1.5.3.1定积分的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第一章 常用逻辑用语,1.5.3,定积分的概念,求由连续曲线,y,=,f,(,x,),对应的,曲边梯形,面积的方法,(2),取近似求和,:,任取,x,i,x,i,-,1,x,i,，第,i,个小曲边梯形的面积用高为,f,(,x,i,),而宽为,D,x,的小矩形面积,f,(,x,i,),D,x,近似之。,(3),取极限,:,，,所求曲边,梯形的面积,S,为,取,n,个小矩形面积的和作为曲边梯形面积,S,的近似值：,x,i,y,=,f,(,x,),x,y,O,b,a,x,i,+1,x,i,(1),分割,:,在区间,a,b,上等间隔地插入,n-1,个点,将它等分成,n,个小区间,:,每个小区间宽度,x,一、定积分的定义,如果当,n,时，,S,的无限接近某个常数，,这个常数为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的,定积分,，记作,从求曲边梯形面积,S,的过程中可以看出,通过,“,四步曲,”,:,分割,-,近似代替,-,求和,-,取极限得到解决,.,定积分的定义,：,定积分的相关名称：,叫做积分号，,f,(,x,),叫做被积函数，,f,(,x,),dx,叫做被积表达式，,x,叫做积分变量，,a,叫做积分下限，,b,叫做积分上限，,a,b,叫做积分区间。,按定积分的定义，有,(1),由连续曲线,y,=,f,(,x,)(,f,(,x,),0),，,直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成的曲边梯形的面积为,(2),设物体运动的速度,v,=,v,(,t,),，,则此物体在时间区间,a,b,内运动的距离,s,为,定积分的定义,：,1,x,y,O,f(x,),=,x,2,O,v,t,1,2,1,.,与,的差别,3,定积分的值与积分变量用,什么字母表示无关,，即有,4,规定：,是,的全体原函数 是,函数,是一个和式的极限 是一个确定的,常数,注：,2,.,当,的极限存在时，,其极限值仅与被积函数,及积分区间,有关,，而与区间,的分法及,点的取法,无关,。,f(x,),a,b,(2),定积分的几何意义：,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成的曲边梯形的面积。,当,f,(,x,),0,时，由,y,f,(,x,),、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成的曲边梯形位于,x,轴的下方，,x,y,O,=-,a,b,y,f,(,x,),y,-,f,(,x,),=-,S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-,S,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,探究,:,根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积,?,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,三,:,定积分的基本性质,性质,1.,性质,2.,三,:,定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有,可加性,性质,3.,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),性质,3,不论,a,，,b,，,c,的相对位置如何都有,a,b,y,=,f,(,x,),c,O,x,y,例,2,.,用定积分表示图中四个阴影部分面积,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x,)=x,2,f(x,)=x,2,-1,2,f(x,)=1,a,b,-1,2,f(x,)=(x-1),2,-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x,)=x,2,f(x,)=x,2,f(x,)=1,f(x,)=(x-1),2,-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x,)=x,2,f(x,)=x,2,f(x,)=1,f(x,)=(x-1),2,-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x,)=x,2,f(x,)=x,2,f(x,)=1,f(x,)=(x-1),2,-1,例,3,：,解：,x,y,f(x,)=,sinx,1,-1,例,4,x,1,y,面积值为圆的面积的,答案：,0,0,