中有,10,件正品，箱中至少要装多少件产品。,所有这些问题的关键是,p,是已知的！,如何获取,p,?,这就是数理统计的任务了！,一个很自然的想法就是：,首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。,怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题,。,其次利用概率论的知识处理实测数据。,如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。也是我们研究的内容。,统计推断常解决的问题：,1,）如何估计次品率,p,?,2,）如果以,p,0.01,为出厂的标准，这批产品能否出厂？,数 理 统 计 的 引 入,参数估计问题,假设检验问题,#,7.3,常用统计分布,上侧分位数,u,( 0, 45,),时，有,2,(,n,),的,上侧分位数,( 0,1 ),：,阴影部分面积为,3.,自由度为,n,的,t,分布,T,t,(,n,),又称学生氏分布,-,第一个研究者,以,Student,作笔名发表文章,.,即,随机变量,T,服从,自由度为,n,的,t,分布,.,定理,7.2.2,设随机变量,X,Y,相互独立,X,N,(0,1),，,Y,2,(,n,),，,则,阴影部分面积为,t,(,n,),的,上侧分位数,t,(,n,),( 0,1 ),：,T,分布的特点,：,1.,关于纵轴对称,：,例,查表计算,：,t,-,t,=,t,1,-,因,=P,T,t,=,P,T,-,t,=1,-,P,T,-,t,故,P,T,t,=1,.,即,t,=,-,t,1,-,例,查表计算,：,2.,n,较大时,，,4.,F,分布,F,F,(,n,1,n,2,),称,X,服从第一自由度为,n,1,第二自由度为,n,2,的,F,分布,.,定理,7.2.3,设随机变量,X,，,Y,相互独立,，,X,2,(,n,1,),，,Y,2,(,n,2,),，,则,即随机变量,F,服从第一自由度为,n,1,，,第二自由度为,n,2,的,F,分布,.,例 统计量的分布,(,之二,),F,(,n,1,n,2,),的,上侧分位数,F,(,n,1,n,2,),( 0,1 ),：,阴影部分面积为,推论,1,推论,2,证,二、抽样分布定理,定理,7.2.4,应用例,定理,6.2.5,设正态总体,X,与,Y,相互独立,，,X,样本为,X,1,，,X,2,，,X,n,1,样本均值和样本方差为,；,Y, ，,样本为,Y,1,，,Y,2,，,Y,n,2,，,样本均值和样本方差为,.,有,分析,证明,: (2),服从,正态分布,，,S,w,2,可化为,2,分布,二者组合而成的统计量应服从,t,分布,.,因 ， 相互独立，故,U,与,V,也相互,独立，从而,总体、个体,简单随机样本,统计量,统计量的分布,正态总体的,2,个抽样定理,样本均值,样本方差,样本矩（样本相关系数）,2,分布,t,分布,F,分布,分位数,结构定理,例,7.2.1,设随机变量,X,服从正态分布,N,(0,1),对给定的,(01),，数,u,满足 ，,则,x,等于,u,是上侧,分位数,.,解,阴影部分面积为,(1,-,)/2,面积为,#,例,7.2.2,统计量的分布,(,之一,),解,设,X,1,X,2, ,X,n,是来自正态总体,的容量为,n,的样本，求下列统计量的概率分布：,#,例,7.2.3,查表计算概率,注意,应注意分布表的定义与查法！,#,解,例,7.2.4,统计量的分布,(,之二,),设,X,1,X,2, ,X,n,+,m,是来自正态总体,的样本，求下列统计量的概率分布,由,t,分布结构定理，,#,3.,因,Z,t,(,m,),根据,t,分布结构定理，有,例,7.2.5,设,X,1,X,2,.,X,9,是来自正态总体,X,的随机样本，令,证明统计量,Z,服从自由度为,2,的,t,分布,.,证,记,D,(,X,)=,2,(,未知,),，有,由于,Y,1,Y,2,相互独立,故,从而,由抽样分布定理知,因,Y,1,和,Y,2,相互独立,Y,1,和,S,2,相互独立,而且,Y,2,和,S,2,相互独立，故,Y,1,Y,2,和,S,2,相互独立,.,根据,t,分布结构定理知,服从自由度为,2,的,t,分布,.,#,证明,且,X,1,，,X,2,，,X,n,相互独立,，,X,i,N,(0,1),，,证 因,也相互独立同分布，,根据独立同分布中心极限定理有,近似成立，故,#,
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